
\documentclass[11pt,a5paper,twoside]{article}
\usepackage[top=1.7cm,bottom=0.5cm,left=.7cm,right=1.2cm,twoside,pdftex]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[OT4]{fontenc}

\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]


\renewcommand{\sectionmark}[1]%
{\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}}

\lhead[{\bf \thepage}]{\rightmark}
\rhead[\rightmark]{{\bf \thepage}}
\cfoot[]{}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}

\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\footskip}{5pt}

\pagestyle{fancy}

\title{Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.}
\author{Kurs matematyki w {\sc oratorium} \\ \small{autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt}}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\thispagestyle{empty}
\tableofcontents

\section{Wartość bezwzględna}
Zbiór liczb rzeczywistych (który oznaczamy przez $\mathbb{R}$) można przedstawić graficznie
jako zbiór punktów na osi liczbowej (tzn. na prostej ,,wyposażonej'' w zwrot, punkt
oznaczony jako zero i jednostkę). Każdej liczbie rzeczywistej $x$ odpowiada na takiej
osi dokładnie jeden punkt.

\begin{definicja}[wartość bezwzględna]
Wartością bezwzględną liczby $x$ nazywamy odległość punktu odpowiadającego tej
liczbie na osi liczbowej, od punktu zero i oznaczamy przez $|x|$.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Jeśli zaznaczymy na osi liczbowej liczbę $4$, to łatwo zauważymy, że jej odległość
od zera wynosi $4$, stąd $|4|=4$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Jeśli zaznaczymy na osi liczbowej liczbę $-3$, to widzimy, że jej odległość od
punktu zero wynosi $3$, stąd $|-3|=3$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Podobnie możemy pokazać, że na przykład: $|5|=5$, $|-7|=7$, $|0|=0$, $|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$,
$|\frac{-3}{4}|=\frac{3}{4}$ itd.
\end{przyklad}

Widzimy więc, że obliczenie wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej jest
bardzo proste. Możemy przedstawić to w formie przepisu:
\begin{itemize}
\item jeśli liczba $x$ jest dodatnia lub jeśli jest zerem, to $|x|=x$,
\item w przeciwnym wypadku (jeśli liczba $x$ jest ujemna), to $|x|=-x$.
\end{itemize}
W ten sposób otrzymaliśmy wzór, który często podaje się wręcz jako definicję
wartości bezwzględnej:
\[|x| =
\left\{
\begin{array}{lr}
x & \textrm{dla } x\geq 0 \\
-x & \textrm{dla } x < 0.
\end{array}
\right.
\]

\subsection{Własności wartości bezwzględnej.}

Poniższy fakt zbiera podstawowe własności wartości bezwzględnej.

\begin{fakt}
Dla dowolnych liczb $x,y,z \in \mathbb{R}$ mamy:
\begin{enumerate}
\item $|-x| = |x|$,
\item $|x| \geq 0$,
\item $|x\cdot y| = |x| \cdot |y|$,
\item $\left| \frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$, przy założeniu $y\neq 0$,
\item $|x-y| = |y-x|$,
\item $|x-y| \leq |x-z| + |z-y|$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Zauważmy, że dla sumy i różnicy na ogół nie są spełnione własności podobne do
tych z punktu $3$ i $4$ powyższego faktu. Na przykład:
\[|(-3)+4|\neq |-3| + |4|,\]
\[|5-10|\neq |5| - |10|.\]
\end{uwaga}

\subsection{Równania z wartością bezwzględną.}

\begin{definicja}[równanie podstawowe z wartością bezwzględną]
Równaniem podstawowym z wartością bezwzględną będziemy nazywać równanie postaci:
\[|\textrm{coś}| = a,\]
gdzie $a$ jest konkretną (ustaloną) liczbą rzeczywistą.
\end{definicja}

\begin{przyklad}Równania o których mówi definicja wyglądają na przykład tak:
$|x|=2$, $|3x-4|=8$, $|x^{2}-4x+1|=2$, $|3x-x^{2}|=0$, $|4x+1|=-3$ itp.
\end{przyklad}

Prezentowane tu równania, w których występuje wartość bezwzględna, są bardzo
proste. Z tego względu nazywamy je podstawowymi. W toku późniejszych rozważań
zajmiemy się również przypadkami bardziej skomplikowanymi, gdzie na przykład
niewiadoma będzie zarówno wewnątrz wartości bezwzględnej jak i poza nią, lub takie
gdzie będzie więcej niewiadomych.

Poniższy fakt umożliwia rozwiązywanie równań podstawowych z wartością bezwzględną.
\begin{fakt}
W zależności od wartości parametru $a$ zachodzi jeden z przypadków.
\begin{enumerate}
\item Jeśli $a<0$, to równanie $|\textrm{coś}|=a$ nie ma rozwiązania.
\item Jeśli $a=0$, to równanie $|\textrm{coś}|=a$ jest tożsame równaniu: $\textrm{coś}=a$.
\item Jeśli $a>0$, to równanie $|\textrm{coś}|=a$ jest równoważne warunkom: $\textrm{coś}=a \lor \textrm{coś}=-a$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

Korzystając z powyższego faktu, rozwiążemy podane w poprzednim przykładzie
równania podstawowe. Sprawdź czy rozumiesz skąd wzięły się podane niżej wyniki.

\begin{przyklad}
Równanie $|x|=2$ ma dwa rozwiązania: $x=2\lor x=-2$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozwiązanie równanie $|3x-4|=8$, sprowadza się do rozwiązania dwóch równań liniowych:
$3x-4=8$ oraz $3x-4=-8$. Daje to nam odpowiedź: $x=4\lor x=-\frac{4}{3}$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Aby rozwiązać równanie: $|x^{2}-4x+1|=2$, musimy rozwiązać dwa równania kwadratowe:
\[x^{2}-4x+1=2 \lor x^{2}-4x+1=-2\]
\[x^{2}-4x-1=0 \lor x^{2}-4x+3=0.\]
W rezultacie otrzymujemy cztery możliwe rozwiązania: $x=2-\sqrt{5}\lor x=2+\sqrt{5}\lor x=1\lor x=3$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Równanie $|3x-x^{2}|=0$ sprowadza się do $3x-x^{2}=0$, co bardzo łatwo daje się
rozwiązać, bo jest to równanie tożsame z: $x(3-x)=0$. Czyli mamy dwa rozwiązania $x=0\lor x=3$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Równanie $|4x+1|=-3$ zgodnie z podanym faktem jest sprzeczne.
\end{przyklad}

