%& --translate-file=cp1250pl
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[top=1.4cm,bottom=1.4cm,left=1.5cm,right=1.5cm]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
\usepackage{multicol}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]

\title{Zajęcia nr.~1}
\author{Kurs matematyki w {\sc oratorium}}
\date{24 lutego 2006}

\begin{document}
\maketitle

\section{Zadania}

\begin{zadanie}
Określ czy dany ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, zbieżny, ograniczony,
monotoniczny:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_n = 2\cdot 2^n$
\item $b_n = 6n - 7$
\item $c_n = \sqrt[2n]{4^{n}}$
\item $d_n = 3^n + 3$
\item $\begin{cases} e_0 = 0 \\ e_{n+1} = 2\cdot e_n\end{cases}$
\item $\begin{cases} f_0 = 1 \\ f_{n+1} = 2+f_n\end{cases}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $x_1\neq x_2$ oznaczają pierwiastki równania $-x^{2} = -6mx + 5m^{2}$, gdzie
$m$ jest parametrem rzeczywistym. Znajdź taką wartość parametru $m$ dla której
wyrażenie $x_1^{2} + x_{2}^{2}$ osiąga największą wartość.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie:
\[ 4^x + 4m\cdot 2^x + 4m^{2} = 0 \]
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech $(\Omega, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech $A,B \subset \Omega$ będą
pewnymi zdarzeniami niezależnymi o niezerowym prawdopodobieństwie. Czy zdarzenia
te mogą być rozłączne?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówność:
\[ 5^{\log_{\frac{1}{5}}x} \geq 5x \]
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech będą dane zbiory:
\[ A = \{ x : |\sin x | = 1 \}\qquad B = \{ x : \frac{2x}{\pi} \in \mathbb{C} \} \]
\[ C = \{ x : x^{2}\leq 0 \} \]
Wyznacz:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A\cup B$
\item $A\cap B$
\item $A\backslash B$

\item $A\cap C$
\item $A\cup C$

\item $(A\cup B)\cap C$
\item $A\cup (B\cap C)$
\item $(A\cup B)\cap B$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Korzystając z odpowiedniej definicji, pokaż, że funkcja $f\colon (0,+\infty)\to\mathbb{R}$
dana wzorem $f(x)=\frac{1}{x}$ jest malejąca. Czy funkcja $g\colon \mathbb{R}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}$
dana wzorem $g(x)=\frac{1}{x}$ jest malejąca?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Niech liczby $4,15,m$ będą bokami pewnego trójkąta. Niech funkcja $f$ przypisuje
podanej liczbie wartość obwodu tego trójkąta, przy czym nieznany bok $m$ otrzymuje
wartość argumentu funkcji $f$. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dane są punkty $A=(0,0)$, $B=(\sqrt{2},\sqrt{3})$, $C=(\sqrt{3},3\sqrt{5})$.
Znajdź współrzędne punktu $D$, tak by aby punkty $ABCD$ były wierzchołkami pewnego
równoległoboku.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Sześcian o boku $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i
nachyloną do płaszczyzny pod kątem $\frac{\pi}{6}$ radianów. Wykonaj odpowiedni rysunek,
a następnie oblicz pole otrzymanego przekroju. ({\bf Wersja trudniejsza:} kąt jest parametrem
$\alpha$ -- podaj ogólny wzór na pole przekroju.)
\end{zadanie}

\section{Zadanie domowe}

\begin{enumerate}
\item Na następne zajęcia proszę przypomnieć sobie następujące tematy:
\begin{itemize}
\item {\bf funkcja liniowa:} wzory, własności, równoległość i prostopadłość prostych,
\item {\bf równania, nierówności i układy równań liniowych:} istnienie rozwiązań, różne metody rozwiązywania,
\item {\bf funkcja kwadratowa:} wzory ogólne, Viete'a, współrzędne wierzchołka, wyróżnik (delta),
rozwiązywanie równań i nierówności, własności.
\end{itemize}

\item Jeśli dzisiaj nie zdążymy rozwiązać wszystkich zadań, proszę mieć spróbować
je rozwiązać na następne zajęcia. W razie problemów służymy pomocą -- przez cały
tydzień za pośrednictwem internetu: Witek -- \url{ja@houp.info}, Marta -- \url{maja777@wp.pl}.
\end{enumerate}

Przypominamy również, że mamy w planach sprawdzanie zadań domowych -- także ogólnie
mówiąc lepiej mieć coś zrobione.

\section{Ogłoszenia}

\begin{enumerate}
\item Po zajęciach piątkowych zapraszamy na nabożeństwa młodzieżowe o godzinie 19.00
w dolnym kościele.

\item Zapraszamy również na spotkania młodzieży akademickiej, które odbywają się
we wtorki o godzinie 19.30 w kaplicy zakonnej (wejście przez Oratorium lub furtę
domu zakonnego).

\item Od dnia 2 marca, w każdy {\bf czwartek w godzinach 16.15--17.30}, na Uniwersytecie Gdańskim odbywać się
będą wykłady z matematyki dla uczniów liceum i wszystkich zainteresowanych. Więcej
informacji: \url{http://math.univ.gda.pl/news-html/odczyty2}. Jeśli ktoś jest zainteresowany
uczestnictwem, prosimy o kontakt. Wyjazd z Rumi pociągiem o godzinie 15.20.

\item Jest plan aby utworzyć drugą grupę dla naszych zajęć. W związku z tym proszę
o internetowy (albo jakiś inny;) kontakt w sprawie najdogodniejszych terminów!
Obie grupy nie różniłyby się poziomem nauczania -- jedynie dniem i godziną (i być
może prowadzącymi).

\end{enumerate}

\section{Kontakt}
Wszelkie informacje o kursie powinny być dostępne na stronie internetowej:
\begin{center}
\url{http://www.salezjanie.rumia.pl/math}
\end{center}

\end{document}