\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[left=1.8cm,right=1.8cm,top=1.8cm,bottom=1.8cm]{geometry}

\usepackage{polski}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}
\usepackage{multicol}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}[section]
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]

\author{Zajęcia nr.~1\\ \url{www.hope.art.pl/kurs}}
\title{Matematyka w {\sc oratorium}}
\date{26 lutego 2009 r.}

\begin{document}
\maketitle

\section{Zestaw I}

\begin{zadanie}
Określ czy dany ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, zbieżny, ograniczony,
monotoniczny:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_n = 2\cdot 2^n$
\item $b_n = 6n - 7$
\item $c_n = \sqrt[2n]{4^{n}}$
\item $d_n = 3^n + 3$
\item $\begin{cases} e_0 = 0 \\ e_{n+1} = 2\cdot e_n\end{cases}$
\item $\begin{cases} f_0 = 1 \\ f_{n+1} = 2+f_n\end{cases}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $x_1\neq x_2$ oznaczają pierwiastki równania $-x^{2} = -6mx + 5m^{2}$, gdzie
$m$ jest parametrem rzeczywistym. Znajdź taką wartość parametru $m$ dla której
wyrażenie $x_1^{2} + x_{2}^{2}$ osiąga największą wartość.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie:
\[ 4^x + 4m\cdot 2^x + 4m^{2} = 0 \]
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $(\Omega, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech $A,B \subset \Omega$ będą
pewnymi zdarzeniami niezależnymi o niezerowym prawdopodobieństwie. Czy zdarzenia
te mogą być rozłączne?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność:
\[ 5^{\log_{\frac{1}{5}}x} \geq 5x \]
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech będą dane zbiory:
\[ A = \{ x : |\sin x | = 1 \}\qquad B = \{ x : \frac{2x}{\pi} \in \mathbb{C} \} \]
\[ C = \{ x : x^{2}\leq 0 \} \]
Wyznacz:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A\cup B$
\item $A\cap B$
\item $A\backslash B$

\item $A\cap C$
\item $A\cup C$

\item $(A\cup B)\cap C$
\item $A\cup (B\cap C)$
\item $(A\cup B)\cap B$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Korzystając z odpowiedniej definicji, pokaż, że funkcja $f\colon (0,+\infty)\to\mathbb{R}$
dana wzorem $f(x)=\frac{1}{x}$ jest malejąca. Czy funkcja $g\colon \mathbb{R}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}$
dana wzorem $g(x)=\frac{1}{x}$ jest malejąca?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech liczby $4,15,m$ będą bokami pewnego trójkąta. Niech funkcja $f$ przypisuje
podanej liczbie wartość obwodu tego trójkąta, przy czym nieznany bok $m$ otrzymuje
wartość argumentu funkcji $f$. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane są punkty $A=(0,0)$, $B=(\sqrt{2},\sqrt{3})$, $C=(\sqrt{3},3\sqrt{5})$.
Znajdź współrzędne punktu $D$, tak by aby punkty $ABCD$ były wierzchołkami pewnego
równoległoboku.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Sześcian o boku $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i
nachyloną do płaszczyzny pod kątem $\frac{\pi}{6}$ radianów. Wykonaj odpowiedni rysunek,
a następnie oblicz pole otrzymanego przekroju. ({\bf Wersja trudniejsza:} kąt jest parametrem
$\alpha$ -- podaj ogólny wzór na pole przekroju.)
\end{zadanie}

\section{Zestaw II}


\begin{zadanie}[4 punkty]
Niech $f(x) = \cos x - \sqrt{3}\sin x$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Naszkicuj wykres $f$.
\item Rozwiąż równanie $f(x) = 1$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[5 punktów]
Sześcian o krawędzi podstawy $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Sporządź
odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[10 punktów]
Dane jest równanie: $x^{2} + (m-5)x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0$. Zbadaj dla jakich
wartości parametru $m$ stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich
iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[4 punkty]
Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases}
|x|-y = 1\\
x^{2} + (y+1)^{2} = 8
\end{cases}\]
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[4 punkty]
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest
wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów,
przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a$ ($a>0$).
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[4 punkty]
Ciąg $(a_n)$ określony jest rekurencyjnie w sposób:
\[
\begin{cases}
a_1 = 2 & \\
a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1} & n\geq 1
\end{cases}
\]
Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg $(a_n)$ można określić
za pomocą wzoru ogólnego $a_n = \frac{2}{2n-1}$, gdzie $n\geq 1$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[5 punktów]
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_{x}(4^{x} - 12\cdot 2^x + 32)$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[9 punktów]
Dana jest funkcja $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ oraz prosta $l$ nachylona do osi $OX$
pod kątem $\alpha$, którego sinus jest równy $0{,}6$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Oblicz współczynnik kierunkowy prostej $l$.
\item Podaj wszystkie punkty $x$ z dziedziny funkcji $f$, takie, że styczne do
wykresu $f$ w punktach $(x,f(x))$ są równoległe do prostej $l$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[3 punkty]
Prawdopodobieństwa zdarzeń losowych $A$ i $B$ są równe:
$P(A) = 0{,}8$ oraz $P(B)=0{,}5$. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo warunkowe
$P(A|B)$ jest nie mniejsze niż $0{,}6$.
\end{zadanie}


\end{document}