\documentclass[11pt,a5paper,twoside,titlepage]{article}
\usepackage[top=1.7cm,bottom=0.5cm,left=.7cm,right=1.2cm,twoside]{geometry}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
\usepackage{multicol}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{problem}{Problem}[section]

\title{Zajęcia nr.~2}
\author{Kurs matematyki w {\sc oratorium} \\ \small{autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt}}
\date{3 marca 2006}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}

\renewcommand{\sectionmark}[1]%
{\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}}

\lhead[{\bf \thepage}]{\rightmark}
\rhead[\rightmark]{{\bf \thepage}}
\cfoot[]{}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}

\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\footskip}{5pt}

\begin{document}
\thispagestyle{plain}
\maketitle

\tableofcontents
\newpage
\section{Funkcja liniowa}

\subsection{Pojęcia podstawowe}

\begin{definicja}[funkcja liniowa]
Niech $a$ i $b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję
$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ daną wzorem: $f(x)=ax+b$ nazywamy liniową.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
W definicji funkcji liniowej ważne jest to, że dziedziną tej funkcji jest cały
zbiór liczb rzeczywistych (zwróć uwagę na zapis $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, czy
wiesz co on oznacza?). Na przykład funkcja dana wzorem: $f(x)=\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}$ daje się
sprowadzić do wzoru funkcji liniowej $f(x)=x+2$. Nie jest to jednak funkcja
liniowa gdyż jej dziedziną jest $D_{f}=\mathbb{R}\backslash\{1\}$.
\end{uwaga}

\subsection{Wykres funkcji liniowej}

Wykresem funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ jest linia prosta o równaniu $y=ax+b$.
Aby narysować wykres funkcji $f(x)=ax+b$ wystarczy znaleźć conajmniej dwa
dowolne punkty tego wykresu.

Innym sposobem rysowania wykresu zadanej funkcji liniowej jest tzw. ,,szybki wykres''
stosowany szczególnie wtedy, gdy parametry $a$ i $b$ są całkowite. Wystarczy
zdać sobie sprawę, że parametr $b$ określa, w którym miejscu wykres przecina oś
$OY$ (bo $f(0)=b$), natomiast parametr $a$ mówi nam o ile wzrasta (lub maleje) wartość
funkcji, gdy argument $x$ zwiększamy o $1$.

\begin{przyklad}[szybki wykres]
Aby zatem narysować wykres funkcji $f(x)=2x-4$ zaznaczamy na osi $OY$ punkt $-4$
(bo $b=-4$). Od narysowanego punktu idziemy jedną kratkę w prawo i dwie kratki
do góry (bo $a=2$) i zaznaczamy kolejny punkt. Od zaznaczonego punktu znów
poruszamy się o jedną kratkę w prawo i dwie do góry i otrzymujemy kolejne punkty.
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{wykresy//wykres02}
\end{center}

Łącząc otrzymane punkty otrzymujemy prostą która jest wykresem naszej funkcji $f$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}[szybki wykres]
Jeśli parametr $a$ jest ujemny, to wraz ze wzrostem argumentu $x$, wartość funkcji
będzie malała. Zatem rysując wykres np. $f(x)=-3x+2$ zaznaczamy na osi $OY$ punkt
$2$ (bo $b=2$) i poruszamy się o jedną kratkę w prawo i o trzy kratki w dół (bo $a=-3$)
otrzymując nowy punkt. Powtarzając procedurę otrzymujemy kolejne punkty:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{wykresy//wykres03}
\end{center}

\end{przyklad}

\begin{uwaga}
Zauważ, że używając metody szybkiego wykresu otrzymujemy dokładniejszy rysunek,
gdyż dostajemy wiele punktów, co nie pozwala na ,,rozchwianie'' się rysowanej prostej.
\end{uwaga}

\begin{problem}
Zauważmy, że jeśli paramter $a$ nie jest liczbą całkowitą, to szkicowanie wykresu
metodą ,,szybkiego wykresu`` nie jest już takie proste. Na przykład jeśli
$f(x)=\frac{3}{4}x-2$, to na osi $OY$ zaznaczamy $-2$, a następnie powinniśmy
przenieść się o jedną kratkę w prawo i $\frac{3}{4}$ kratki w górę. Jest to dość
trudne do wykonania chyba, że $\ldots$ zauważmy, iż otrzymamy tą samą prostą
poruszając się $4$ kratki w prawo i $3$ kratki do góry:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{wykresy//wykres04}
\end{center}
\end{problem}