\subsection{Nierówności z wartością bezwzględną.}

Po rozważaniach dotyczących prostych równań z wartością bezwzględną, przyszedł
czas na proste nierówności w których występuje wartość bezwzględna.

\begin{definicja}[nierówność podstawowa z wartością bezwzględną]
Pojęciem nierówności podstawowej z wartością bezwzględną, będziemy określać
nierówności postaci: $|\textrm{coś}| > a$, $|\textrm{coś}| \geq a$, $|\textrm{coś}| < a$ lub
$|\textrm{coś}| \leq a$. Zakładamy, że $a$ jest dowolną, ustaloną liczbą rzeczywistą.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Rozwiążemy prostą nierówność $|x|>2$. Jeśli przypomnimy sobie definicję wartości
bezwzględnej podaną w tym rozdziale, możemy powiedzieć, że dana nierówność opisuje
zbiór takich punktów na osi liczbowej, których odległość od zera jest większa od $2$.
Aby ,,zobaczyć'' rozwiązanie wystarczy wykonać prosty rysunek (wykonaj go!) i odczytać
odpowiedź: $x\in (-\infty,-2)\cup (2,\infty)$.
\end{przyklad}

Przedstawimy poniżej fakty, które właściwie bazują na rozumowaniu z powyższego
przykładu i umożliwiają rozwiązanie wszystkich nierówności podstawowych.

\begin{fakt}
Załóżmy, że $a$ jest dowolną, ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią. Wówczas mamy:
\begin{enumerate}
\item Nierówność $|\textrm{coś}| > a$ jest równoważna warunkom: $\textrm{coś} > a$ lub $\textrm{coś} < -a$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \geq a$ jest równoważna warunkom: $\textrm{coś} \geq a$ lub $\textrm{coś} \leq -a$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| < a$ jest równoważna warunkom: $-a < \textrm{coś} < a$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \leq a$ jest równoważna warunkom: $-a \leq \textrm{coś} \leq a$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{fakt}
Załóżmy, że $a$ jest dowolną, ustaloną liczbą rzeczywistą ujemną. Wówczas mamy:
\begin{enumerate}
\item Nierówność $|\textrm{coś}| > a$ jest równoważna zapisowi: $\textrm{coś} \in \mathbb{R}$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \geq a$ jest równoważna zapisowi: $\textrm{coś} \in \mathbb{R}$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| < a$ jest sprzeczna.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \leq a$ jest sprzeczna.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{fakt}
Załóżmy, że $a=0$. Wówczas mamy:
\begin{enumerate}
\item Nierówność $|\textrm{coś}| > a$ jest równoważna zapisowi: $\textrm{coś} \neq 0$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \geq a$ jest równoważna zapisowi: $\textrm{coś} \in \mathbb{R}$.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| < a$ jest sprzeczna.
\item Nierówność $|\textrm{coś}| \leq a$ jest równoważna zapisowi: $\textrm{coś} = 0$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{problem}
Podaj interpretację geometryczną każdego z przypadków powyższych faktów.
\end{problem}

Korzystając z podanych faktów, pokażemy teraz jak rozwiązać proste nierówności
z wartością bezwzględną.

\begin{przyklad}
Rozważmy nierówność: $|4x-3|>1$, Jest ona równoważna warunkom:
\[4x-3<-1 \lor 4x-3>1.\]
Stąd mamy:
\[x<\frac{1}{2}\lor x>1.\]
Czyli rozwiązaniem nierówności jest: $x\in (-\infty,\frac{1}{2})\cup (1,\infty)$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozważmy nierówność: $|3-x|\leq 2$. Korzystając z podanych wcześniej własności,
wiemy że podana nierówność jest równoważna nierówności $|x-3|\leq 2$. Taka nierówność
natomiast jest równoważna dwóm warunkom, które w skrócie zapisujemy:
\[-2 \leq x-3 \leq 2.\]
Aby otrzymać rozwiązanie wystarczy dodać do wszystkich stron nierówności liczbę
$3$, co daje nam zapis: $1 \leq x \leq 5$. Stąd mamy odpowiedź: $x\in \langle1,5\rangle$,
\end{przyklad}

\subsection{Przekształcenia wykresów funkcji z użyciem wartości bezwzględnej.}

Przypuśćmy, że dana jest funkcja $f(x)$ oraz wiemy jak wygląda jej wykres. Zastanówmy
się jak będzie wyglądać wykres funkcji $g$ danej wzorem $g(x)=|f(x)|$. Otóż jeśli
dla pewnej wartości argumentu $x$ wartość funkcji $f$ jest nieujemna (dodatnia
lub równa zero), to nałożenie wartości bezwzględnej niczego nie zmieni. Natomiast
jeśli dla pewnej wartości $x$ wartości $f(x)$ jest ujemna, to wówczas
wartość $g(x)$ będzie liczbą przeciwną do $f(x)$.

\begin{fakt}[o wykresie funkcji z nałożoną wartością bezględną ,,na funkcję'']
Aby uzyskać wykres funkcji $y=|f(x)|$ z wykresu funkcji $f(x)$ postępujemy
w następujący sposób:
\begin{itemize}
\item Punkty które leżą nad osią $OX$ (lub na niej) pozostawiamy niezmienione.
\item Punkty które leżą pod osią $OX$ odbijamy symetrycznie względem tej osi - czyli
mówiąc potocznie odbijamy je do góry.
\end{itemize}
\end{fakt}

\paragraph{Ćwiczenie:}
Narysuj wykresy funkcji $f(x)=x^{2}-4x+3$. Następnie korzystając z powyższego faktu
narysuj wykres funkcji: $g(x)=|x^{2}-4x+3|$.

