\documentclass[11pt,a5paper,twoside]{article}
\usepackage[top=1.7cm,bottom=0.5cm,left=.7cm,right=1.2cm,twoside,pdftex]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage[inline]{asymptote}

\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}

\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]


\renewcommand{\sectionmark}[1]%
{\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}}

\lhead[{\bf \thepage}]{\rightmark}
\rhead[\rightmark]{{\bf \thepage}}
\cfoot[]{}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}

\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\footskip}{5pt}

\pagestyle{fancy}

\title{Wielomiany}
\author{Kurs matematyki w {\sc oratorium} \\ \small{autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt}}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\section{Podstawowe pojęcia}

\begin{definicja}
Wielomianem stopnia $n$ ($n\in \mathbb{N}$) będziemy nazywać każdą funkcję
$W\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ daną wzorem:
$$W(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0},$$
gdzie $a_{n}\neq 0$ oraz $a_{n},a_{n-1},\ldots,a_{1},a_{0} \in \mathbb{R}$.
Liczby $a_{n},a_{n-1},\ldots,a_{1},a_{0}$ zwykło nazywać się współczynnikami.
Liczba $a_{0}$ często nazywana jest również wyrazem wolnym.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Funkcja $W(x) = 3x^{7}+4x-2$ jest wielomianem stopnia 7.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Funkcja $W(x)=(m-3)x^{6}+4x^{5}-3x+14$ jest wielomianem, ale stopień tego
wielomianu zależy od wartości parametru $m$: dla $m\neq 3$ stopień $W(x)$ wynosi
$6$ natomiast dla $m=3$ stopień $W(x)$ wynosi $5$.
\end{przyklad}

\begin{uwaga}[funkcja liniowa i kwadratowa jako wielomiany]
Funkcje liniowa i kwadratowa są wielomianami. Funkcja kwadratowa jest wielomianem
stopnia $2$, funkcja liniowa postaci $f(x)=ax+b$, gdzie $a\neq 0$ jest oczywiście
wielomianem stopnia $1$, jeśli $a=0$ oraz $b\neq 0$ to jest to wielomian stopnia $0$.
Dodatkowo przyjmuje się, że funkcja $f(x)=0$ też jest wielomianem, a jego stopień
wynosi $-\infty$.
\end{uwaga}

\section{Wykresy i własności}

Wykresem wielomianu jest krzywa, która przypomina nieskończenie długi drut, który
dla prostoty, będziemy w tej książce określać jako ,,wężyk''. Warto wiedzieć, że
dla każdego wielomianu zachodzi kilka faktów odnośnie jego wykresu i własności:
\begin{itemize}
\item ilość miejsc zerowych wielomianu nie przekracza jego stopnia,
\item ilość ekstremów lokalnych wielomianu jest mniejsza od jego stopnia.
\end{itemize}

Co więcej wiemy, że:
\begin{enumerate}[a)]
\item jeśli stopień wielomianu $n$ jest parzysty, to:

\begin{itemize}
\item oba ramiona ,,wężyka'' są skierowane w tą samą stronę (gdy $a_{n}>0$ to w górę,
a gdy $a_{n}<0$ to w dół),
\item może w ogóle nie być miejsc zerowych,
\item jest nieparzysta ilość ekstremów, tzn. jedno, trzy, $\ldots$ lub $n-1$.
\end{itemize}

\item jeśli stopień wielomianu $n$ jest nieparzysty, to:

\begin{itemize}
\item jedno ramię ,,wężyka'' jest skierowane w górę, a drugie w dół (kierunek
prawego ramienia wyznaczamy z współczynnika $a_{n}$),
\item musi być przynajmniej jedno miejsce zerowe,
\item jest parzysta ilość ekstremów lokalnych (tyle samo maksimów co minimów),
tzn: zero, dwa, $\ldots$, lub $n-1$.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\begin{fakt}
Wielomian jest funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy ,,składa się'' wyłącznie
z potęg parzystych (np. $W(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx^{2}+d$). Wielomian jest funkcją
nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy ,,składa się'' wyłącznie z potęg nieparzystych
(np. $Q(x)=ax^{7}+bx^{3}+cx$).
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Wyraz wolny wielomianu to oczywiście potęga zerowa, czyli parzysta.
\end{uwaga}

\paragraph{Wniosek:} Jeśli we wzorze wielomianu występują zarówno potęgi parzyste
jak i nie parzyste, to nie jest on określony względem parzystości (nie jest,
ani parzysty, ani nieparzysty).

\subsection{Wielomian trzeciego stopnia}
Podczas rozwiązywania różnych zadań często mamy do czynienia z wielomianem stopnia $3$.
Ze względu na jego szczególny charakter, poniżej zebrano różne jego własności.
Należy jednak zaznaczyć, że zazwyczaj odnoszą się one tylko do wielomianów stopnia
trzy.