\subsection{Współczynnik kierunkowy}

\begin{definicja}[współczynnik kierunkowy]
Parametr $a$ we wzorze funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ nosi nazwę współczynnika kierunkowego.
\end{definicja}

Po wcześniejszych rozważaniach dotyczących szkicowania wykresów funkcji liniowych
nazwa ta nikogo nie dziwi. Rzeczywiście, to parametr $a$ decyduje o tym, czy
wykres opada czy wznosi się i czy jest bardziej stromy czy raczej niewiele odbiega
od prostej poziomej. Jeśli w jednym układzie współrzędnych umieścimy wykresy
funkcji: $f_{1}(x)=2x+1$, $f_{2}(x)=3x+1$, $f_{3}(x)=-x+1$, $f_{4}(x)=-4x+1$,
$f_{5}(x)=1$, to zobaczymy, żę choć wszystkie przechodzą przez punkt $(0,1)$, to
jednak ,,rozbiegają się'' w różnych kierunkach.
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{wykresy//wykres05}

\end{center}

\begin{fakt}[monotoniczność funkcji liniowej]
Każda funkcjia liniowa jest monotoniczna, a rodzaj jej monotoniczności zależy
od jej współczynnika kierunkowego.
\end{fakt}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.14]{wykresy//wykresd1.pdf}
\end{center}

\begin{fakt}
Jeśli współczynnik kierunkowy funkcji liniowej $f$ jest różny od zera (tzn. $a\neq 0$)
to funkcja ta jest różnowartościowa, posiada funkcję odwrotną (która jest funkcją
liniową), jej zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych i ma dokładnie
jedno miejsce zerowe.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeśli współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest równy zero, tzn. $f(x)=b$,
to funkcja ta nie jest różnowartościowa, nie ma funkcji odwrotnej, jej zbiór
wartości jest postaci $\{b\}$, a wykresem jest prosta pozioma (równoległa do
osi $OX$). Jeśli więc $b\neq 0$, to funkcja nie posiada miejsc zerowych, a jeśli
$b=0$, to funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
\end{fakt}

\paragraph{Wniosek.} Z podanych wyżej faktów wynika, że funkcja liniowa może mieć
jedno miejsce zerowe (gdy $a\neq 0$), może nie mieć miejsca zerowego (gdy $a=0$ oraz
$b\neq 0$) lub może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych (gdy $a=b=0$).

\begin{fakt}[kąt nachylenia prostej]
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej $f$ jest równy tangensowi kąta nachylenia
wykresu tej funkcji do osi $OX$ (dokładniej mówiąc, do prawej strony tej osi).
\end{fakt}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.14]{wykresy//wykresd2.pdf}
\end{center}

\begin{fakt}[proste równoległe]
Dwie proste o równaniach $y=a_{1}x+b_{1}$ i $y=a_{2}x+b_{2}$ są równoległe
wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1}=a_{2}$.
\end{fakt}

\begin{fakt}[proste prostopadłe]
Dwie proste o równaniach $y=a_{1}x+b_{1}$ i $y=a_{2}x+b_{2}$ są prostopadłe
wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1}*a_{2}=-1$.
\end{fakt}

Wykresem każdej funkcji liniowej jest linia prosta. Jednak nie każda linia prosta
jest wykresem funkcji liniowej. W szczególności wszystkie proste o równaniach
$x=c$, gdzie $c\in \mathbb{R}$, nie są wykresami funkcji. Każda z pozostałych prostych jest
wykresem jakiejś funkcji liniowej.

\begin{przyklad}
Znajdziemy teraz wzór funkcji, której wykres jest prostą przedstawioną na rysunku:

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{wykresy//wykres06}
\end{center}

Ponieważ wykresem jest linia prosta, która nie jest pionowa, zatem szukana
funkcja jest liniowa i ma postać $f(x)=ax-1$ (skąd wiadomo, że $b=-1$ ?).
Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $(1,2)$, zatem $f(1)=2$, czyli $a-1=2$,
co daje $a=3$. Ostatecznie szukana postać funkcji to $f(x)=3x-1$.
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Która z podanych funkcji jest funkcją liniową?
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3-4x$,
\item $f(x)=\frac{(x^2+1)(x-2)}{x^2+1}$,
\item $f(x)=g(\frac{1}{x})$, gdzie $g(x)=\frac{1}{x}$,
\item $f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x^{2}+x-2}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$\star$]
Podaj algorytm ,,szybkiego rysowania'' wykresów funkcji postaci $f(x)=\frac{n}{k}x+b$,
gdzie $n, k, b$ są liczbami całkowitymi.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$\star$]
Dlaczego proste o równaniach $x=c$, gdzie $c\in \mathbb{R}$ nie są wykresami
funkcji?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Znjadź wzór funkcji odwrotnej do podanej i obie funkcje narysuj na jednym wykresie.
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x-1$,
\item $f(x)=-2x+1$,
\item $f(x)=\frac{1}{2}x+2$,
\item $f(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Narysuj wykresy funkcji:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}$,
\item $f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x+1}$,
\item $f(x)=g(\frac{1}{x})$, gdzie $g(x)=\frac{1}{x}$,
\item $f(x)=2x+1$, dla $x\geq 0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Jeśli funkcja $f$ jest dana wzorem funkcji liniowej, ale jej dziedziną nie jest
cały zbiór liczb rzeczywistych, to co można powiedzieć o jej wykresie?
\end{zadanie}