Zastanówmy się teraz jak, mając dany wykres funkcji $f(x)$ narysować wykres funkcji
$g$ danej wzorem $g(x)=f(|x|)$. Jeśli argument $x$ jest nieujemny (tzn. $x\geq 0$)
to oczywiście $g(x)=f(x)$ czyli wykres (dla $x\geq 0$ czyli po prawej stronie osi
$OY$) pozostawiamy niezmieniony. Ponadto wiemy na pewno, że funkcja $g(x)$ jest
funkcją parzystą (bo dla każdego $x$ z dziedziny mamy: $g(-x)=f(|-x|)=f(x)=g(x)$).
Zatem lewą stronę wykresu (względem osi $OY$) stanowi lustrzane odbicie strony
prawej.

\begin{fakt}[o wykresie funkcji z nałożoną wartością bezwzględną ,,na argument'']
Aby uzyskać wykres funkcji $y=f(|x|)$ należy wyrzucić lewą stronę wykresu $y=f(x)$.
Prawą stronę wykresu pozostawiamy bez zmian i odbijamy symetrycznie, tak aby
otrzymać wykres funkcji parzystej.
\end{fakt}

\paragraph{Ćwiczenie:}
Narysuj wykresy funkcji $f(x)=3x-1$. Następnie korzystając z powyższego faktu
narysuj wykres funkcji: $g(x)=f(|x|)=3|x|-1$.

\paragraph{Ćwiczenie:}
Narysuj wykresy funkcji $f(x)=x^{2}-4x+3$. Następnie korzystając z powyższego faktu
narysuj wykres funkcji: $g(x)=f(|x|)=|x|^{2}-4|x|+3$.

\begin{uwaga}
Ze względu na to, że $|x|^{2} = x^{2}$, zapisy $h(x)=x^{2}-6|x|+8$ oraz $h(x)=|x|^{2}-6|x|+8$
są równoważne. Bez względu na stosowany zapis, postępujemy zgodnie z tym co podano
w powyższym fakcie.
\end{uwaga}

\begin{uwaga}
Ponieważ wiemy, że $\sqrt{x^{2}} = |x|$, zatem funkcja $g$ dana wzorem:
$g(x)=\sqrt{[f(x)]^2}$ jest równa funkcji $|f(x)|$.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Zastanówmy się jak narysować wykres funkcji \[f(x)=\sqrt{x^{4}-4x^{2}+4}.\]
Przekształćmy wyrażenie pod pierwiastkiem: $x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$.
Widać więc, że $\sqrt{x^{4}-4x^{2}+4} = \sqrt{(x^{2}-2)^{2}} = |x^{2}-2|$.
Wystarczy więc naszkicować wykres funkcji $y=x^{2}-2$ i zastosować odpowiedni
z faktów podanych wyżej.
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}

\subsubsection{Zadania otwarte}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $|3x+x^{2}| = 2$,
\item $|2x-4| = 5$,
\item $|4x^{2}+5x-7| = -2$,
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W zależności od parametru $m$ podaj liczbę rozwiązań równania:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $|2x-4| = m$,
\item $|x^{2}-5x+4| = m$,
\item $x^{2}-5|x|+4 = m$,
\item $3|x|-2=m+1$,
\item $2|x^{2}+3x-4|+m=3$,
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż podane nierówności:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $|3x+6|\leq 9$,
\item $2|x|<2$,
\item $|x|-1\leq 0$,
\item $|x-4|>6$,
\item $2|x|+2\geq |x|$,
\item $|x|-2\geq 2|x|$,
\item $|4x^{2}-4x+3|<2$,
\item $|x^{2}+6x-1|>15$,
\item $(x-2)^{2} \leq 1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wierzchołkiem paraboli $y=x^{2}+bx+c$ jest punkt $P$. Podaj liczbę rozwiązań
równania $|x^{2}+bx+c|=3$, jeśli:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a)]
\item $P=(1,-1)$,
\item $P=(1,-3)$,
\item $P=(1,3)$,
\item $P=(1,6)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\noindent Odpowiedź znajdź posługując się interpretacją geometryczną!
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Narysuj wykres funkcji:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=|4x^{2}-3|$,
\item $f(x)=\sqrt{x^{4}-4x^{2}+4}$,
\item $f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+4}$,
\item $f(x)=3x^{2}-2|x|-1$,
\item $f(x)=-2x^{2}-|x|+3$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równania i nierówności.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left|\frac{1}{x+2}\right| = \left|\frac{2}{x-1}\right|$,
\item $\frac{4|x|-3}{x}=x$,
\item $\left|\frac{2x-1}{x+2}\right|<2$,
\item $\left|\frac{2x-5}{x+3}\right|>1$,
\item $\left|\frac{x^{2}+2x-36}{x^{2}-4}\right|-1>0$,
\item $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=6$,
\item $|x^{2}-x|=x-1$,
\item $2x^{2}+|x|=1$,
\item $x^{4}-3x^{2}-|x^{2}-3|=0$,
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zapisz w postaci jawnej wzory funkcji $g$ i $h$. Naszkicuj wykresy funkcji
$f$, $g$ i $h$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{1-x}{3x+1}$, $g(x)=|f(x)|$, $h(x)=f(|x|)$,
\item $f(x)=\frac{x-5}{x-2}$, $g(x)=|f(x)|$, $h(x)=g(|x|)$,
\item $f(x)=x^{2}+5x+3$, $g(x)=f(|x|)$, $h(x)=|g(x)|$,
\item $f(x)=\frac{1}{|x|}$, $g(x)=f(\frac{1}{x})$,
\item $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, $g(x)=2x+1$, $h(x)=g(|f(x)|)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartość maksymalną, minimalną oraz ekstrema lokalne (jeśli istnieją) funkcji $f$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x^{2}-3|x|+2$,
\item $f(x)=|x^{3}-1|$,
\item $f(x)=|\frac{1-2x}{1+2x}|+3$,
\item $f(x)=\frac{1}{x}+|3x-3|$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\subsubsection{Zadania testowe}