\paragraph{Własności wielomianu trzeciego stopnia.} Wielomian trzeciego stopnia
ma następujące własności:
\begin{enumerate}
\item Wielomian stopnia $3$ może mieć jedynie jedno, dwa lub trzy miejsca zerowe.
\item Wielomian stopnia $3$ albo ma dwa ekstrema (jedno minimum i jedno maksimum)
albo nie ma ich wcale (i wtedy jest funkcją monotoniczną). Zauważmy, że jeśli wielomian
ma postać $W(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ oraz $a\neq 0$, to pochodna tego wielomianu ma postać:
$W^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx+c$. Można policzyć $\Delta$ dla pochodnej. Jeśli $\Delta$
jest dodatnia, to pochodna ma dwa miejsca zerowe, więc badany wielomian ma dwa
ekstrema. Jeśli jednak $\Delta \leq 0$ to badany wielomian $W$ jest monotoniczny (pochodna
ma stały znak) i w zależności od wartości $a$ może być stale rosnący lub stale
malejący.
\end{enumerate}

\begin{problem}
Zastanów się ile miejsc zerowych może mieć dowolna funkcja (nie koniecznie
wielomian!), która jest
monotoniczna - to znaczy jest rosnąca, lub malejąca, lub stała w całej
swej dziedzinie.
\end{problem}

\section{Twierdzenia dotyczące wielomianów}
W tym podrozdziale zebrano najważniejsze twierdzenia dotyczące wielomianów.
Zapoznaj się z treścią tych twierdzeń i sprawdź czy dokładnie rozumiesz ich
treść. Dobre poznanie tych twierdzeń jest o tyle ważne, że większość zadań
o wielomianach (lub zadań w których w jakiejś postaci pojawiają się wielomiany)
wymaga użyć niektórych z nich.

\begin{tw}[o rozkładzie]
Każdy wielomian można rozłożyć na iloczyn czynników stopnia nie większego niż 2.
\end{tw}

\begin{przyklad}
Rozłożymy kilka wielomianów na czynniki.
\begin{enumerate}
\item $x^{6} - 6x^{5} + 9x^{4} = x^{4}(x^{2}-6x+9) = x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot(x-3)\cdot(x-3)$,
\item $6x^{5} - x^{4} + x^{3} = x\cdot x\cdot x\cdot(6x^{2}-x+1)$,
\item $x^{4}+x^{2}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2} = (x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)$.
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\begin{tw}[o dzieleniu wielomianów]
Jeśli wielomian $W(x)$ dzielimy przez $Q(x)$ i dostajemy wynik $P(x)$ i resztę
$R(x)$, to:
$$W(x)=P(x)Q(x)+R(x).$$
Co więcej stopień $R(x)$ jest mniejszy niż stopień $Q(x)$.
\end{tw}

\begin{tw}[twierdzenie Bezoute'a]
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
$W(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x-a)$.
\end{tw}

\begin{tw}[rozszerzone twierdzenie Bezoute'a]
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ wynosi $W(a)$.
\end{tw}

\begin{tw}[o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikiach całkowitych]
Jeśli liczba $\frac{p}{q}$, gdzie $p, q$ to liczby całkowite, jest pierwiastkiem
wielomianu $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$, gdzie wszystkie współczynniki
są całkowite, to $p$ jest podzielnikiem $a_{0}$, natomiast $q$ jest podzielnikiem
$a_{n}$,
\end{tw}

\section{Wiadomości dodatkowe}

\subsection{Sposoby dzielenia wielomianów}

W twierdzeniach z poprzedniego punktu często była mowa o tym, ze jeden wielomian
jest podzielny przez drugi, lub że dzielimy jeden wielomian przez drugi. Tutaj zajmiemy się
krótko technicznymi możliwościami wykonania takich dzieleń.

Dzielenie wielomianów przypomina dzielenie w zbiorze liczb całkowitych lub
naturalnych (i jak się okazuje, obie te rzeczy mają bardzo wiele wspólnego).
Wynikiem dzielenia dwóch wielomianów jest bowiem zawsze wielomian, oraz może
zdarzyć się tak, że pojawia się dodatkowy wielomian zwany resztą --- w przypadku
gdy dzielenia nie da się wykonać.

Najbardziej powszechną i uniwersalną metodą dzielenia wielomianów jest dzielnie
tzw. pisemne, która działa analogicznie do dzielenia pisemnego liczb naturalnych
które znamy ze szkoły podstawowej.

\begin{problem}
Przypomnij sobie jak wykonywać dzielenie wielomianów metodą pisemną.
\end{problem}

Dzielenie pisemne ma liczne zalety. Najważniejsze jest to, że metoda ta
zawsze działa. Niestety jednak dużą wadą jest to, iż obliczenia bywają
nieraz żmudne. Poznajemy więc inną metodę.

\paragraph{Metoda Hornera.}
Jest to metoda pozwalająca dzielić dowolny wielomian $W(x)$ przez jednomian
postaci $(x-p)$, gdzie $p\in\mathbb{R}$. Nie będziemy tutaj podawać dokładnego
opisu tej metody, ani dowodu poprawności jej działania (takie informacje ---
a szczególnie ,,skąd to wszystko się bierze'' można znaleźć w Internecie\footnote{
Polecamy stronę \url{http://www.matematyka.org}, dział: licealista, algebra,
wielomiany, oraz encyklopedię internetową Wikipedia \url{http://pl.wikipedia.org}.
Schemat Hornera opisano w Wikipedii bardzo szczegółowo: \url{http://pl.wikipedia.org/wiki/Schemat_Hornera}.}),
zamiast tego pokażemy na przykładzie jak się tą metodę stosuję. Z resztą,
powinna już być dość dobrze znana ze szkoły.

\begin{przyklad}
Podzielimy wielomian $W(x) = 7x^4 + 5x^2 +3x +1$ przez $Q(x) = x+2$. Zaczynamy
od zapisania tablicy. W pierwszym jej wierszu (poczynając od drugiej kolumny)
zapisujemy współczynniki wielomianu, pamiętając o tym by wypisać również te równe $0$. W pierwszej kolumnie drugiego
wiersza zapisujemy liczbę $p$, a w drugiej kolumnie $0$. W ostatnim wierszu przepisujemy pierwszy
współczynnik --- niezmieniony.