\begin{zadanie}
Przez które z ćwiartek układu współrzędnych przechodzi wykres funkcji $f(x)=ax+1$,
gdzie $a\in \mathbb{R}$? Czy zależy to od parametru $a$?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Przez które z ćwiartek układu współrzędnych przechodzi wykres funkcji $f(x)=2x+b$,
gdzie $b\in \mathbb{R}$? Czy zależy to od paramteru $b$?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}[$*$]
W zależności od paramterów wartości współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego
omów:
\begin{enumerate}[a)]
\item monotoniczność,
\item parzystość,
\item różnowartościowość,
\item postać zbioru wartości,
\end{enumerate}
funkcji liniowej.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Ile miejsc zerowych może mieć funkcja liniowa? Podaj przykład na każdą z możliwości.
Jak myślisz jaki będzie to miało wpływ na liczbę rozwiązan równania liniowego.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Używając tablic matematycznych, kalkulatora albo komputera, podaj dokładną (lub
przybliżoną) wartość kąta nachylenia podanych prostych do osi $OX$:

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=2x+1$,
\item $f(x)=-x+3$,
\item $f(x)=x-2$,
\item $f(x)=-3x-2$,
\item $f(x)=\frac{1}{2}x+4$,
\item $f(x)=-\frac{1}{3}x+1$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wzór funkcji liniowej której wykres:
\begin{enumerate}[a)]
\item przechodzi przez punkty: $A=(1,-1)$, $B=(5,4)$,
\item przechodzi przez punkt: $A=(1,1)$ i jest równoległy do wykresu funkcji
$f(x)=3x-10$,
\item przechodzi przez punkt: $A=(2,1)$ i jest prostopodały do wykresu funkcji
$f(x)=2x-4$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej.
\begin{center}
\includegraphics[scale=.18]{wykresy//s1w1}
\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item Wyznacz wzór tej funkcji.
\item Sprawdź czy dla argumentu $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ wartość funkcji
jest równa $4-2\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja liniowa jest określona wzorem $f(x)=(2m+1)x-1$. Dla jakich wartości
parametru $m$:
\begin{enumerate}[a)]
\item funkcja $f$ jest malejąca,
\item wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $OX$ pod kątem $45^{\circ}$,
\item funkja przyjmuje wartości dodatnie {\textbf tylko} dla argumentów $x>2$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja liniowa jest określona wzorem $f(x)=(-m+2)x-3m$. Dla jakich wartości
parametru $m$:
\begin{enumerate}[a)]
\item funkcja $f$ jest rosnąca,
\item wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $OX$ pod kątem $135^{\circ}$,
\item funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne {\textbf tylko} dla argumentów $x>1$,
\item funkcja $f$ jest nieparzysta,
\item funkcja $f$ nie posiada funkcji odwrotnej,
\item wykres funkcji $f$ jest prostopadły do wykresu funkcji $g(x)=x+5$,
\item wykres funkcji $f$ jest równoległy do wykresu funkcji $g(x)=4x-4$.
\item wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt: $A=(3,6)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}


\section{Równania liniowe}

\subsection{Podstawowe pojęcia}

\begin{definicja}[równanie liniowe]
Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci:
$ax=b$, gdzie $x$ oznacza niewiadomą, natomiast $a$ i $b$ to parametry.
\end{definicja}

Rozwiązać powyższe równanie oznacza znaleźć wszystkie liczby,
które podstawione w miejsce $x$ spełniają równość. Jeśli nie zaznaczono tego
inaczej, przyjmujemy, że $x$ może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Przeanalizuj poniższe przykłady i sprawdź czy rozumiesz skąd wzięły się
takie, a nie inne wyniki.