\begin{zadanie}
Narysuj w układzie współrzędnych figurę $F$ daną wzorami:
\[\left\{
\begin{array}{l}
|y| \geq 1 \\
y < |x|
\end{array}
\right.\]
Odpowiedz na pytania.
\begin{enumerate}[a)]
\item Czy figura $F$ ta ma punkty wspólne z figurą daną nierównością $x^{2}+y^{2}\leq 1$?
Jeśli tak, to podaj współrzędne jednego z nich.
\item Czy figura $F$ ma środek i/lub oś symetrii? Jeśli tak, to podaj odpowiednie
wzory / współrzędne.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbiór rozwiązań nierówności $|x-\sqrt{2003}| \leq |\sqrt{2003} - x|$ jest:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item jednoelementowy,
\item dwuelementowy,
\item zawierający zbiór $\langle -2003,2003\rangle$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}-|x|-2$:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item jest nieparzysta,
\item ma jedno maksimum lokalne,
\item nie ma minimów lokalnych.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f(x)=|x+2|(x-3)^{2}+1$ posiada:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item minimum w punkcie $x=3$,
\item parzystą liczbę ekstremów,
\item nieparzystą liczbę maksimów.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane są zbiory:
\[A=\{(x,y)\colon x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R}\land |x|>|y|\},\]
\[B=\{(x,y)\colon x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R}\land |xy|=1\}.\]
\begin{enumerate}[a)]
\item Zbiory $A$ i $B$ są rozłączne (nie mają punktów wspólnych).
\item Zbiór $A\cup B$ ma co najmniej dwie osie symetrii.
\item Zbiór $A\backslash B$ ma środek symetrii.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Równanie $||x-2|-2| = m$ (z niewiadomą $x$):
\begin{enumerate}[a)]
\item ma dokładnie dwa rozwiązania dla $m=4$,
\item ma dokładnie trzy rozwiązania dla pewnego $m$,
\item dla $m>2$ suma rozwiązania wynosi $-4$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Nierówność $\frac{1-x}{|x|}\leq 1$ spełniają:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item wszystkie liczby dodatnie,
\item wszystkie liczby całkowite,
\item wszystkie liczby całkowite dodatnie.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Równanie $||x-2|-1|=a$ ma trzy różne pierwiastki. Zatem:
\begin{enumerate}[a)]
\item $a=-1$,
\item suma tych pierwiastków równa jest $6$,
\item pierwiastki te są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie: $|x|^{3} - x^{2} + |x| - 1 = 0$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Równanie to ma więcej niż 3 pierwiastki.
\item Suma pierwiastków równa jest 0.
\item Równanie to ma tyle samo pierwiastków dodatnich co ujemnych.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Narysuj figury:
\[A=\{(x,y)\colon x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R}\land (y-x)^{2}\leq 4\},\]
\[B=\{(x,y)\colon x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R}\land |x|\leq 4\}.\]
Figura $A\cap B$:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item jest ograniczona,
\item ma oś symetrii,
\item ma środek symetrii.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbiorem rozwiązań nierówności: $\frac{1}{|2-x|} > 1$ jest:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathbb{R}\backslash \langle 1;3\rangle$,
\item $(1;3)$,
\item $\mathbb{R}\backslash \{2\}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Jeśli $A = \{(x,y)\colon x,y\in\mathbb{R} \land |xy|=1\}$ to:
\begin{enumerate}[a)]
\item prosta $y=x$ jest osią symetrii zbioru $A$,
\item osie układu współrzędnych są osiami symetrii zbioru $A$,
\item środek układu współrzędnych jest środkiem symetrii zbioru $A$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f$ określona jest wzorem: $f(x)=\frac{|x|+2}{|x|+1}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Pochodna $f$ jest dodatnia dla $x<0$ i ujemna dla $x>0$.
\item Funkcja $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $x=0$.
\item Wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem osi $OY$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}



\section{Funkcja homograficzna}

\begin{definicja}[funkcja homograficzna]
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci:
\[f(x) = \frac{ax+b}{cx+d},\]
gdzie $c\neq 0$ oraz
$\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right| \neq 0$.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zauważmy, że warunek $c\neq 0$ gwarantuje, że powyższa funkcja nie jest funkcją
liniową, bo jeśli $c=0$, to wtedy wzór funkcji przyjął by postać: $f(x)=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}.$
Drugi warunek gwarantuje natomiast, że proste występujące w liczniku i mianowniku
nie są równoległe, a stąd, że wyrażenie $\frac{ax+b}{cx+d}$ jest nieskracalne.
\end{uwaga}

\subsection{Wykres funkcji homograficznej}

Wykresem każdej funkcji homograficznej jest hiperbola. Składa się ona z dwóch
rozłącznych gałęzi ,,uwiązanych'' pomiędzy asymptotami. Każda hiperbola ma dwie
osie symetrii oraz punkt symetrii.

\begin{fakt}[o asymptotach]
Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ma dwie asymptoty:
\begin{itemize}
\item pionową, daną równaniem $x=-\frac{d}{c}$,
\item poziomą, daną równaniem $y=\frac{a}{c}$.
\end{itemize}
\end{fakt}

