
\documentclass[11pt,a5paper,twoside]{article}
\usepackage[top=1.7cm,bottom=0.5cm,left=.7cm,right=1.2cm,twoside,pdftex]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[OT4]{fontenc}

\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]
\newtheorem{wniosek}{Wniosek}[section]


\renewcommand{\subsectionmark}[1]%
{\markright{\MakeUppercase{\thesubsection.\ #1}}}

\lhead[{\bf \thepage}]{\rightmark}
\rhead[\rightmark]{{\bf \thepage}}
\cfoot[]{}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}

\setlength{\headheight}{14pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\footskip}{5pt}

\pagestyle{fancy}

\title{Ciągi}
\author{Kurs matematyki w {\sc oratorium} \\ \small{autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt}}
\date{\today}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Huge Ciągi} \\
{\small
Kurs matematyki w Oratorium\\ (\url{http://www.salezjanie.rumia.pl/math})
}
\end{center}

\tableofcontents


\section{Ciągi liczbowe}

\begin{definicja}[ciąg liczbowy skończony]
Ciągiem liczbowym skończonym, nazywamy dowolną funkcję o wartościach rzeczywistych,
której dziedziną jest zbiór $\{1,2,\ldots,k\}$ dla pewnego $k\in\mathbb{N}$.
\end{definicja}

\begin{definicja}[ciąg liczbowy nieskończony]
Ciągiem liczbowym nieskończonym, nazywamy dowolną funkcję o wartościach
rzeczywistych, której dziedziną jest cały zbiór liczb naturalnych.
\end{definicja}

Często na ciągi nieskończone będziemy mówić po prostu ciągi. Wszelkie ciągi,
skończone i nieskończone, będziemy oznaczać kolejnymi, małymi literami alfabetu.
Przyjęło się również żeby argument oznaczać przez $n$ (a nie jak tam ma miejsce
w przypadku ,,zwykłych'' funkcji $x$) oraz pisać go bez nawiasów w następujący (znany
każdemu) sposób: $a_n$. Należy jednak pamiętać że napis taki znaczy dokładnie to
samo co $a(n)$ -- czyli wartość funkcji $a$ dla argumentu $n$. Na wartość taką
będziemy mówić $n$-ty wyraz ciągu $a$.

\subsection{Podstawowe własności ciągów}

Ze względu na definicję ciągu jako funkcji, możemy mówić o takich własnościach
ciągów jak: monotoniczność, ograniczoność, różnowartościowość. Można również
rysować wykresy ciągów. Poniżej, pokrótce omówimy te podstawowe własności.

Ze względu na wygodę i prostotę formułowania definicji, poniżej mówimy tylko
o ciągach nieskończonych. Wszystkie poniższe definicje można bardzo łatwo przerobić
na przypadek ciągu skończonego.

\paragraph{Monotoniczność}
\begin{itemize}
\item Ciąg $a$ jest {\bf rosnący} jeśli spełniony jest warunek:
\[ n < k \Rightarrow a_n < a_k \]
dla dowolnych liczb naturalnych $n,k$.

\item Ciąg $a$ jest {\bf malejący} jeśli spełniony jest warunek:
\[ n < k \Rightarrow a_n > a_k \]
dla dowolnych liczb naturalnych $n,k$.

\item Ciąg $a$ jest {\bf stały} jeśli wszystkie jego wyrazy są sobie równe.
\end{itemize}

\paragraph{Ograniczoność}

\begin{definicja}
Mówimy że ciąg $a$ jest ograniczony jeśli istnieje taka liczba rzeczywista $M$,
że jest spełniony warunek:
\[ |a_n| \leq M \]
dla każdego $n$ naturalnego.
\end{definicja}

\begin{problem}
Spróbuj omówić, jak wygląda wykres dowolnego ciągu ograniczonego -- lub dokładnie:
co wszystkie te wykresy mają ze sobą wspólnego/podobnego?
\end{problem}

Czasem definicję ciągu ograniczonego formułuje się nieco inaczej podając pojęcia
ograniczenia górnego i dolnego ciągu. Rzeczywiście, mówiąc o ciągu, że jest ograniczony
można powiedzieć, że muszą istnieją liczby $m$ i $M$ rzeczywiste, takie, że
dla dowolnego $n$ zachodzi:
\[ m \leq a_n \leq M. \]
Liczby $m$ i $M$ nazywamy wtedy odpowiednio ograniczeniem dolnym i górnym ciągu.
Oczywiście obie definicje są równoważne.