\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
   & 7 & 0 & 5 & 3 & 1 \\
\hline
-2 & 0 &   &   &   &   \\
\hline
   & 7 &   &   &   &
\end{array}
\]

Następnie z ostatniego wiersza bierzemy pierwszą (w tym przypadku jedyną) liczbę
od strony prawej, mnożymy ją przez $-2$ i wpisujemy w środkowym rzędzie w pierwszym
wolnym miejscu począwszy od strony lewej. Sumujemy wyrazy w kolumnie do której
właśnie wpisaliśmy wynik mnożenia, i sumę zapisujemy w ostatnim wierszu.
To postępowanie powtarzamy aż do wypełnienia tabeli.
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
   & 7 & 0   & 5 & 3 & 1 \\
\hline
-2 & 0 & -14 & 28& -66& 126  \\
\hline
   & 7 & -14 & 33&  -63& 127
\end{array}
\]
Teraz pozostaje odczytanie wyniku. Wynikiem dzielenia jest wielomian $V(x)$ o
stopniu dokładnie o jeden mniejszym od stopnia wielomianu $W(x)$. O współczynnikach
zapisanych w ostatnim wierszu, w kolumnach od drugiej do przedostatniej:
\[ V(x) = 7x^3 - 14x^2 + 33x - 63. \]
Pozostała ostatnia komórka w ostatnim wierszu jest resztą.
\end{przyklad}

\begin{uwaga}
Są różne sposoby zapisu tabelki dzielenia wielomianów metodą Hornera. Na stronie
\url{www.matematyka.org} przedstawiono na przykład nieco inny sposób tylko z
dwoma wierszami. Sposób prezentowany tutaj pomaga jednak uniknąć wiele błędów
rachunkowych. Oczywiście sama metoda/schemat są takie same niezależnie od tego
jaką tabelkę się stosuje --- idea pozostaje bez zmian!
\end{uwaga}

\subsection{Równość wielomianów}

\begin{definicja}[równość wielomianów]
Mówimy, że dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia oraz gdy mają
takie same współczynniki przy wszystkich potęgach.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Wielomiany $W(x) = x^{4} + 3x^{2} - 7$ jest równy wielomianowi $V(x)=kx^{5}+x^{4}+ax^{2}-7$
wtedy i tylko wtedy, gdy $k=0$ oraz $a=3$.
\end{przyklad}

\begin{fakt}[o równości wielomianów]
Jeśli dwa wielomiany stopnia co najwyżej $n$ mają takie same wartości dla
$n+1$ argumentów, to są równe.
\end{fakt}


\begin{przyklad}
Załóżmy, że wielomiany: $W(x) = a(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-3) + c(x-1)(x-2)$ oraz
$G(x) = 5x^{2}-19x=18$ są równe. Zastanówmy się jakie w takim razie muszą być
wartości parametrów $a,b,c$.

Po pierwsze zauważmy, że wielomian $G$ jest stopnia $2$, natomiast wielomian $W$
jest stopnia co najwyżej $2$. W takim razie, korzystając z poprzedniego faktu,
wystarczy sprawdzić czy wielomiany przyjmują takie same wartości dla
przynajmniej trzech różnych argumentów. Oczywiście argumenty te mogą być dowolne,
jednak my wybierzemy takie, aby łatwo można było wyliczyć wartości $W(x)$ oraz $G(x)$.
Weźmy więc: $x_{1}=1$, $x_{2}=2$, $x_{2}=3$ (wybór jest taki, ze względu na wielomian
$W$, w którym podstawienie $1$, $2$ lub $3$ zeruje niektóre składniki!).

Skoro $W$ i $G$ są równe to oczywiście musi być spełniony układ:

$$\left\{
\begin{array}{l}
W(1)=G(1) \\
W(2)=G(2) \\
W(3)=G(3)
\end{array}
\right.$$

Znamy wzory na $W(x)$ i $G(x)$, więc korzystając z nich możemy zapisać (podstawiając
odpowiednie wartości):

$$\left\{
\begin{array}{l}
2a=4 \\
-b=0 \\
2c=6
\end{array}
\right.$$

Co daje nam odpowiedź: $a=2$, $b=0$, $c=3$.
\end{przyklad}

\subsection{Wielokrotne pierwiastki wielomianu}

\begin{definicja}[$k$-krotny pierwiastek wielomianu]
Liczbę $a$ nazywamy $k$-krotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, gdy w jego
rozkładzie występuje czynnik $(x-a)^{k}$ i nie występuje czynnik $(x-a)^{k+1}$.
Innymi słowy, jeśli $a$ jest $k$-krotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, to
wielomian ten dzieli się przez $(x-a)^{k}$, ale nie dzieli się przez $(x-a)^{k+1}$.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Liczba $a$ jest $k$-krotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy,
gdy spełniony jest warunek:
$$\left\{
\begin{array}{l}
W(a)=0\\
W^{\prime}(a)=0\\
\vdots \\
W^{(k-1)}(a) = 0\\
W^{(k)}(a) \neq 0
\end{array}
\right.$$
W powyższym zapisie przez $W^{(n)}(x)$ oznaczmy $n$-tą pochodną\footnote{Termin $n$-ta pochodna, oznacza, że
daną funkcję różniczkujemy $n$ razy. Czyli liczymy pochodną, potem pochodną z pochodnej itd.
$n$-razy.} wielomianu $W(x)$.
\end{fakt}