\paragraph{Algorytm rysowania wykresów funkcji homograficznych.} Aby narysować
przybliżony wykres funkcji $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ należy:
\begin{enumerate}
\item wyznaczyć i narysować asymptoty tego wykresu,
\item wyznaczyć przynajmniej jeden punkt tego wykresu (wstawiając za $x$ dowolną
liczbę, dla której łatwo wyliczyć wartość $f(x)$, oraz wszystkie punkty symetryczne
do tego punktu,
\item naszkicować asymptotę przechodzącą przez otrzymane punkty, pamiętając o
asymptotach.
\end{enumerate}

\begin{przyklad}
Aby naszkicować wykres funkcji $f(x)=\frac{3x}{x-1}$ należy:
\begin{enumerate}
\item narysować asymptoty $x=1$ oraz $y=3$,
\item ponieważ $f(0)=0$, to zaznaczamy punkt $(0,0)$ oraz punkty do niego
symetryczne, czyli: $(-2,2)$, $(4,4)$, $(2,6)$,
\item rysujemy kolejno każdą z gałęzi pamiętając o dążeniu do asymptot.
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\begin{uwaga}
Częstym problemem jest znalezienie punktu symetrycznego do danego. Pomocny może
być następujący algorytm. Po pierwsze orientujemy zadany punkt względem punktu przecięcia się
asymptot. W powyższym przykładzie punkt $(0,0)$ leży 1 w lewo, 3 w dół od punktu
przecięcia asymptot. Pierwszy punkt otrzymamy przestawiając same liczby, tzn biorąc
punkt który jest 3 w lewo i 1 w dół od punktu przecięcia asymptot. Jest to punkt
$(-2,2)$. Następne dwa punkty otrzymamy przez zamianę ,,w lew'' na ,,w prawo'' (i
odwrotnie) oraz ,,w górę'' na ,,w dół'' (i odwrotnie), czyli dokładnie: 1 w prawo,
3 w górę (punkt $(2,6)$) oraz 3 w prawo i 1 w górę (punkt $(4,4)$).
\end{uwaga}

\subsection{Hiperbole podstawowe}
Aby uzyskać dokładniejszy wykres funkcji homograficznej, trzeba nauczyć się najpierw
rysować wykresy typu $y=\frac{B}{x}$, gdzie $B\neq 0$.

Asymptotami tych wykresów są osie układu współrzędnych, osiami symetrii proste:
$y=x$ oraz $y=-x$, a środkiem symetrii jest punkt $(0,0)$. Każda z tych funkcji
jest nieparzysta.

\begin{przyklad}
Narysujmy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$. Wstawiamy za $x$ liczby łatwe do obliczeń
i dostajemy na przykład następujące punkty wykresu: $(1,1)$, $(2,\frac{1}{2})$,
$(\frac{1}{2},2)$. Pozwala to naszkicować prawą gałąź hiperboli. Korzystając z nieparzystości
możemy zaznaczyć na wykresie punkty: $(-1,-1)$, $(-2,-\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2},-2)$
i rysujemy lewą gałąź.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Narysujmy teraz wykres funkcji $y=\frac{6}{x}$. Tu wygodnie jest podstawiać za $x$
kolejne podzielniki liczby 6, co daje nam następujące punkty: $(1,6)$, $(2,3)$,
$(3,2)$, $(6,1)$. Dalej postępujemy tak jak w poprzednim przykładzie.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Teraz narysujmy wykres $y=-\frac{4}{x}$. Za $x$ wstawiamy podzielniki liczby 4:
$(1,-4)$, $(2,-2)$, $(4,-1)$. Dalej postępujemy tak jak w poprzednich przykładach.
\end{przyklad}

\begin{uwaga}
Zauważmy, że hiperbola otrzymana w ostatnim z przykładów jest inaczej umiejscowiona
w układzie współrzędnych niż dwie poprzednie. Rzeczywiście jeśli $B>0$ to hiperbola
$y=\frac{B}{x}$ leży w I i III ćwiartce, natomiast gdy $B<0$ to hiperbola ta leży
w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.
\end{uwaga}

\subsection{Własności funkcji homograficznej}

\begin{fakt}
Każdą funkcję homograficzną $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ można zapisać w postaci:
\[f(x)=A+\frac{B}{x-C},\quad \textrm{gdzie } B\neq 0.\]
\end{fakt}

\textbf{Uzasadnienie:} Rzeczywiście, wystarczy najpierw podzielić licznik i mianownik przez $c$, co daje
$f(x)=\frac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}}{x+\frac{d}{c}}$ a następnie, np. podzielić
pisemnie $(\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}):(x+\frac{d}{c})$. Wtedy $A=\frac{a}{c}$,
$C=-\frac{d}{c}$, natomiast $B$ jest resztą z tego dzielenia.

\begin{przyklad}
Pokażemy praktyczne zastosowanie powyższego faktu:
\begin{itemize}
\item funkcję $f(x)=\frac{4x+3}{x-1}$ można przedstawić również jako $f(x)=4+\frac{7}{x-1}$,
\item funkcję $f(x)=\frac{3x+1}{x+1}$ można przedstawić również jako $f(x)=3+\frac{-2}{x+1}$,
\item funkcję $f(x)=\frac{3x+1}{2x-1}$ można przedstawić również jako $f(x)=\frac{3}{2}+\frac{\frac{5}{4}}{x-\frac{1}{2}}$.
\end{itemize}
\end{przyklad}

Przedstawienie funkcji homograficznej w postaci z powyższego faktu okazuje się
bardzo pożyteczne, jeśli chcemy wykonać szybko i dość dokładnie wykres funkcji
homograficznej. Mianowicie, aby narysować wykres funkcji homograficznej, mając
ją w postaci $f(x)=A+\frac{B}{x-C}$, postępujemy w następujący sposób:
\begin{enumerate}
\item zaznaczamy asymptoty, które są postaci: $x=C$ oraz $y=A$,
\item traktując asymptoty jako ,,nowy układ współrzędnych'' rysujemy wykres funkcji
$y=\frac{B}{x}$, korzystając z metody pokazanej w poprzednim podrozdziale.
\end{enumerate}

\begin{uwaga}
Powyższa metoda jest poprawna, ponieważ rysowanie wykresu $y=\frac{B}{x}$ w
,,nowym układzie współrzędnych'' jest tożsame z przesunięciem funkcji $y=\frac{B}{x}$
o wektor $\vec{u}=[C,A]$.
\end{uwaga}