\begin{problem}
Dlaczego obie definicje ciągu ograniczonego są równoważne?
\end{problem}

\begin{problem}
Czy w definicji ciągu ograniczonego można zmienić nierówność $\leq$ na $<$ ?
\end{problem}


\paragraph{Różnowartościowość}

\begin{definicja}
Mówimy, że ciąg $a$ jest różnowartościowy jeśli jest spełniony warunek:
\[ a_n = a_k \iff n=k \]
\end{definicja}

\begin{problem}
Czy prawdą jest, że w ciągu różnowartościowym każdy wyraz występuje dokładnie jeden raz?
\end{problem}


\subsection{Granica ciągu}

W poniższym podrozdziale zajmiemy się pojęciem zbieżności ciągów. Od tego momentu
będziemy zakładać, że rozpatrywane ciągi są nieskończone. Pojęcie zbieżności
nie ma bowiem sensu dla ciągów skończonych.

\begin{definicja}[granica ciągu]
Liczbę rzeczywistą $g$ nazywamy granicą ciągu $a$ gdy spełniony jest warunek:
\[ \bigwedge_{\varepsilon >0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0} | a_n - g | < \varepsilon.\]
Granicę ciągu $a$ oznaczamy często przez $\lim_{n\to\infty}a_n$ lub $\lim a_n$.
\end{definicja}

\begin{problem}
Spróbuj własnymi słowami omówić warunki jakie musi spełniać liczba $g$ aby być
granicą pewnego ciągu.
\end{problem}

Z powyższej definicji wynika kilka bardzo ważnych faktów. Nie będziemy ich tutaj
w żaden sposób uzasadniać (można spróbować przeprowadzić odpowiednie dowody jako
ćwiczenia dla ambitnych i odważnych).

\begin{fakt}
Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.
\end{fakt}

\begin{definicja}
Jeśli ciąg $a_n$ posiada granicę to mówimy, że jest zbieżny.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Ciąg stały jest zbieżny. Jego granicą jest jego jedyna wartość.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Dodanie lub usunięcie z ciągu dowolnej, skończonej ilości wyrazów nie wpływa
na jego zbieżność ani na wartość granicy (o ile takowa istnieje).
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeśli ciągi $a_n$ oraz $b_n$ są zbieżne, to ciągi
$a_n\pm b_n$, $a_n \cdot b_n$ są również zbieżne. Gdy dodatkowo $\lim b_n \neq 0$,
to zbieżny jest ciąg $\frac{a_n}{b_n}$.

Ponadto zachodzą równości:
\begin{align*}
\lim (a_n\pm b_n)  = & \lim a_n \pm \lim b_n \\
\lim (a_n\cdot b_n)  = & \lim a_n \cdot \lim b_n \\
\lim \frac{a_n}{b_n}  = & \frac{\lim a_n}{\lim b_n}
\end{align*}
\end{fakt}

\begin{wniosek}
Jeśli $c\in\mathbb{R}$ oraz ciąg $a_n$ jest zbieżny to ciąg $c\cdot a_n$ jest
zbieżny oraz:
\[\lim (c \cdot a_n) = c \cdot \lim a_n\]
\end{wniosek}

\begin{fakt}
Każdy ciąg który jest monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
\end{fakt}

\paragraph{Ciągi rozbieżne}
Z powyższego faktu łatwo wywnioskować, że istnieje bardzo wiele ciągów, które
nie są zbieżne (są to na przykład wszystkie ciągi, które nie są ograniczone).
Okazuje się, że jest nawet gorzej -- istnieją ciągi ograniczone, które nie
są zbieżne.

\begin{przyklad}
Ciąg $a_n = (-1)^{n}$ jest ograniczony, bo dla każdego $n$ zachodzi $|a_n|=1$.
Nie jest natomiast zbieżny (żadna liczba nie spełnia definicji granicy ciągu).
\end{przyklad}

Ciąg który nie jest zbieżny, czyli nie posiada skończonej granicy, nazywa się
ciągiem rozbieżnym.