\begin{przyklad}
Liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-2x-2$.
Sprawdzimy ile wynosi krotność tego pierwiastka. Najpierw przekonajmy się,
czy rzeczywiście $-1$ jest pierwiastkiem:
$$W(-1) = -1+1-1+1+2-2=0.$$
Łatwo policzyć pierwszą pochodną tego wielomianu - ma ona postać: $W^{\prime}(x)=5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x-2$.
Sprawdźmy czy $-1$ jest również pierwiastkiem pochodnej:
$$W^{\prime}(x)=5-4+3-2-2=0.$$
Policzmy teraz drugą pochodną (czyli pochodną pochodnej): $W^{\prime\prime}(x)=20x^{3}+12x^{2}+6x+2$.
Co daje nam:
$$W^{\prime\prime}(x)=-20+12-6+2\neq 0.$$
Na mocy faktu dowiedliśmy więc, że liczba $-1$ jest dwukrotnym pierwiastkiem
wielomianu $W(x)$.
\end{przyklad}

\begin{definicja}
Niech $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$. Wówczas liczbę
$a_{0}$ nazywamy wyrazem wolnym, natomiast liczbę równą $a_{n}+a_{n-1}+\ldots+a_{1}+a_{0}$ sumą
współczynników wielomianu $W$.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Dla dowolnego wielomianu $W(x)$ zachodzi:
\begin{enumerate}
\item wyraz wolny jest równy $W(0)$,
\item suma współczynników jest równa $W(1)$,
\item wykres wielomianu przecina oś $OY$ w punkcie $(0,a_{0})$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{problem}
Zastanów się, jak można udowodnić powyższy fakt.
\end{problem}

\begin{przyklad}
Policzymy teraz wyraz wolny i sumę współczynników wielomianu $W(x)=(x-4)^{3}(x^{2}-16)$.
Oczywiście można by wymnożyć wszystkie składniki tego iloczynu (podnosząc wcześniej
$(x-4)$ do potęgi trzeciej), jednak zajęłoby to dużo czasu. My możemy skorzystać
ze znanych nam już twierdzeń i faktów. Po pierwsze jest to wielomian stopnia $5$ (czy wiesz dlaczego?).
Wyraz wolny, na mocy poprzedniego faktu, równa się wartości $W(0)$. Mamy więc:
$$a_{0} = W(0) = 4^{3}\cdot 16 = 4^{5} = 1024.$$

Suma współczynników $a_{5}+a_{4}+\ldots+a_{1}+a_{0}$, na mocy faktu, równa jest
wartości $W(1)$, Stąd mamy:
$$a_{5}+a_{4}+\ldots+a_{1}+a_{0}=W(1)=(-3)^{3}\cdot (-15) = 405.$$
\end{przyklad}

\begin{problem}
Zastanów się jak, dla podanego w powyższym przykładzie wielomianu, wyliczyć sumę
współczynników przy parzystych i nieparzystych potęgach (czyli odpowiedzieć na
pytanie ile wynosi $a_{5}+a_{3}+a_{1}$ oraz $a_{4}+a_{2}+a_{0}$). Wskazówka: użyj
wartości $W(1)$ oraz $W(-1)$.
\end{problem}

\begin{fakt}
Wielomian zmienia znak tylko w pierwiastkach o nieparzystej krotności. W pierwiastkach
krotności parzystej nasz ,,wężyk'' nie przecina osi $OX$ ale jest do niej
styczny.
\end{fakt}

\subsection{Uogólnione wzory Viete'a}

Okazuje się, że wzory Viete'a podane w rozdziale o funkcji kwadratowej, da się
uogólnić dla wielomianów stopnia wyższego niż $2$. W tym podręczniku ograniczymy
się do podania tych wzorów jedynie dla wielomianów stopnia trzeciego, jednak
należy mieć świadomość, że podobne wzory można wyprowadzić dla wielomianów
stopni wyższych.

\begin{fakt}[wzory Viete'a dla wielomanów stopnia trzeciego]
Niech $W(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ będzie wielomianem stopnia $3$, oraz niech liczby
$x_{1},x_{2},x_{3}$ są pierwiastkami tego wielomianu. Wówczas prawdziwe są wzory:

$$\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3} = -\frac{b}{a} \\
x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = \frac{c}{a} \\
x_{1}x_{2}x_{3} = -\frac{d}{a}
\end{array}
\right.$$
oraz istnieje postać iloczynowa tego wielomianu: $W(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$.
\end{fakt}

\begin{przyklad}
Wiadomo, że wielomian dany wzorem $W(x)=x^{3}+px^{2}+qx=8$ ma jeden pierwiastek podwójny
(przez pierwiastek podwójny rozumiemy pierwiastek drugiego stopnia) a drugi
jest do niego liczbą przeciwną. Znajdziemy teraz odpowiednie wartości parametrów
$p$ i $q$, dla których powyższy warunek jest prawdziwy.