\begin{fakt}[własności funkcji homograficznej]
Jeśli $f(x) = A + \frac{B}{x-C}$, gdzie $B\neq 0$, to:
\begin{enumerate}
\item Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór: $\mathbb{R}\backslash\{C\}$, natomiast
zbiorem wartości: $\mathbb{R}\backslash\{A\}$.
\item Funkcja $f$ nie jest monotoniczna! Jest jedynie przedziałami rosnąca
(gdy $B<0$) lub przedziałami malejąca (gdy $B>0$).
\item Jest to funkcja różnowartościowa, a co za tym idzie ma funkcję odwrotną,
daną wzorem $f^{-1}(x) = C + \frac{B}{x-A}$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykres funkcji:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{x-2}{x-3}$,
\item $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$,
\item $f(x)=\frac{2x+8}{x+3}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Dla każdej z funkcji podaj dziedzinę, zbiór wartości i omów monotoniczność każdej
z tych funkcji.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykres funkcji:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{3x+4}{x+1}$,
\item $f(x)=\frac{-2x+5}{x-3}$,
\item $f(x)=\frac{4x}{2x-1}$,
\item $f(x)=\frac{2}{x+3}$,
\item $f(x)=\frac{-2x-1}{x+1}$,
\item $f(x)=\frac{3x-7}{x-2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykres funkcji.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x) = \frac{1}{|x|-1}$,
\item $f(x) = \left|\frac{1}{x-1}\right|$,
\item $f(x) = \frac{1}{|x|+2}-1$,
\item $f(x) = \left|\frac{1}{x+2}-1\right|$,
\item $f(x) = \left|\frac{1}{|x|}-4\right|$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Określ liczbę rozwiązań równania:
\[\left|\frac{4}{|x|}-2\right| = m\]
w zależności od $m$. Narysuj wykres funkcji $y=g(m)$, gdzie $g(m)$ oznacza
ilość rozwiązań powyższego równania przy danym $m$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykonaj polecenie z poprzedniego zadania dla równania:
\[-\left|\frac{2}{x}-1\right|+1=m.\]
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykres funkcji:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{2}{|x|}$,
\item $f(x)=\frac{3}{|x-4|}$,
\item $f(x) = \frac{1}{|3-x|}+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykres funkcji $f$ przesuń o wektor $\vec{u}$. Podaj wzór otrzymanej funkcji.
Określ jej dziedzinę, zbiór wartości, asymptoty i miejsca zerowe:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=-\frac{1}{x}$, $\vec{u}=[0,3]$,
\item $f(x)=\frac{2}{x}$, $\vec{u}=[-2,-1]$,
\item $f(x)=-\frac{2}{x}$, $\vec{u}=[\frac{1}{2},0]$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)$, podaj równanie osi symetrii wykresu oraz współrzędne
środka symetrii:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=1+\frac{4}{x}$,
\item $f(x)=-\frac{1}{x+3}$,
\item $f(x)=\frac{4}{x-1}-3$,
\item $f(x)=\frac{2}{x+3}-1$,
\item $f(x)=-\frac{1}{x+2}-2$,
\item $f(x)=\frac{2}{-x+4}+2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}


\section{Funkcja wymierna}

\begin{definicja}
Funkcją wymierną nazywamy funkcje postaci:
\[f(x)=\frac{W(x)}{P(x)},\]
gdzie $W(x)$ i $P(x)$ są wielomianami i $P(x)$ nie jest wielomianem zerowym.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Dziedziną naturalną funkcji $f(x)=\frac{W(x)}{P(x)}$ jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, dla których $P(x)\neq 0$.
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Przypomnijmy, że dwie funkcje są równe, gdy mają te same dziedziny i wzór jednej
z nich możemy sprowadzić do wzoru drugiej.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Funkcja $f(x)=\frac{x(x-2)}{x-2}$ nie jest równa funkcji $g(x)=x$, bo ich dziedziny
nie są takie same. Możemy natomiast napisać, że $f=h$, gdzie $h(x)=x$, dla $x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}$.
\end{przyklad}

\paragraph{Wniosek:} Pamiętaj - zanim zaczniesz upraszczać (lub przekształcać)
wzór jakiejkolwiek funkcji, ustal jaka jest jej dziedzina!

\subsection{Równania wymierne}

Aby szybko i sprawnie rozwiązać równanie wymierne (czyli takie, w której przynajmniej
po jednej stronie równości znajduje się funkcja wymierna), można skorzystać z poniższego
algorytmu. Tak podany algorytm gwarantuje znalezienie rozwiązania każdego równania
wymiernego, przy założeniu, że umiemy rozwiązywać równania wielomianowe odpowiedniego
stopnia.

\paragraph{Algorytm rozwiązywania równań wymiernych.}

\begin{enumerate}
\item Wypisujemy założenia i w razie potrzeby rozwiązujemy je. (Mogą tu pojawić
się nierówności, bądź wykluczenia pewnych podzbiorów z dziedziny. Czasem wynika
to z treści zadania, a czasem z samego równania.)
\item Mianowniki występujących ułamków (jeśli jest ich kilka) rozkładamy na
czynniki tak aby łatwo było określić najmniejszy wspólny mianownik.
\item Mnożymy obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik, tak
aby otrzymać równanie wielomianowe.
\item Rozwiązujemy równanie wielomianowe.
\item Uwzględniającą założenia i warunki z punktu 1, podajemy rozwiązanie.
\end{enumerate}

\begin{przyklad}
Rozwiążemy równanie: \[\frac{6-3x}{x^{2}+x-2} = \frac{1}{x-1} - \frac{x}{x+2}.\]
Będziemy postępować zgodnie z podanym wyżej algorytmem:

\begin{enumerate}
\item Założenia: $x^{2}+x-2\neq 0, x-1\neq 0, x+2\neq 0$. Z warunków tych dostajemy:
$x\in \mathbb{R}\backslash\{-2,1\}$.