Wśród ciągów rozbieżnych, wyróżniamy specjalną klasę ciągów rozbieżnych do
$\infty$ oraz $-\infty$.

\begin{definicja}
Mówimy, że ciąg $a_n$ jest rozbieżny do $\infty$ (lub do $-\infty$) gdy dla dowolnej
liczby rzeczywistej $x$ istnieje taki wyraz ciągu, że wszystkie następne
wyrazy są większe (mniejsze) od tego $x$. Piszemy wówczas:
$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ ($\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$) i mówimy,
że ciąg posiada granicę ,,niewłaściwą''\footnote{W niektórych podręcznikach można
spotkać się z określeniem, że ciąg jest zbieżny do $\infty$. My będziemy jednak mówić,
że ciąg jest rozbieżny do $\infty$ co znaczy tyle samo, jednak podkreśla, że dany ciąg
nie spełnia podanej wcześniej definicji zbieżności.}.
\end{definicja}

Więcej informacji o granicach ciągów, w tym metody ich obliczania musisz znaleźć
we własnym zakresie. Polecamy w tym celu stronę: \url{http://www.matematyka.org}.

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Wśród poniższych ciągów wskaż ciągi: ograniczone, monotoniczne (napisz jaki
to rodzaj monotoniczności), różnowartościowe, zbieżne, rozbieżne do $\pm \infty$:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $a_n = 2 \cdot n - 1$
\item $b_n = 2^{n + 1}$
\item $c_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1}$
\item $d_n = (-2)^{n}$
\item $e_n = \sin (n)$
\item $f_n = n^2 + 4n + 4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oblicz granicę ciągów (lub napisz że nie istnieje).
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $a_n = \frac{1}{2n+1}$
\item $b_n = \frac{n^3-100n^2+1}{n^2+10}$
\item $c_n = \frac{5n^2-10000n+13}{2n^{2}+256n-11}$
\item $d_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
\item $e_n = \sqrt{2n+3}$
\item $f_n = \sqrt{\frac{10n^2-1}{5n+2}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\section{Ciąg arytmetyczny}

\subsection{Definicje}

Ciąg arytmetyczny jest szczególnym ciągiem, który spełnia poniższą (zupełnie
nie formalną) definicję.

\begin{definicja}[ciąg arytmetyczny]
Ciąg arytmetyczny jest to ciąg, w którym każdy (poza pierwszym) wyraz powstaje
poprzez dodanie stałej, ustalonej liczby $r$ do wyrazu poprzedniego:

$$a_{1} \xrightarrow{+r} a_{2} \xrightarrow{+r} a_{3} \xrightarrow{+r} a_{4} \xrightarrow{+r} \ldots$$

Liczbę $r$ nazywamy wtedy różnicą ciągu arytmetycznego.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Ciąg arytmetyczny może być skończony bądź nieskończony. Jeśli jest to ciąg
nieskończony to:

$$\textrm{dla każdego } n\in\mathbb{N}_{+}\qquad a_{n+1}=a_{n}+r.$$

Jeśli ciąg jest skończony i ma powiedzmy $k$ wyrazów, to:

$$\textrm{dla każdego n=1,2,3,\ldots,k-1 }\qquad a_{n+1}=a_{n}+r.$$
\end{uwaga}

\subsection{Własności ciągu arytmetycznego}


\begin{fakt}
Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i różnicy $r$ wzór ogólny
ciągu ma postać:
$$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$$
\end{fakt}

\begin{problem}
Czy potrafisz udowodnić powyższy fakt? (Wskazówka: przeprowadź dowód
indukcyjny).
\end{problem}

Ciąg arytmetyczny należy utożsamiać z funkcją liniową. Zauważmy bowiem, że
z faktu podanego wyżej wynika, że: $a_{n} = nr + a_{1} - r$, Jeśli
teraz, mówiąc obrazowo, zamienimy literkę $n$ na $x$ a literkę $a$ na określenie
jakieś funkcji, np. $f$ to otrzymamy wzór bardzo podobny do typowego wzoru funkcji
liniowej. Reasumując, ciąg arytmetyczny jest funkcją daną wzorem funkcji liniowej
z dziedziną liczba naturalnych.