\begin{przyklad}
Rozwiązaniem równania $2x=0$ jest dokładnie jedna liczba: 0.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozwiązaniem równania $0x=0$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (mówimy
też, że pierwiastkiem tego równania jest dowolna liczba rzeczywista).
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozwiązaniem równania $0x=3$ jest zbiór pusty, co oznacza, że żadna liczba
rzeczywista nie jest pierwiastkiem tego równania.
\end{przyklad}

\subsection{Liczba rozwiązań równania liniowego.}

\begin{fakt}
Ogólnie, rozwiązując równanie liniowe $ax=b$ otrzymujemy:
\begin{enumerate}
\item jedno rozwiązanie postaci $x=-\frac{b}{a}$, jeśli $a\neq 0$,
\item nieskończenie wiele rozwiązań (czyli $x\in \mathbb{R}$), jeśli $a=0$
i jednocześnie $b=0$,
\item zbiór pusty - brak rozwiązań ($x\in \emptyset$), jeśli $a=0$ i $b\neq 0$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\paragraph{Wniosek:} Równanie liniowe może mieć $0$, $1$ lub $\infty$ rozwiązań.

\subsection{Równania liniowe z założeniami}

W równaniach linowych, o których pisaliśmy dotychczas, zakładano (chociaż
nie było to nigdzie wyraźnie napisane), że $x$ może być dowolną liczbą
rzeczywistą (jest to podobnie jak w przypadku funkcji - dziedzina naturalna).
Może się jednak zdarzyć, że równanie będzie miało dziedzinę zadaną z góry.
Poniższa definicja jest właściwie rozszerzeniem poprzedniej.

\begin{definicja}[równanie liniowe z założeniami]
Równanie postacie $ax=b$ przy założeniu $x\in D$ nazywamy liniowym (z założeniami),
a zbiór $D$ nazywamy dziedziną tego równania.
\end{definicja}

Oczywiście, przy poszukiwaniu rozwiązania takiego równania, interesują nas
tylko takie liczby $x$ które spełaniają dane równanie i jednocześnie należą
do zbioru $D$.

\begin{przyklad}
Rozwiążmy równanie $3x=5$ przy założeniu $x\in \mathbb{N}$. Oczywiście
równanie takie nie ma rozwiązań, otrzymujmy zbiór pusty ($x\in \emptyset$). (dlaczego?)
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozważmy równanie $6x=2$ przy założeniu $x\in (0,\infty)$. Równanie to
ma jedno rozwiązanie $x=\frac{1}{3}$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Równanie $0x=0$ przy założeniu $x\in \langle  0,\infty)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań,
czyli ... jego rozwiązaniem jest cała dziedzina (wszystkie liczby z dziedziny
spełniają to równanie), czyli: $x\in \langle  0,\infty)$.
\end{przyklad}

Najprostszym sposobem rozwiązania równania liniowego $ax=b$ z założeniem $x\in D$
jest rozwiązanie ,,zwykłego'' równania liniowego, a następnie obliczenie części
wspólnej zbioru rozwiązań oraz zbioru $D$.

\begin{uwaga}
Jeśli w czasie pracy nad rozwiązaniem jakiegoś problemu otrzymasz równanie
(niekoniecznie liniowe) ZAWSZE zastanów się, czy nie jest ono ,,obarczone''
jakimś założeniem.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Spróbujmy rozwiązać zadanie o następującej treści:
Jeden bilet do kina kosztuje $10$ zł. Za ile takich biletów zapłacisz $37$ zł?
Aby rozwiązać to zadanie, musimy w zasadzie rozwiązać proste równanie:
$10x=37$, ale przy założeniu $x\in \mathbb{N}$ (dlaczego?) - i oczywiście okazuje się, że
rozwiązaniem jest zbiór pusty.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Równanie postaci: $\frac{-x-3}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$ jest oczywiście równoważne
równaiu $-2x=4$, gdzie $x\neq -2$ (dlaczego?). Jest to równanie sprzeczne (zbiorem
rozwiązań jest zbiór pusty).
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Podaj liczbę pierwiastków danego równania w zależności od wartości występujących
parametrów.
\begin{enumerate}[a)]
\item $mx-1=2x$,
\item $m^{2}x+m=x+1$,
\item $ax+b=cx$,
\item $a^{2}x+3=2-(b^{2}+1)x$,
\item $ax^{2}+3x-4=7+a^{2}$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż podane równanie (uwzględniając wszystkie możliwości dla parametrów).
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $4x+3=mx-m$,
\item $3x-m=mx-3$,
\item $k^{2}x-1=x-k$,
\item $ax+4=8x-b$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż podane równania:
\begin{enumerate}[a)]
\item $(x-3)(x+4) - 2(3x-2)=(x-4)^{2}$, gdzie $x\in \mathbb{N}$,
\item $\frac{15}{2x+7}=\frac{6}{x+2}$,
\item $5(x-1)^{2}-2(x+3)^{2}=3(x+2)^{2}-7(6x-1)$, gdzie $x\geq 0$,
\item $(x+1)^{3}-(x-1)^{3}=6(x^{2}+x+1)$, gdzie $x\neq 2$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Na pewnym sprawdzianie z matematyki było do rozwiązania 10 zadań.
Ustalono również następujące zasady. Za dobrze
rozwiązane zadaine uczeń otrzymywał $5$ punktów, natomiast za każde błędne
rozwiązanie uczeń tracił $3$ punkty. Ile zadań zostało rozwiązanych dobrze
jeśli uczeń otrzymał:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a)]
\item $34$ punkty,
\item $12$ punktów,
\item $2$ punkty,
\item $-7$ punktów?
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Długopis kosztuje $3$ zł. Ile kosztuje ołówek, jeśli za $2$ długopisy i
$3$ ołówki zapłacono:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $9$ zł,
\item $7$ zł,
\item $7$ zł. i $50$ gr?
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}