\item \[\frac{6-3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} - \frac{x}{x+2}.\]

\item Mnożymy obustronnie przez $(x-1)(x+2)$ i dostajemy:
\[6-3x = x+2-x(x-1).\]

\item Porządkujemy równanie do postaci: $x^{2}-5x+4=0$ i rozwiązujemy.
Otrzymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste: $x_{1}=1\lor x_{2}=4$.

\item Biorąc pod uwagę założenia z punktu 1, okazuje się że tylko $x=4$ jest
rozwiązaniem danego równania wymiernego.
\end{enumerate}

W ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź: $x=4$.
\end{przyklad}

\subsection{Nierówności wymierne.}

Podobnie jak w przypadku równań, pokażemy prosty i skuteczny algorytm, który
pozwala rozwiązywać nierówności wymierne. Tak jak poprzednio idea algorytmu
opiera się na sprowadzeniu danej nierówności wymiernej do odpowiedniej
nierówności wielomianowej.

\paragraph{Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych.}

\begin{enumerate}
\item Wypisujemy założenia i rozwiązujemy je.

\item Wszystkie składniki przenosimy na jedną ze stron nierówności i rozkładamy
mianowniki występujących ułamków na czynniki (o ile się da), tak aby można było
określić najmniejszy (względem stopnia) wspólny mianownik.

\item Sprowadzamy całe wyrażenie do wspólnego mianownika.

\item Licznik rozkładamy na czynniki (o ile jest to możliwe).

\item Stosując przekształcenie tożsamościowe, zastępujemy ułamek występujący
z jednej strony nierówności, na wyrażenie będące iloczynem licznika i mianownika.
Otrzymujemy w ten sposób nierówność wielomianową.

\item Rozwiązujemy nierówność wielomianową.

\item Uwzględniamy założenia i podajemy odpowiedź.
\end{enumerate}

\begin{przyklad}
Rozwiążemy nierówność:
\[\frac{12x-4}{x^{2}-2x-3} \leq \frac{3x}{x-3} - \frac{x^2}{x+1}.\]
Będziemy postępować zgodnie z podanym algorytmem.

\begin{enumerate}
\item Założenia: $x^{2}-2x-3\neq 0$, $x-3\neq 0$, $x+1\neq 0$. Czyli: $x\in \mathbb{R} \backslash\{-1,3\}$.
\item Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[\frac{12x-4}{(x+1)(x-3)} - \frac{3x}{x-3} + \frac{x^{2}}{x+1} \leq 0.\]
\item Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:
\[\frac{12x-4-3x(x+1)+x^{2}(x-3)}{(x-3)(x+1)} \leq 0.\]
\item Rozkładamy licznik na czynniki:
\[\frac{(x-1)^{2}(x-4)}{(x+1)(x-3)} \leq 0.\]
\item Mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika, czyli innymi słowy,
zastępujemy ułamek iloczynem licznika i mianownika:
\[(x-1)^{2}(x-4)(x+1)(x-3)\leq 0.\]
\item Rozwiązujemy równanie wielomianowe (jak widać nie wymaga to żadnych dodatkowych
przekształceń!). Otrzymujemy odpowiedź:
\[x\in (-\infty,-1\rangle \cup \{1\} \cup \langle3,4\rangle.\]
\item Uwzględniamy założenia:
\[x\in (-\infty,-1) \cup \{1\} \cup (3,4\rangle.\]
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}

\subsubsection{Zadania otwarte}

\begin{zadanie}
Określ dziedzinę funkcji:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{x}{x^{2}-2x+1},$
\item $f(x)=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+2)},$
\item $f(x)=\frac{x^{3}-4x^{2}+1}{x^{2}+3x+6}.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Sprawdź czy funkcje $f$ i $g$ są równe.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{2x+2}{x+1}$, $g(x)=2$,
\item $f(x)=\frac{x^{2}(x-1)}{x(x-1)}$, $g(x)=x$,
\item $f(x)=\frac{x^{2}-1}{(x+1)^{2}}$, $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Pamiętając o dziedzinie, uprość wzory podanych funkcji.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{(x+4)^{2}}{x^{2}+5x+4}$,
\item $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}-2x+1}$,
\item $f(x)=\frac{x^{4}-5x^{3}+6x^{2}}{x^{3}-6x^{2}+8x}$,
\item $f(x)=\frac{2-x}{x^{2}+x-2}+\frac{x}{x^{2}-x-6}$,
\item $f(x)=\frac{4x}{x^{2}-7x+12}+\frac{5x}{x^{2}-8x+15}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}=0$,
\item $\frac{(4x-1)(x+1)(2x+1)}{4x^{2}-1}=0$,
\item $\frac{2x+1}{x^{2}-9}-\frac{3}{x-3}=0$,
\item $\frac{3}{x+2}+\frac{12}{x^{2}-4}+\frac{1}{2x}=0$,
\item $\frac{x+5}{x+4} + \frac{5}{x-2} = \frac{1}{x+4}$,
\item $\frac{x^{2}-x}{x^{2}+x-2} + \frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-x-2} = 1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\frac{6-x}{x^{2}-x} > \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x}$,
\item $\frac{3x^{2}+5x+1}{x} \leq 1-x$,
\item $\frac{(x+3)(x^{2}-5x+6)}{(x^{2}-9)(x-3)} \geq 0$,
\item $1+\frac{2}{x-5} + \frac{1}{x+1} \geq \frac{-x-7}{x^{2}-4x-5}$,
\item $\frac{1}{x^{2}+2x-3} \geq \frac{1}{2x+1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Podaj dziedzinę funkcji $f$ i przedstaw jej wzór w możliwie prostej postaci.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4x+3}$,
\item $f(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-3x+2}$,
\item $f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-2}$,
\item $f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}$,
\item $f(x)=\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{6x^{2}-24x+24}$,
\item $f(x)=\frac{x^{4}-10x^{2}+9}{x^{2}-2x-3}$
\item $f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}+1}$,
\item $f(x)=\frac{x^4+64}{x^{2}+4x+8}$,
\item $f(x)=\frac{8x^{3}+12x^{2}+6x+1}{4x^{2}+4x+1}$,
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie (pamiętaj o dziedzinie).
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\frac{2x-3}{x-1}+1=\frac{6x-x^{2}-6}{x-1}$,
\item $\frac{2}{x^{2}+x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{6x}$,
\item $\frac{3}{x^{3}+8}-\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{2}{x^{2}-2x+4}$,
\item $\frac{2x-2}{x^{2}-36}-\frac{x-2}{x^{2}-6x}=\frac{x-1}{x^{2}+6x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}-x-2}>0$,
\item $\frac{x^{2}-4}{x^{2}-5x}>0$,
\item $\frac{2x^{2}-7x-29}{x^{2}-2x-15}>1$,
\item $\frac{x^{2}-8x+6}{x^{2}+2}-5<0$,
\item $\frac{1+x}{1+2x}-\frac{1-2x}{2(x+1)}<-1$,
\item $\frac{x^{2}-8x+6}{x^{2}+2}<\frac{-9}{11}$,
\item $\frac{x^{5}-2x^{3}-x^{2}+2}{2x^{2}-1}>0$,
\item $\frac{-x^{4}-x^{2}+10x}{x^{2}-1}>0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\subsubsection{Zadania testowe}