\begin{fakt}
Ciąg jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy może być zadany wzorem funkcji
liniowej.
\end{fakt}


\begin{uwaga}
Trzy liczby $a,b,c$ tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$c-b=b-a$$
a stąd $b=\frac{a+c}{2}$ (czyli wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów
sąsiednich).
\end{uwaga}

\begin{uwaga}
Ogólnie, ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny, gdy dla każdego $n$ zachodzi:
$$a_{n+1} - a_{n} \textrm{jest stałe (tzn. nie zależy od n)}.$$
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Ciąg dany wzorem ogólnym $a_{n}=4n-3$ jest ciągiem arytmetycznym, bo
$$a_{n+1} - a_{n} = 4(n+1) - 3 - (4n-3) = 4.$$
Natomiast ciąg $a_{n}=n^{2}$ nie jest ciągiem arytmetycznym, gdyż:
$$a_{n+1} - a_{n} = (n+1)^{2}-n^{2} = 2n+1.$$
\end{przyklad}

\begin{fakt}
Każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny:
\begin{itemize}
\item jeśli $r>0$, to ciąg jest rosnący,
\item jeśli $r=0$, to ciąg jest stały,
\item jeśli $r<0$, to ciąg jest malejący.
\end{itemize}
\end{fakt}

\subsection{Suma ciągu arytmetycznego}

\begin{fakt}
Suma $k$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa:
$$S_{k} = \frac{a_{1}+a_{k}}{2}k.$$
\end{fakt}

Sens powyższego faktu jest prosty. Suma pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu
arytmetycznego równa się średniej arytmetycznej pierwszego i ostatniego z tych
wyrazów, pomnożonej przez liczbę tych wyrazów.

\begin{przyklad}
Korzystając z danego wzoru, policzymy następującą sumę:

$$5+11+17+\ldots+65.$$

Zauważmy że dodawane liczby tworzą ciąg arytmetyczny $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$,
w którym $a_{1} = 5$, $r=6$, $a_{n}=65$. Aby obliczyć liczbę wyrazów tego ciągu
wykorzystamy wzór:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r.$$
Zatem:
$$65=5+(n-1)\cdot 6$$
$$n=11$$
Stąd, szukana suma równa jest:
$$S_{11} = \frac{5+65}{2}\cdot 11=385.$$
\end{przyklad}

Jak pokazuje przykład, ciągi arytmetyczne są często pomocne w zadaniach, w których
treści nie ma mowy nic o żadnym ciągu (zauważ, że zadanie z przykładu brzmiało,
,,oblicz daną sumę''). Dlatego, aby ułatwić rozwiązywanie różnych zadań, w
których pojawia się ciąg arytmetyczny, warto pamiętać o tym, co mówi poniższa
wskazówka.

\paragraph{Wskazówka: } W czasie rozwiązywania zadań dotyczących ciągu arytmetycznego,
wszelkie ,,dane'' i ,,szukane'' przedstaw w postaci oznaczeń: $a_{1}$, $r$ itp.
Ułatwia to koncentrację i kojarzenie odpowiednich wzorów i relacji między
wielkościami.

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Oblicz wyraz pierwszy, różnicę ciągu arytmetycznego i sumę 10 pierwszych wyrazów, gdy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $a_{6}=20, a_{10}=4$,
\item $a_{5}=20, a_{9}=36$,
\item $a_{4}=5, a_{11}=34$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości $x$ podane liczby są kolejnym wyrazami ciągu arytmetycznego?
Podaj te wyrazy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $2x-1, 2x+5, 3x+4$,
\item $(x+1)^{2}, (2x+1)^{2}, (3x-1)^{2}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych które:
\begin{enumerate}[a)]
\item są podzielne przez 3,
\item są niepodzielne przez 5,
\item przy dzieleniu przez 6 dają resztę 4.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 6. Oblicz sumę siedmiu początkowych
wyrazów tego ciągu.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, a czwarty wynosi 16. Oblicz
sumę dziesięciu początkowych wyrazów o numerach parzystych.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Ciąg arytmetyczny składa się z 16 wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych
jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240.
Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.
\end{zadanie}


\section{Ciąg geometryczny}

\subsection{Definicje}

Ciąg geometryczny, podobnie jak arytmetyczny, jest szczególnym ciągiem,
który spełnia poniższą (zupełnie
nie formalną) definicję.