\section{Układy równań liniowych}

\begin{definicja}
Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ postaci:
$$\left\{
\begin{array}{l}
a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\
a_{2}x+b_{2}y=c_{2}
\end{array}\right.,$$
gdzie przynajmniej jeden z paramterów $a_{1}$ i $b_{1}$ oraz przynajmniej
jeden z parametrów $a_{2}$ i $b_{2}$ jest różny od zera (to założenie
jest potrzebne po to, aby każde z równań wyznaczało na płaszczyźnie pewną
prostą).
\end{definicja}

\begin{problem}
Jaki zbiór punktów na płaszczyźnie określa równanie
$0x+0y=c$. Czy zbiór ten zależy od wartości parametru $c$?
\end{problem}

\subsection{Metody rozwiązywania układów równań}

Ponieważ każde z równań określa pewną prostą na płaszczyźnie zatem rozwiązaniem
układu są pary $(x,y)$ wyznaczające punkty wspólne tych prostych. Jak wiadomo
dwie proste mogą mieć $0$, $1$ lub $\infty$ puntków wspólnych (czy potrafisz wykonać
odpowiednie rysunki?). Z tego wynika, że rozważany układ równań może albo
być sprzeczny, albo mieć dokładnie jedno rozwiązanie (mówimy wtedy że jest
oznaczony) albo mieć $\infty$ wiele rozwiązań (mówimy wtedy, że jest nieoznaczony).

Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań. Jeśli układ nie zawiera
parametrów, to możemy użyć:
\begin{enumerate}
\item metody podstawiania,
\item metody przeciwynych współczynników,
\item metody graficznej,
\item metody wyznaczników.
\end{enumerate}

W układach bez parametrów, preferowane jest używanie jednej z dwóch
pierwszych metod. (Przypomnij sobie na czym polegają metody 1, 2 i 3).
Jeśli natomiast układ zawiera choć jeden parametr, wydaje się, że metoda
wyznaczników jest ,,najbezpieczniejsza'' i najefektywaniejsza.

\subsection{Metoda wyznaczników}

Metoda wyznaczników jest najbardziej uniwersalną metodą rozwiązywania układów
równań liniowych. W matematyce używa się jej postaci ogólnej, zwanej metodą
bądź wzorami Cramera. Metoda taka pozwala na rowiązywania, w bardzo prosty
sposób, układów wielu równań z dużą liczbą niewiadomych. My w naszych rozważaniach
ograniczymy się do układów dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Poniżej zebrano
podstawowe definicje i fakty, potrzebne przy korzystaniu z tej metody.

\begin{definicja}[wyznaczniki układu równań]
Dla układu:
$$\left\{
\begin{array}{l}
a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\
a_{2}x+b_{2}y=c_{2}
\end{array}\right.$$
wyznacznikiem głównym nazywamy liczbę $W$ określoną wzorem:
$$W = \left|
\begin{array}{cc}
a_{1} & b_{1} \\
a_{2} & b_{2}
\end{array}\right| = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}[interpretacja geometryczna wyznacznika]
Wyznacznik główny informuje nas, czy proste, których równania występują
w układzie równań są równoległe czy nie.
\end{uwaga}

Aby zbadać ile rozwiązań ma dany układ równań warto posłużyć się wyznacznikiem.
Poniżej zebrano kilka faktów wiążących wyznacznik, właśnie z ilością rozwiązań
układu równań.