\begin{zadanie}
Dana jest funkcja $f(x)=2x+\frac{1}{x+1}+3$ dla $x\neq -1$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Prosta $y=2$ jest asymptotą poziomą $f$.
\item Prosta $x=-1$ jest asymptotą pionową $f$.
\item Funkcja ta nie ma asymptoty pionowej.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Styczna do wykresu $f(x)=\frac{x+1}{x}$ w punkcie $(1,2)$:
\begin{enumerate}[a)]
\item przechodzi przez punkt $(2003,-2003)$,
\item ma ujemny współczynnik kierunkowy,
\item jest równoległa do prostej $x+y=0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbiorem rozwiązań nierówności:
$\frac{(x+1)(x-2)^{5}}{(x-1)|x+1||x+2|} \leq 0$ jest:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(-\infty,-1)\cup (1,2\rangle \backslash \{-2\}$,
\item $(-\infty,-2)\cup (-2,2\rangle \backslash \langle -1,1 \rangle$,
\item $(-\infty,-2)\cup (-2,-1) \cup (1,2\rangle$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f\colon (-\infty,-1)\cup(1,\infty)\to \mathbb{R}$ określona wzorem
\[f(x)=\frac{x}{x+1}\]
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item ma dodatnią pochodną w każdym punkcie,
\item jest rosnąca,
\item jest ciągła.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $g(x)=\frac{3x}{2x^{2}+1}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item posiada ekstrema lokalne,
\item posiada asymptotę,
\item ma pochodną równą $f^{\prime}(x)=\frac{3}{4x}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+x+1}$. Jej pochodna:
\begin{enumerate}[a)]
\item jest równa $f^{\prime}(x)=\frac{2x}{2x+1}$,
\item ma jedno miejsce zerowe,
\item jest ujemna dla $x\in(-2,0)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-3x+2}$. Wykres tej funkcji ma:
\begin{enumerate}[a)]
\item jedną asymptotę pionową,
\item dwie asymptoty pionowe,
\item asymptotę poziomą $y=2$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $g$ określona wzorem $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item jest funkcją malejącą w przedziale $(1,\infty)$,
\item ma minimum lokalne w punkcie $x=0$,
\item nie ma ekstremów lokalny.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbadaj własności funkcji: $f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}$. W szczególności
sprawdź czy funkcja $f$ ma asymptoty, jaka jest jej monotoniczność, parzystość,
ciągłość, oraz jak zachowuje się dla $x\to \pm\infty$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{5x+8}{x+1}$ dla $x\neq -1$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Funkcja $f$ jest równa funkcji $g(x)=\frac{3}{x+1}+5$ dla $x\neq -1$.
\item Funkcja $f$ ma asymptotę pionową $x=-1$.
\item Równanie $f(x)=5$ nie ma rozwiązania.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wiadomo, że $x+\frac{1}{x} = 4$. Zatem:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=8$,
\item $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$,
\item $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=16$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f$ dana jest wzorem: $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Wówczas:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(f(x))=\frac{1}{(x-1)^{2}}$,
\item $f(f(x))=f(1/x)$,
\item $f(1/x) = \frac{x}{x-1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $y=\frac{x^{2}}{x-1}$ jest:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item malejąca w $(0,2)$,
\item rosnąca w $(2,\infty)$,
\item rosnąca w $(-\infty,0)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wykres funkcji $f(x)=\frac{(x-1)(x+3)}{x^{2}-1}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item jest symetryczny względem punktu $(-1,1)$,
\item ma dwie asymptoty pionowe,
\item ma asymptotę poziomą.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\section{Zadanie domowe i ogłoszenia}

\begin{itemize}
\item W ramach zadania domowego proszę rozwiązać przynajmniej $22$ (słownie {\bf dwadzieścia
dwa}) zadania. Rozwiązania proszę przygotować na kartkach podpisanych imieniem i
nazwiskiem. Proszę pamiętać, szczególnie w zadaniach testowych, o uzasadnianiu
swoich odpowiedzi. Jeśli uda się znaleźć jakieś zadanie które wydaje się zupełnie
{\it nierozwiązywalne} -- proszę zapisać je na kartce i oznaczyć jakoś, to na pewno
zostanie wyjaśnione!

\item W następny weekend 7-8-9 kwietnia odbywają się rekolekcje akademickie, dla
studentów, młodzieży pracującej oraz \ldots {\bf maturzystów}. Zapraszam! Wszelkie
szczegóły mogę podać osobiście: e-mail: \url{ja@houp.info}, gsm: 660 316 053.

\item Wszystkie materiały z naszych zajęć zawsze można znaleźć w internecie:
\url{http://www.salezjanie.rumia.pl/math}. Kto szuka ten znajdzie;)
\end{itemize}
\end{document}