\begin{definicja}[ciąg geometryczny]
Ciąg geometryczny jest to ciąg, w którym każdy (poza pierwszym) wyraz powstaje
poprzez pomnożenie przez pewną stałej, ustaloną liczbę $q$ wyrazu poprzedniego:

$$a_{1} \xrightarrow{\cdot q} a_{2} \xrightarrow{\cdot q} a_{3} \xrightarrow{\cdot q} a_{4} \xrightarrow{\cdot q} \ldots$$

Liczbę $q$ nazywamy wtedy ilorazem ciągu geometrycznego.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Ciąg geometryczny może być skończony bądź nieskończony. Jeśli jest to ciąg
nieskończony to:

$$\textrm{dla każdego } n\in\mathbb{N}_{+}\qquad a_{n+1}=a_{n}\cdot q.$$

Jeśli ciąg jest skończony i ma powiedzmy $k$ wyrazów, to:

$$\textrm{dla każdego n=1,2,3,\ldots,k-1 }\qquad a_{n+1}=a_{n}\cdot q.$$
\end{uwaga}

\subsection{Własności ciągu geometrycznego}

\begin{fakt}
Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i ilorazie $q$ wzór ogólny
ciągu ma postać:
$$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}$$
\end{fakt}

\begin{problem}
Czy potrafisz udowodnić powyższy fakt? (Wskazówka: przeprowadź dowód
indukcyjny).
\end{problem}

\begin{fakt}
Ciąg jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy gdy jest dany wzorem
funkcji wykładniczej.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Ogólnie, ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, gdy dla każdego $n$ zachodzi:
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q \qquad \textrm{iloraz jest stały (tzn. nie zależy od n)}.$$
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Trzy liczby $a,b,c$ (przy założeniu $a\neq 0 \land b\neq 0$) tworzą
ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$\frac{c}{b}=\frac{b}{a}.$$
A stąd wynika wzór:
$$b^{2}=a\cdot c.$$
\end{uwaga}

\begin{fakt}
Każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego (o ile taki istnieje) ma tę własność, że jego kwadrat jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich:
$$a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}.$$
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeżeli wyrazy ciągu geometrycznego są nieujemne, to każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego i ostatniego (o ile taki istnieje) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich:
$$a_{n}=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}.$$
\end{fakt}


\begin{przyklad}
Ciąg dany wzorem ogólnym $a_{n}=7\cdot 10^{n}$ jest ciągiem geometrycznym, bo
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{7\cdot 10^{n+1}}{7\cdot 10^{n}}=10.$$
Natomiast ciąg $a_{n}=1+10^{n}$ nie jest ciągiem geometrycznym gdyż:
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1+10^{n+1}}{1+10^{n}} \textrm{ nie jest stałe.}$$
\end{przyklad}

\begin{fakt}[monotoniczność ciągu geometrycznego]
Jeśli $q>1$ to ciąg geometryczny jest monotoniczny:
\begin{itemize}
\item jeśli $q>1\land a_{1}>0$ lub jeśli $1>q>0\land a_{1}<0$, to ciąg jest rosnący,
\item jeśli $q=1\lor q=0$, to ciąg jest stały,
\item jeśli $1>q>0\land a_{1}<0$ lub jeśli $q>1\land a_{1}<0$, to ciąg jest malejący.
\end{itemize}
\end{fakt}

\subsection{Suma ciągu geometrycznego}

\begin{fakt}
Suma $k$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równa:
$$S_{k} = a_{1}\frac{1-q^{k}}{1-q}.$$
Wzór jest poprawny gdy $q\neq 1$.
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Oczywiście gdy $q=1$, ciąg geometryczny jest ciągiem stałym i sumę $k$ wyrazów
liczymy z wzoru $S_{k}=k\cdot a_{1}$.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Korzystając z danego wzoru, policzymy następującą sumę:

$$2+4+8+16+32+64+\ldots+1024+2048.$$

Zauważmy że dodawane liczby tworzą ciąg geometryczny $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$,
w którym $a_{1} = 2$, $q=2$, $a_{n}=2048$. Aby obliczyć liczbę wyrazów tego ciągu
wykorzystamy wzór:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}.$$

Zatem:
$$2048=2\cdot 2^{n-1}$$
$$2048=2^{n}$$
$$n=11$$
Stąd, szukana suma równa jest:
$$S_{11} = 2\cdot\frac{1-2^{11}}{1-2}=2\cdot\frac{1-2048}{1-2}=2\cdot 2047=4094.$$
\end{przyklad}

\paragraph{Wskazówka: } W czasie rozwiązywania zadań dotyczących ciągu geometrycznego,
wszelkie ,,dane'' i ,,szukane'' przedstaw w postaci oznaczeń: $a_{1}$, $q$ itp.
Ułatwia to koncentrację i kojarzenie odpowiednich wzorów i relacji między
wielkościami.