\begin{fakt}
Jeśli wyznacznik główny układu $W=0$, to proste wyznaczane przez ten układ są
równoległe. Jeśli natomiast wyznacznik główny $W\neq 0$, to proste te nie są
równoległe.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeśli wyznacznik główy układu $W\neq 0$, to układ jest oznaczony - ma dokładnie
jedno rozwiązanie. I odwrotenie, jeśli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, to
jego wyznacznik główny napewno jest różny od zera.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeśli wyznacznik główy układ $W=0$, to układ nie jest oznaczony - to znaczy
albo okaże się być sprzeczny albo ma $\infty$ wiele rozwiązań.
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Zauważmy, że gdy $W=0$, to dalej nie wiemy, ile rozwiązań posiada układ
równań. Sposób poradzenia sobie z tą ,,przeszkodą'' zilustruje poniższy
przykład.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}[badanie ilości rozwiązań układu równań z parametrem]
W zależności od parametru $m$ zbadamy ilość rozwiązań układu:
$$\left\{
\begin{array}{l}
mx + y = 1 \\
3x + 3my = 3
\end{array}\right.$$
Obliczmy wyznacznik główny tego układu.
$$
W =
\left|
\begin{array}{cc}
m & 1 \\
3 & 3m
\end{array}
\right| =
3m^{2}-3.
$$

Sprawdźmy kiedy $W=0$:
$$3m^{2}-3=0\qquad gdy\quad m=1\quad lub\quad m=-1.$$

Dla pozostałych $m$, zachodzi $W\neq 0$, zatem wiadomo już, że jeśli
$m\in \mathbb{R}\backslash \{-1,1\}$, to układ posiada dokładnie jedno
rozwiązanie. Pozostaje sprawdzić co się dzieje dla $m=1$ oraz dla $m=-1$
(w obu przypadkach proste wyznaczane przez układ równań są równoległe, nie
wiadomo jednak czy pokrywają się czy też nie mają punktów wspólnych).

Jeśli $m=1$ to nasz układ przyjmuje konkretną postać:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 1 \\
3x + 3y = 3
\end{array}\right.$$
Wystarczy podzielić drugie równańie obustronnie przez $3$ aby otrzymać:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 1 \\
x + y = 1
\end{array}\right.$$
Bez żadnych dalszych wyliczeń łatwo możemy stwierdzić, że oba równania opisują
tą samą prostą - czyli, w tym przypadku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeśli natomiast $m=-1$, to układ nasz przybiera postać:
$$\left\{
\begin{array}{l}
-x + y = 1 \\
3x - 3y = 3
\end{array}\right.$$
Wystarczy teraz pierwsze z równań pomnożyć przez $-1$ a drugie podzielić przez
$3$ (dążymy do zrównania współczynnika przy $x$), aby otrzymać:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x - y = -1 \\
x - y = 1
\end{array}\right.$$
Widać tutaj odrazu, że otrzymane proste są równoległe, ale napewno nie pokrywają się
(są ,,rozsunięte''), stąd układ jest sprzeczny.

Zbierzmy więc uzyskane wyniki. Okazało się, że jeśli $m\in \mathbb{R}\backslash\{-1,1\}$,
to układ ma 1 rozwiązanie. Jeśli $m=-1$, to układ nie ma rozwiązań, jeśli natomiast
$m=1$, to układ ma $\infty$ wiele rozwiąząń.
\end{przyklad}

Aby poradzić sobie z rozwiązaniem (a nie tylko z podaniem liczby
rozwiązań) układu który posiada parametry, wprowadzimy tzw. wyznaczniki
szczegółowe.

\begin{definicja}[wyznaczniki szczegółowe układu równań]
Wyznacznikami szczegółowymi niewiadomych $x$ i $y$ nazywać będziemy odpowiednio
liczby:

$$W_{x} = \left|
\begin{array}{cc}
c_{1} & b_{1} \\
c_{2} & b_{2}
\end{array}\right| = c_{1}b_{2} - c_{2}b_{1},$$

oraz

$$W_{y} = \left|
\begin{array}{cc}
a_{1} & c_{1} \\
a_{2} & c_{2}
\end{array}\right| = a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1}.$$

\end{definicja}

\begin{fakt}
Jeśli wyznacznik główny układu $W\neq 0$, to rozwiązaniem układu jest
para liczb:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x=\frac{W_{x}}{W} \\
y=\frac{W_{y}}{W}
\end{array}
\right. .$$
\end{fakt}

