
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[top=3cm,bottom=3cm,left=3cm,right=3cm,pdftex]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[OT4]{fontenc}

\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}

\usepackage{multicol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{zad}{Zadanie}

\title{Matematyka}
\author{Matura próbna: poziom rozszerzony}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

Poniżej znajduje się {\bf 9 zadań}. Rozwiązania należy zapisać na kartach {\bf podpisanych}
imieniem i nazwiskiem oraz ewentualnie adresem e-mail. Wyniki będzie można
poznać na wszystkich zajęciach w Oratorium począwszy od 4 maja (prowadzący
będę mieli teczkę z pracami). Jeśli ktoś poda adres e-mail to (być może) wyślemy
mu wyniki wcześniej. Poprawne rozwiązania powinny pojawić się niebawem
na stronie \url{http://www.salezjanie.rumia.pl/math}.

Zajęcia w Oratorium w weekend majowy (1-3 maja) {\bf nie odbywają się}. Do
matury zajęcia odbywać się będą jeszcze w dniach: $4,5,8,9$ maja w godzinach
17.30-19.00 oraz $6$ maja w godzinach 12.00-13.30. Jeśli masz jakieś pytania,
nie wyjaśnione zadania czy wątpliwości, a nie możesz przyjść w tych terminach,
pisz: \url{ja@hope.art.pl}.

\begin{center}
{\bf Czas pracy: \underline{ok. 120 minut}.} \\ {\sc Powodzenia!}
\end{center}

\begin{zad}[4 punkty]
Niech $f(x) = \cos x - \sqrt{3}\sin x$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Naszkicuj wykres $f$.
\item Rozwiąż równanie $f(x) = 1$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{zad}[5 punktów]
Sześcian o krawędzi podstawy $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Sporządź
odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
\end{zad}

\begin{zad}[10 punktów]
Dane jest równanie: $x^{2} + (m-5)x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0$. Zbadaj dla jakich
wartości parametru $m$ stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich
iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
\end{zad}

\begin{zad}[4 punkty]
Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases}
|x|-y = 1\\
x^{2} + (y+1)^{2} = 8
\end{cases}\]
\end{zad}

\begin{zad}[4 punkty]
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest
wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów,
przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a$ ($a>0$).
\end{zad}

\begin{zad}[4 punkty]
Ciąg $(a_n)$ określony jest rekurencyjnie w sposób:
\[
\begin{cases}
a_1 = 2 & \\
a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1} & n\geq 1
\end{cases}
\]
Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg $(a_n)$ można określić
za pomocą wzoru ogólnego $a_n = \frac{2}{2n-1}$, gdzie $n\geq 1$.
\end{zad}

\begin{zad}[5 punktów]
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_{x}(4^{x} - 12\cdot 2^x + 32)$.
\end{zad}

\begin{zad}[9 punktów]
Dana jest funkcja $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ oraz prosta $l$ nachylona do osi $OX$
pod kątem $\alpha$, którego sinus jest równy $0{,}6$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Oblicz współczynnik kierunkowy prostej $l$.
\item Podaj wszystkie punkty $x$ z dziedziny funkcji $f$, takie, że styczne do
wykresu $f$ w punktach $(x,f(x))$ są równoległe do prostej $l$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{zad}[3 punkty]
Prawdopodobieństwa zdarzeń losowych $A$ i $B$ są równe:
$P(A) = 0{,}8$ oraz $P(B)=0{,}5$. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo warunkowe
$P(A|B)$ jest nie mniejsze niż $0{,}6$.
\end{zad}

\end{document}