\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Trójka liczb całkowitych tworzy ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, to powstanie ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Piłka, odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość wynoszącą $\frac{3}{5}$
poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeśli po
czwartym odbiła się na wysokość 27 cm?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o wyrazach: $12,4,\frac{4}{3}$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczby $b,c,d$ tworzą ciąg geometryczny. Wielomian: $W(x)=x^{3}-bx^{2}+cx+d$
jest podzielny przez $x^{2}-1$. Znajdź liczby $b,c,d$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62, a iloczyn jest równy 1000. Wyznacz ten ciąg.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Znaleźć ten ciąg wiedząc, że suma wyrazów skrajnych jest równa 36, zaś suma wyrazów środkowych 24.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Między liczby 27 i $\frac{1}{3}$ wstaw trzy takie liczby, aby z danymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$\star$]
Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Iloczyn logarytmów dziesiętnych pierwszej i czwartej liczby
wynosi 8, a iloczyn logarytmów drugiej i trzeciej liczby wynosi 0. Znajdź te liczby.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$\star$]
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62. Suma logarytmów dziesiętnych tych liczb jest równa 3.
Wyznacz ten ciąg.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dany jest ciąg geometryczny postaci: \[2, \frac{2}{p-1}, \frac{2}{(p-1)^2},
\frac{2}{(p-1)^3}, \ldots\]
Wyznacz wszystkie wartości $p$, dla których granicą tego ciągu jest liczba: \\
a) 0, b) 2.
\end{zadanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55

\section{Zadanie różne}

\begin{zadanie}
Trzy kolejne liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich suma wynosi $3\frac{1}{2}$.
Jeżeli do drugiej dodamy $\frac{1}{4}$,
a pozostałe zostawimy bez zmiany, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
Znajdź te liczby.
\end{zadanie}


\begin{zadanie}
Trzy liczby x, y, z, których suma jest równa 26 tworzą ciąg geometryczny. Liczby x+1, y+6, z+3 tworzą ciąg arytmetyczny, Znajdź te liczby.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz dwa ciągi: arytmetyczny $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ i geometryczny $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ takie, że:
$$a_{1}b_{1} = 1, a_{2}b_{2} = 4, a_{3}b_{3} = 12,  a_{1} + a_{2} +
a_{3} = 6.$$
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Balon wzniósł się w pierwszej minucie na wysokość 64m a w każdej następnej,
przyrost wysokości był dwa razy mniejszy niż w poprzedniej. Na jakiej wysokości
był balon po 8 minutach?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Ciąg liczbowy $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \frac{3-5n}{2}$. Uzasadnij
z definicji, że jest to ciąg arytmetyczny.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Witek zjeżdża na sankach ze stoku. W pierwszej sekundzie sanki przebyły
drogę $3m$, a w każdej następnej sekundzie o $0.2m$ więcej niż w poprzedniej.
Jaką drogę przebyły sanki po 9 sekundach, przy założeniu, że na torze sanek
nie znajdowały się żadne przeszkody (np. drzewa)?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyrazy pewnego ciągu geometrycznego $(a_n)$ spełniają warunki:
$$\left\{\begin{array}{l}
a_1+a_2+a_3=2 \\
a_4+a_5+a_6=-2\end{array}\right.$$
Aby wyznaczyć iloraz $q$ tego ciągu, można postąpić w następujący sposób:
\begin{enumerate}
\item Zapisać drugie równanie w postaci: $q^{3}(a_1+a_2+a_3)=-2$.
\item Korzystając z równania pierwszego: $a_1+a_2+a_3=2$ ...
\item ... zapisać równanie: $q^{3}=-1$.
\item Stąd wyliczyć, że $q=-1$.
\end{enumerate}