\noindent Co więcej można udowodnić następujące własności.

\begin{fakt}
Jeśli $W=0$ oraz $W_{x}=W_{y}=0$, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Jeśli $W=0$ oraz przynajmniej jeden z wyznczników szczegółowych $W_{x}$ lub
$W_{y}$ jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.
\end{fakt}

\subsection{Zadania}
\begin{zadanie}
Używając metody podstawiania rozwiązać układy równań:
\begin{multicols}{3}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x-2y=7\\
4x+2y=1\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x-y=2\\
-6x+2y=3\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
x-2y=4\\
2x-3y=8\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Używając metody przeciwnych wspólczynników rozwiąż układy równań:
\begin{multicols}{3}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{ \begin{array}{l}
x+y=7\\
2x+2y=4\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}x-3y=8\\
-2x+6y=16\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
4x-y=3\\
2x-2y=5\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Podany układ zilustruj graficznie i jeśli to możliwe podaj dokładne rozwiązanie.
\begin{multicols}{2}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x-y=2\\
4x+2y=8\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x+y=10\\
-x+y=-2\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Omów wady metody graficznej.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Przypuśmy, że $b_{1}\neq 0$ i $b_{2}\neq 0$. Wtedy każdy taki układ dwóch równań
liniowych można sprowadzić do postaci:
$$\left\{ \begin{array}{l}
y=-\frac{a_{1}}{b_{1}}x+\frac{c_{1}}{b_{1}}\\
y=-\frac{a_{2}}{b_{2}}x+\frac{c_{2}}{b_{2}}
\end{array}\right.$$

\noindent Posługując się interpretacją graficzną podaj jak ilość rozwiąząń zależy od
liczb: $-\frac{a_{1}}{b_{1}}$, $-\frac{a_{2}}{b_{2}}$, $\frac{c_{1}}{b_{1}}$, $\frac{c_{2}}{b_{2}}$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W każdym z podanych niżej przypadków wylicz $W$ i jeśli $W\neq 0$, to rozwiąż
dany układ metodą wyznaczników, a jeśli $W=0$, to przez odpowiednie pomnożenie
przekształć układ do postaci, z której ,,widać'' ilość rozwiązń:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{ \begin{array}{l}
x+2y=11\\
5x-3y=3\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
2x+5y=15\\
3x+8y=-1\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x-y=5\\
5x+2y=23\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
28x+35y+3=0\\
12x+15y+25=0\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
2x+5y=25\\
-4x-10y=-50\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
7x-3y+1=0\\
4x-5y+17=0\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W zależności od paramteru (parametrów) podaj liczbę rozwiązań dla:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]

\item $\left\{ \begin{array}{l}
m^{2}x+y=1\\
x+y=m\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
x+y=a\\
mx+y=0\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
(a-3)x-4y=b\\
9x-(a+2)y=-9\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
2x+3y=4\\
4x+my=2m\end{array}\right.$

\item $\left\{ \begin{array}{l}
x+3my=1+m\\
3mx+y=-2(m-1)\end{array}\right.$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W zależności od parametru $m$ rozwiąż podany układ:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{ \begin{array}{l}
3x+my=-2\\
3x+2y=3\end{array}\right.$

\item $({\star})$ $\left\{ \begin{array}{l}
x+2y=4\\
2x+my=2m\end{array}\right.$

\item $({\star})$ $\left\{ \begin{array}{l}
mx+y=m\\
x+my=m^{2}\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W zależności od paramteru $k$ podaj liczbę rozwiązań układu:
$$\left\{
\begin{array}{l}
kx+y=k^{2} \\
x+ky=1
\end{array}
\right.$$
i odpowiedz, dla jakich wartości parametru $k$ układ:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item jest niesprzeczny,
\item ma co najmniej jedno rozwiązanie,
\item jest nieoznaczony,
\item ma co najwyżej jedno rozwiązanie,
\item ma conajmniej dwa rozwiązania,
\item ma dokładnie siedem rozwiązań,
\item ($\star$) ma rozwiązanie będące parą liczb przeciwnych.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $b$ punkt przecięcia prostych danych równaniami:
$$\left\{
\begin{array}{l}
2x-3by=5b \\
x+2y=5\\
\end{array}\right.$$
należy do czwartej ćwiartki układu współrzędnych?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W zależności od paramteru $m$ podaj rozwiązanie układów równań:
\begin{multicols}{2}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{l} 2mx-(m+2)y=3m \\ 2(m-1)x-my=3(m-1)\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} x+m(m-1)y=2m^{2} \\ x-(m^{2}-1)y=m(1-m)\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} (m+1)x-(m-1)y=2m^{2} \\ mx-(m+1)y=m(1-m)\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} mx-2(m-2)y=m+3 \\ (m-1)x-2my=m\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} (m+1)^{2}x-(m^{2}-1)y=m+1 \\ (m-1)^{2}x-(m^{2}-1)y=(m-1)^{2}\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
W następujących układach równań przyjmij jedną niewiadomą za parametr i oblicz
wartości pozostałych niewiadomych.
\begin{multicols}{2}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\ 2x-y+3z=1\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} 4a+b=3 \\ 2b-c=4\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l} m+3p-t=2 \\ 2m+t=5\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\subsection{Układy trzech (i więcej) równań liniowych}
W poprzednich podrozdziałach skupialiśmy się głównie na rozwiązywaniu układów
dwóch równań, w którym występowały dwie niewiadome (i czasem paramtery). Możliwe
jest jednak rozwiązywanie większych układów równań.