Z treści warunku wynika, że wielomian $W$ ma trzy pierwiastki: $a,a,-a$, gdzie
$a$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Korzystając z wzorów Viete'a mamy, że:

$$\left\{
\begin{array}{l}
a+a+(-a)=-p \\
a\cdot a + a\cdot (-a) + (-a)\cdot a = q \\
a\cdot a \cdot (-a) = -8
\end{array}
\right.$$

Stąd mamy:
$$\left\{
\begin{array}{l}
a=-p \\
-a^{2} = q \\
a^{3} = 8
\end{array}
\right.$$

Czyli:
$$\left\{
\begin{array}{l}
a=2 \\
p=-2 \\
q = -4
\end{array}
\right.$$

Wobec czego wielomian możemy zapisać w postaci: $W(x)=(x-2)^{2}(x+2)$.
\end{przyklad}

\section{Zadania}

\subsection{Zadania otwarte}

\begin{zadanie}
Sprawdź czy wielomian jest $W(x)=8x^{3}-27$ równy wielomianowi:
\begin{enumerate}[a)]
\item $P(x) = (2x-3)^{3}$,
\item $P(x) = 2x(4x^{2}-9)+9(2x-3)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Podany wielomian $W$ rozłóż na czynniki, znajdź wszystkie jego pierwiastki,
podaj ich krotności i naszkicuj wykres tego wielomianu.
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x) = 5x^{5}-20x^{4}$,
\item $W(x) = x^{6}-x^{4}-x^{2}+1$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykonaj dzielenie wielomianów $W$ przez $Q$ i zapisz go w postaci: $W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x)$:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x) = 2x^{3}-x^{2}-2x-3$, $Q(x)=x+1$,
\item $W(x) = -3x^{4}+5x^{3}+x^{2}+10x+6$, $Q(x)=x^{2}+2$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $Q(x)$:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$, $Q(x)=x-2$,
\item $W(x) = x^{10}-1$, $Q(x)=-x^{2}+x$,
\item $W(x) = (x-2)^{6}$, $Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametrów $a$ i $b$ wielomian $W(x)=3x^{3}+4x^{2}-13x+6$ jest
równy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x) = ax^{3} + 2bx^{2} - 13x +6$,
\item $W(x) = (x+3)(ax^{2}-bx+a-b)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczba $-\frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem $W(x)=12x^{5}+8x^{4}+11x^{3}+7x^{2}-x-1$.
Oblicz krotność tego pierwiastka. Znajdź pozostałe pierwiastki.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz $p$ i $q$ tak, aby liczba $1$ była dwukrotnym pierwiastkiem równania:
$x^{3}-2x^{2}+px+q=0$. Zadanie rozwiąż przynajmniej na dwa sposoby!
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbadaj parzystość wielomianów:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x) = 2x^{2} - x$,
\item $W(x) = x^{3}-4x^{2}+1$,
\item $f(x) = 4x^{4} + 3x^{2} - 1$,
\item $f(x) = x^{5} - 3x^{3} - 7$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Jaki warunek muszą spełniać współczynniki wielomianu trzeciego stopnia:
$W(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, aby był on funkcją nieparzystą? Czy może on być
funkcją parzystą?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$^{\star}$]
Wyznacz te wartości parametru $a$, dla których wielomian $W(x)=x^{3}+ax^{2}-4$:
\begin{enumerate}[a)]
\item jest funkcją rosnącą,
\item posiada dwa ekstrema lokalne,
\item $({\star})$ posiada dokładnie dwa miejsca zerowe (wskazówka: możesz użyć
wzorów Viete'a dla wielomianów stopnia trzeciego).
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane są wielomiany $Q(x) = x^3 - x^2 + 2$ i $S(x) = -2x^2 -2x +4$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $Q(x)$.
\item Wielomian $P(x)$ jest sumą wielomianów $Q(x)$ i $S(x)$. Rozłóż wielomian
$P(x)$ na czynniki liniowe.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b,c$ funkcja:
\[ f(x) = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) \]
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $W(x)=x^3-x^2+ax+b$ jest równy wielomianowi $T(x) =(x-2)^2(x-c)$,
gdzie $c\neq 2$. Wyznacz wartości współczynników $a,b,c$. Rozwiąż nierówność
$T(x)\leq 0$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{4}+2x^{3}-x-2=0$,
\item $3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-5x-2=0$,
\item $x^{4}+x^{2}-6x+4=0$,
\item $x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-19x-6=0$,
\item $2x^{3}+x^{2}+3x-2=0$,
\item $9x^{4}+9x^{3}+11x^{2}+9x+2=0$,
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność:
\begin{enumerate}[a)]
\item $(x-1)(x-2)(x+3)\geq 0$,
\item $(x^{2}+1)(x^{2}-1)(x-2)^{2} < 0$,
\item $(x^{2}-1)^{3}(x^{4}+2) > 0$,