Postępując analogicznie, wyznacz iloraz $q$ ciągu geometrycznego $(b_n)$,
którego kolejne wyrazy $b_3,b_4,\ldots,b_8$ spełniają warunki:
$$\left\{\begin{array}{l}
b_3+b_4+b_5+b_6=2 \\
b_5+b_6+b_7+b_8=8\end{array}\right.$$
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Marta kupiła na raty telewizor. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej
o taką samą kwotę. Ile zapłaciła Marta za telewizor, jeśli spłaciła go w 7 ratach,
a czwarta rata była równa 350~zł?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Ile wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{13n-4}{30-2n}$ jest większych niż 80?
Podaj te wyrazy.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Uzasadnij, że ciąg $(a_n)$ dany wzorem ogólnym $a_n=2^{3n-1}$ jest ciągiem
geometrycznym.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oblicz granicę:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{3+7+11+\ldots+(4n-1)}{3n^{2}-4n+10}$$
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczby $3.6; 2.5; \ldots$ tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę
tych wszystkich liczb.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $k$ równanie:
$$3\sin x + 9\sin^{2}x + 27\sin^{3}x + \ldots = k + 4,$$
gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, ma rozwiązanie?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości $x$ ciąg geometryczny nieskończony $2, 3x-x^{2}, \ldots$
jest zbieżny?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W kulę o promieniu $R$ wpisano sześcian, w sześcian ten wpisano kulę, itd. w
nieskończoność. Oblicz granicę, do której dąży suma pól powierzchni wszystkich
kul.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Okres połowicznego rozkładu pierwiastka to okres, po którym z danej ilości
pierwiastka pozostaje jego połowa. Dla radu ($Ra\ 226$) wynosi on 1560 lat. Ile
lat co najmniej trzeba czekać, aby z $1g$ radu zostało mniej niż $1mg$?
\end{zadanie}


\section{Elementy matematyki finansowej}

Z ciągami spotykamy się często w życiu codziennym w sytuacjach
związanych z lokatami bankowymi i kredytowymi. Wpłacając do banku kwotę
pieniędzy na lokatę długoterminową, możemy mieć do czynienia z tzw. procentem
prostym (stałym) lub składanym.

Załóżmy, że wpłacamy do banku kapitał $k$, oprocentowany na $p\%$ w
stosunku rocznym.

\paragraph{Procent prosty}
Załóżmy, że odsetki nie są dopisywane do kapitału po upływie każdego roku,
tzn. co roku procent $p$ liczony jest od kwoty kapitału początkowego. Po roku
oszczędzania, nasz kapitał wyniesie $k(1+\frac{p}{100})$. W następnym roku,
kapitał wyniesie: $k(1+\frac{p}{100}) + k\cdot\frac{p}{100} = k(1+\frac{2\cdotp}{100})$.
Ogólnie po upływie każdego roku do naszej lokaty dopisywana jest stała
kwota wynosząca: $k\cdot\frac{p}{100}$.
Zauważmy, że mamy tu do czynienia z ciągiem arytmetycznym o wyrazie ogólnym:
\[k_{n}=k\left(1+\frac{n\cdot p}{100}\right).\]
Taki sposób naliczania odsetek nazywamy {\bf procentem prostym} (stałym).

\paragraph{Procent składany}
Często jednak zdarza się, że co roku (lub z inną określoną częstotliwością),
odsetki doliczane są do kapitału od którego
liczony jest procent. Biorąc to pod uwagę, nasz kapitał po upływie roku równy
jest (podobnie jak poprzednio) $k(1+\frac{p}{100}).$ W następnym roku jednak,
oprocentowaniu podlega już nowa kwota. Po dwóch latach stan konta równy jest
$k(1+\frac{p}{100})^{2}$ i po każdym następnym roku zostaje pomnożony przez
$(1+\frac{p}{100})$. Zauważamy wiec, że mamy tu do czynienia z ciągiem
geometrycznym, którego $n$-tym wyrazem jest:
\[k_{n}=k\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}.\]
Taki sposób naliczania odsetek nazywany jest {\bf procentem składanym}.

\paragraph{Kapitalizacja odsetek}
W matematyce finansowej, dopisywanie odsetek do podstawy kapitału od którego
naliczane jest dalsze oprocentowanie nazywa się {\bf kapitalizacją odsetek}.
W przypadku lokat, gdzie występuje opisana wyżej sytuacja z procentem składanym, odsetki
są kapitalizowane z określoną częstotliwością (na przykład co roku).
W przypadku procentu prostego, kapitalizacja odsetek następuje tylko raz,
w momencie zakończenia oszczędzania.

\begin{problem}
Zastanów się, który ze sposobów naliczania odsetek jest bardziej opłacalny dla
klienta banku, w przypadku lokat oszczędnościowych oraz kredytów.
\end{problem}

\begin{problem}[$\star$]
Podane wzory na procent składany są poprawne w przypadku rocznej kapitalizacji odsetek.
Zastanów się, jak należy je zmodyfikować, aby były poprawne dla dowolnej częstotliwości
kapitalizacji odsetek wynoszącej $m$ miesięcy. Pamiętaj, że oprocentowanie $p$ podaje
się zazwyczaj w skali roku.
\end{problem}

\begin{uwaga}
Większość lokat bankowych stosuje procent składany do naliczania odsetek.
Jeśli więc w zadaniu nie sprecyzowano jak naliczane są odsetki, należy przyjąć
że chodzi o procent składany.
\end{uwaga}

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał w wysokości 3000 zł, złożony na trzy lata,
jeżeli roczna stopa wynosi $6\%$, a odsetki są kapitalizowane:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a)]
\item co pół roku,
\item kwartalnie,
\item miesięcznie,
\item codziennie.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oblicz ile będzie wynosił kapitał w wysokości 2000 zł złożony na procent składany
na $n$ lat, przy oprocentowaniu rocznym wynoszącym $r$ procent.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $n=2,r=5\%$
\item $n=2,r=5\%$
\item $n=5,r=5\%$
\item $n=5,r=5\%$
\item $n=10,r=3\%$
\item $n=10,r=5\%$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Jaką kwotę należy ulokować na koncie, aby po pięciu latach uzyskać 1217 zł,
jeśli roczne oprocentowanie wynosi $4\%$? Jaką kwotę należałoby złożyć, aby
uzyskać ten sam kapitał końcowy po trzech latach?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Bank przyjął kwotę 50 000 zł na $5\%$ rocznie i pożyczył ją na $6\%$ rocznie.
Ile zyskał bank w ciągu pięciu lat, a ile by zyskał w ciągu dziesięciu lat?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oblicz, do jakiej wysokości wzrośnie po pięciu latach kapitał 600 zł, jeżeli
oprocentowanie wynosi:
\begin{enumerate}[a)]
\item w pierwszym roku: $6\%$, w drugim: $5.5\%$, a w trzech ostatnich: $4\%$,
\item w pierwszym roku: $5.5\%$, w drugim: $4\%$, a w trzech ostatnich: $6\%$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oprocentowanie lokat w banku {\it ŹdziercaBank.COM} wynosiło w kolejnych latach:
$9\%, 8\%, 7\%, 6\%$. Stopa procentowa w banku {\it NiezłyPrzekrętBank} była
w tym samym czasie stała i wynosiła $r$. Oblicz $r$, jeśli wpłacenie kapitału
na cztery lata było w obu bankach równie (nie)opłacalne (oba banki kapitalizują
odsetki rocznie).
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Firma {\it Malwersanci.pl} zaciągnęła w banku kredyt wysokości 10 000 zł. Co roku
bank nalicza odsetki w wysokości 10\%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony
jednorazowo, po $n$ latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma
{\it Malwersanci.pl} musiał spłacić 13 310 zł?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Warunki oferowane przez banki dla lokat dwuletnich są następujące:
\begin{description}
\item[ńBank] $5.44\%$ rocznie, odsetki kapitalizowane co miesiące,
\item[village bank] $5.5\%$ rocznie, odsetki kapitalizowane co kwartał,
\item[GetoutBank] $5.6\%$ rocznie, odsetki kapitalizowane co pół roku,
\item[BLE Bank] $5.65\%$ rocznie, odsetki kapitalizowane co roku.
\end{description}
Który z banków oferuje najkorzystniejsze warunki oszczędzania?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Na lokatę terminową (18-miesięczną) wpłacono 5000 zł. Po 18 miesiącach, bank
wypłacił 5495,52 zł. Ile (w skali roku) wynosiło oprocentowanie lokaty, jeśli
bank kapitalizował odsetki co pół roku?
\end{zadanie}

\end{document}