\item $(x-1)^{2}(x+3)^{3}\geq 0$,
\item $(x-4)^{2}(x^{2}-16)\leq 0$,
\item $x^{2}(x-3)(x+1)\leq 0$,
\item $-x(x-2)^{2}\geq 0$,
\item $-2(x+1)^{2}(x-1)\leq 0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność:
\begin{enumerate}[a)]
\item $-x^{3}-2x^{2}+6x < 0$,
\item $-x^{4}+x^{3}+7x^{2} \geq 0$,
\item $x^{3}-x^{2}-7x \leq 0$,
\item $2x^{3}+x^{2}-8x-4 > 0$,
\item $3x^{3}-2x^{2}-6x+4 \leq 0$,
\item $x^{3}+3x^{2}+x-1 \leq 0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Podaj przykład wielomianu, którego jedynymi pierwiastkami są liczby $-3,2,4$ i
którego stopnień jest równy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $3$,
\item $4$,
\item $6$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametrów $a$,$b$ i $c$, wiedząc, że:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x)=x^{3}+ax^{2}+6x+b$, $W(0)=1$, $W(1)=5$,
\item $W(x)=x^{4}-2x^{3}+ax^{2}-b$, $W(0)=-1$, $W(1)=8$,
\item $W(x)=-x^{5}+3x^{4}-ax^{3}+x+b$, $W(0)=2$, $W(1)=-4$,
\item $W(x)=-6x^{7}-ax^{5}+bx^{4}-3x+5$, $W(-1)=2$, $W(1)=-2$,
\item $W(x)=x^{2004} + x^{2003} + x^{2002} + \ldots + x^{3} - ax^{2} + x + b$, $W(1)=2007$, $W(0)=3$,
\item $W(x)=x^{5}+ax^{2}+bx+c$, $W(-1)=1$, $W(0) = 1$, $W(1)=-1$,
\item $W(x)=2x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+c$, $W(-2)=-16$, $W(0)=-4$, $W(2)=0$,
\item $W(x)=x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-ax^{2}-bx+c$, $W(-1)=9$, $W(0)=-3$, $W(3)=6$.
\item $W(x)=x^{100} - x^{99} + x^{98} - x^{97} + \ldots - ax^{3} + bx^{2} - x + 1$, $W(1)=3$, $W(-1)=101$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Określ stopień podanych wielomianów oraz oblicz ich wyrazy wolne i sumy współczynników.
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x)=(17x^{117} - x^{115} - 16x^{19} - 1)^{83}(19x^{119}-18x^{17}-x^{7}-1)^{38}$,
\item $W(x)=(3x^{11}-4x^{8}+1)^{8}(5x^{2}+8x-1)^{19}$,
\item $W(x)=(8x^{12}-13x^{7}+5x^{3}+1)^{95}(8x^{19}-11x^{17}+3x^{7}+1)^{59}$,
\item $W(x)=(8x^{12}-13x^{7}+5x^{3}+1)^{95}+(8x^{19}-11x^{17}+3x^{7}+1)^{59}$,
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykaż, że dana liczba $a$ jest $k$-krotnym pierwiastkiem wielomianu $W$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-3$, $a=1$, $k=2$,
\item $W(x)=x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-14x-7$, $a=-1$, $k=2$,
\item $W(x)=x^{5}-2x^{4}+5x^{3}-13x^{2}+14x-5$, $a=1$, $k=3$,
\item $W(x)=x^{5}-4x^{4}+x^{3}+37x^{2}+50x+19$, $a=-1$, $k=3$,
\item $W(x)=x^{5}-6x^{4}-7x^{3}+106x^{2}-228x+152$, $a=2$, $k=3$,
\item $W(x)=3x^{5}+18x^{4}+31x^{3}-6x^{2}-60x-40$, $a=-2$, $k=3$.
\item $(\star)$ $W(x)=(x-1)^{100}$, $k=1$, $k=100$, korzystając z różniczkowej
charakteryzacji krotności pierwiastka wielomianu.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez $V$, gdy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x)=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$, $V(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$,
\item $W(x)=x^{19}+x^{18}+x^{17}+\ldots+x^{2}+x+1$, $V(x)=x^{2}+x+1$,
\item $W(x)=x^{1995}+x^{1994}+\ldots+x^{2}+x+1$, $V(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$,
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Nie wykonując dzielenia sprawdź czy wielomian $W$ jest podzielny przez $V$ (jeśli
nie jest podaj resztę).
\begin{enumerate}[a)]
\item $W(x)=x^{3}+5x^{2}-7x+9$, $V(x)=x-1$,
\item $W(x)=x^{5}+x^{4}-6x^{3}-7x^{2}+7x+11$, $V(x)=x+1$,
\item $W(x)=x^{6}-5x^{5}+3x^{4}-x^{3}-5x^{2}-x-6$, $V(x)=x+1$,
\item $W(x)=6x^{3}-7x^{2}+7x+6$, $V(x)=2x+1$,
\item $W(x)=8x^{3}+2x^{2}+13x+7$, $V(x)=2x+1$,
\item $W(x)=x^{3}+2x^{2}-13x+10$, $V(x)=x^{2}-3x+2$,
\item $W(x)=x^{3}+20x^{2}-x-20$, $V(x)=x^{2}-1$,
\item $W(x)=x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-16x+20$, $V(x)=x^{2}+7x+10$,
\item $W(x)=x^{4}+3x^{3}-15x^{2}-19x+30$, $V(x)=x^{2}-x-6$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\subsection{Zadania testowe}

W zadaniach testowych, należy ustosunkować się do każdego z podpunktów oznaczając
go jako \textbf{prawdziwy} lub \textbf{fałszywy} oraz, w przypadku niektórych
zadań, wykonać dodatkowe polecenia. (Możliwe są oczywiście wszystkie kombinacje
odpowiedzi. Może się zdarzyć nawet, że wszystkie trzy podpunkty mogą być fałszywe lub prawdziwe.)
Każdą swoją odpowiedź spróbuj {\bf uzasadnić}.

\begin{zadanie}
Wielomian dany wzorem: $W(x) = x^{4} + x^{3} + ax^{2} + ax + b$
jest podzielny przez wielomian:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ i $b=0$,
\item $x+1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=3$ i $b=0$,
\item $x^{2}-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=-1$ i $b=0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbiór wartości funkcji $f\colon \langle 0,2 \rangle \to \mathbb{R}$ danej wzorem
$f(x)=-x^{2}+x+1$ jest:
\begin{enumerate}[a)]
\item zawarty w zbiorze $(-\infty,1\rangle$,
\item równy $\langle -1,1\rangle$,
\item zawarty w zbiorze $\langle -1.5;1.5 \rangle$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Do wykresu wielomianu danego wzorem: $W(x)=x^{3}-2x^{2}+mx$ należą dwa punkty w których styczne
są równoległe do prostej $y=2x$ dla:
\begin{enumerate}[a)]
\item $m=3$,
\item $m=4$,
\item $m>\frac{10}{3}$.
\end{enumerate}
\textbf{Wskazówka: } Skorzystaj z pochodnej i wzoru na styczną w punkcie.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $Q(x)=x^{3}-mx^{2}+3x-3$:
\begin{enumerate}[a)]
\item ma dwa ekstrema lokalne gdy $-3 < m < 3$,
\item jest funkcją rosnącą gdy $m\in (-3,3)$,
\item nie ma ekstremów lokalnych gdy $m\in\langle -3,3\rangle$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane są funkcje $f(x)=x^{4}-2x^{2}+5$ oraz $g(x)=-x^{4}+2x^{2}-5$. Czy:
\begin{enumerate}[a)]
\item jedna z nich jest parzysta a druga nieparzysta?
\item wykres $f$ jest symetryczny do wykresu $g$ względem osi $OX$ ?
\item wykres $f$ jest symetryczny do wykresu $g$ względem punktu $(0,0)$ ?
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $x^{3} - (m+4)x - 2m$ jest podzielny przez $x - m$. Wówczas:
\begin{enumerate}[a)]
\item $m$ jest liczbą całkowitą,
\item $m=3$,
\item $m\geq 0$ ?
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dana jest nierówność: $px-p^{3}-p\geq 0$ (z niewiadomą $x$). Jej zbiorem jest
rozwiązań jest $(-\infty,-2\rangle$. Zatem:
\begin{enumerate}[a)]
\item $p\geq 0$,
\item $p=-1$,
\item $p^{2} = 1$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dany jest wielomian: $W(x) = x^{3} - 2002 x^{2} + 2002x.$ Czy:
\begin{enumerate}[a)]
\item suma pierwiastków $W$ jest nieujemna?
\item suma pierwiastków $W$ jest równa ich iloczynowi?
\item suma kwadratów pierwiastków jest większa od $1000000$?
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $mx^{3}-nx^{2}$ ($mn\neq 0$) posiada maksimum lokalne w $x=2$. Zatem:
\begin{enumerate}[a)]
\item $|m| < |n|$,
\item funkcja ta posiada maksimum lokalne,
\item funkcja jest monotoniczna w $(-\infty,-1)$ ?
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczba $p\in\mathbb{R}$ jest pierwiastkiem równania (z niewiadomą $x$):
$x^{3}-px^{2}+2x-2p=0$:
\begin{enumerate}[a)]
\item jedynie dla $p=0$,
\item jedynie dla $p=0$ lub $p=2$,
\item dla dowolnego $p\in\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dany jest wielomian: $W(x)=x^{3}-3x^{2}+ax-9$. Jest on podzielny przez dwumian $x-3$, zatem:
\begin{enumerate}[a)]
\item $a=3$,
\item jedynym pierwiastkiem $W(x)$ jest liczba $3$,
\item dla każdej liczby całkowitej $n$ podzielnej przez $3$ liczba $W(n)$ jest
podzielna przez $3$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbiór rozwiązań nierówności: $(x-1)(x-2)^{2}(x-3) < 0$ jest:
\begin{enumerate}[a)]
\item zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności: $(x-1)(x-3)<0$,
\item równy zbiorowi rozwiązań nierówności: $(x-1)(x-3)<0$,
\item równy $(-\infty,1) \cup (2,3)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f(x)=x^{3}-3x^{2}+12x-15$ dla $x\in\mathbb{R}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item ma dwa ekstrema lokalne,
\item jest malejąca w $(-\infty,1)$,
\item jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $W(x)=(2x-1)^{10}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item jest wielomianem stopnia $20$,
\item ma współczynnik przy najwyższej potędze równy $1024$,
\item ma sumę współczynników równą $1023$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $W(x)=(x+1)^{2}$. Liczba $r$ jest resztą z dzielenia
wielomianu $W$ przez dwumian $x-p$. Wtedy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $r=p^{2}+2p+1$,
\item $r\geq 0$,
\item $r=0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech będzie dany wielomian $W(x)=x^{2}-1$, oraz funkcja $f(x)=W(W(x))$.
Podaj jawny wzór funkcji $f$ oraz sprawdź czy:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(\sqrt{5})=15$,
\item funkcja $f$ jest parzysta,
\item funkcja $f$ jest nieparzysta.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wiadomo, że $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ ma $4$ pierwiastki. Wynika stąd, że:
\begin{enumerate}[a)]
\item dwa z nich są dodatnie, a dwa ujemne,
\item suma tych pierwiastków jest równa $\frac{-b}{a}$,
\item suma tych pierwiastków równa jest zero.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dany jest wielomian $W(x)=(x+1)^{2002}-x^{2002}-2x-1$. Jest on podzielny przez:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x(x+1)$,
\item $(x+1)(x-1)$,
\item $2x+1$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $W(x)=x^{4}+x^{2}+x+1$ nie ma pierwiastków:
\begin{enumerate}[a)]
\item dodatnich,
\item całkowitych,
\item rzeczywistych.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech wielomian $W(x)=x^{3}+ax^{2}+b$ spełnia warunek $W(-x)=-W(x)$
dla każdego $x\in\mathbb{R}$.
Wynika stąd, że:
\begin{enumerate}[a)]
\item zero jest pierwiastkiem tego wielomianu,
\item $a=0$ i $b=0$,
\item wielomian ten ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{3}+2x^{2}-6x+a$ przez $x-3$ jest równa $3$. Wówczas
reszta z dzielenia tego wielomianu przez $x+2$ jest równa:
\begin{enumerate}[a)]
\item -2,
\item -12,
\item -18.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $f(x)=x^{3}-mx^{2}+x$ (gdzie $m$ jest parametrem).
\begin{enumerate}[a)]
\item Jeśli $m=-2$ to funkcja $f$ ma dwa ekstrema lokalne.
\item Jeśli $m=-\sqrt{3}$ to funkcja $f$ ma jedno ekstremum lokalne.
\item Jeśli $m\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ to funkcja jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykres funkcji $y=2(x-3)^{2}-3$ otrzymamy z wykresu funkcji $y=2x^{2}$ w wyniku
przesunięcia o wektor:
\begin{enumerate}[a)]
\item $\vec{u}=[3,3]$,
\item $\vec{u}=[-3,-3]$,
\item $\vec{u}=[3,-3]$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane jest równanie: $x^{3}-3x^{2}+4=0.$
\begin{enumerate}[a)]
\item pierwiastkiem tego równania jest -1,
\item równanie to ma pierwiastek dwukrotny,
\item równanie to ma pierwiastek trzykrotny.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech będzie dany wielomian $W(x)=(1-x+x^{2})^{25}$. Wówczas:
\begin{enumerate}[a)]
\item $W$ nie ma pierwiastków rzeczywistych,
\item pochodna tego wielomianu nie ma pierwiastków rzeczywistych,
\item funkcja $W(x)$ jest malejąca w $(-\infty;0.5)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wielomian $(x-2)^{10} + (x-1)^{5} - 1$ jest podzielny przez:
\begin{enumerate}[a)]
\item dwumian $x-2$,
\item trójmian $(x-2)(x-1)$,
\item wielomian $x(x-1)(x-2)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Równanie $x^{3}+2x^{2}-1=0$:
\begin{enumerate}[a)]
\item nie ma pierwiastków wymiernych,
\item ma jeden pierwiastek wymierny, dwa niewymierne,
\item ma dwa pierwiastki wymierne i jeden niewymierny.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Czy wielomian $x^{4}+a^{4}$ jest równy wielomianowi:
\begin{enumerate}[a)]
\item $(x-a)(x+a)(x^{2}-ax+a^{2})$,
\item $(x^{2}+a^{2})(x^{2}+ax+a^{2})$,
\item $(x^{2}+\sqrt{2}ax+a^{2})(x^{2}-\sqrt{2}ax+a^{2})$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\section{Ogłoszenia}
\subsection{Zadanie domowe}
Proszę wykonać {\bf przynajmniej} 21 spośród podanych tu zadań. Zadania oddajemy
na podpisanych kartkach, najlepiej formatu A4. {\bf Proszę pilnować
czytelności oraz opisywać swoje rozumowania i obliczenia --- pamiętajcie o
komentarzach!}

\subsection{Ogłoszenia drobne}

Niebawem planujemy w Oratorium uruchomić specjalne zajęcia, które można by nazwać
w skrócie kółkiem matematyczno--informatycznym. Tematyką zajęć będą różnego typu
zagadnienia i zadania związane zarówno z czystą matematyką (nietypowe zadania) jak
i z podstawami informatyki (programowanie). Zajęcia odbywać się będą raz w tygodniu,
w poniedziałek, wtorek, środę lub czwartek. Zajęcia będą bezpłatne -- wstęp wolny
dla wszystkich uczniów i uczennic;) liceum (z klas 1-3). Termin pierwsze spotkania
zostanie podany niebawem!

Zapraszamy również na Targi Akademia 2006 w dniach 20-22.03.2006 na Wydziale
Matematyki, Fizyki i Informatyki UG, oraz na dzień otwarty Politechniki Gdańskiej
w dniu 20.03.2006 w godzinach 10.00-18.00. Więcej informacji: \url{www.univ.gda.pl/akademia}
oraz \url{www.pg.gda.pl}.

W sposób szczególny zapraszamy w dniu 20.03.2006 w godzinach 10.00-13.00 na warsztaty
,,Origami matematyczne'', które odbywają się w ramach Targów Akademia. Warsztaty
odbywają się na wydziale Mat-Fiz-Inf, w sali 208 (oczywiście wstęp wolny).
A to co będzie na warsztatach można zobaczyć tu: \url{www.origami.psikus.pl}.

\end{document}