\paragraph{Metoda wyznaczników dla układów trzech równań linowych.} Rozważmy
układ równań:
$$\left\{
\begin{array}{l}
a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z = d_3
\end{array}\right.$$

Dla takiego układu równań zdefiniujmy znane już wcześniej pojęcia.

\begin{definicja}[wyznacznik główny układu trzech równań liniowych]
Wyznacznikiem głównym układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi
nazywamy liczbę:
$$W=\left|\begin{array}{ccc}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}[wyznaczniki szczególne]
Analogicznie do powyższej definicji, możemy podać wzory na wyznaczniki szczególne
$W_x, W_y, W_z$, w których odpowiednią kolumnę zamieniamy na kolumnę $d_1,d_2,d_3$ i
korzystamy z wzoru danego w definicji.
\end{uwaga}

Większość twierdzeń odnośnie liczby rozwiązań układu równań liniowych są
nadal prawdziwe. W szczególności:

\begin{itemize}
\item jeśli wyznacznik główny jest różny od zera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,
\item jeśli wyznacznik główny równy jest zero, a któryś (przynajmniej jeden) z
wyznaczników szczególnych jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.
\end{itemize}

Zachodzą również wzory:
\[\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{W_x}{W} \\
y=\frac{W_y}{W} \\
z=\frac{W_z}{W}\end{array}\right.\]


W odróżnieniu od przypadku dwóch równań z dwiema niewiadomymi, zerowanie się wszystkich wyznaczników
nie rozstrzyga czy układ jest sprzeczny czy ma nieskończenie wiele rozwiązań.


\begin{uwaga}
Powyższa metoda wyzniaczników, ,,działa'' również dla większych układów równań.
Wzory tej metody ogólnie nazywa się wzorami Cramera. Można o nich przeczytać
w internecie na przykład tu: \url{http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Cramera}.
Istnieje również bardzo ,,szybka'' metoda rozwiązywania dowolnych, dużych układów
równań zwana metodą eliminacji Gaussa, o której można poczytac na przykład tu
\url{http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Gaussa}.
\end{uwaga}

\subsection{Zadania dodatkowe}
\begin{zadanie}
Rozwiąż układ równań:
\begin{multicols}{2}\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=18 \\ x-y-z=2 \\ x+y-z=2\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=7 \\ 2x-y+2z=8 \\ 3x+2y-2z=20\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}2x+4y-5z=42 \\ 4x+3y+4z=-2 \\ 2x-6y-8z=-6\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}3x+4y+2t=7 \\ -2x-y+3t=6 \\ 4x+3y+5t=7\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}x+4y-3z=-2 \\ x-3y-2z=-13 \\ x+9y-5z=2\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=21 \\ 2y-5z=0 \\ 6x-7z=0\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zadanie}

\section{Funkcja kwadratowa}

\subsection{Podstawowe definicje.}

\begin{definicja}[funkcja kwadratowa]
Funkcją kwadratową nazywamy dowolną funkcję postaci: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, gdzie
$a\neq 0$, natomiast $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Jeśli w zadaniu pojawi się funkcja, która ,,wygląda'' jak funkcja kwadratowa,
ale współczynnik przy $x^{2}$ zawiera parametr (np. $f(x)=(m+1)x^{2}+mx-3$) to
najczęściej musimy rozpatrzeć osobno dwa przypadki: funkcji kwadratowej (gdy $m\neq -1$)
oraz funkcji liniowej (gdy $m=-1$).
\end{uwaga}

\paragraph{Wykres funkcji kwadratowej.}
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. ,,Składa'' się ona z wierzchołka i
dwóch ramion, które albo są skierowane do góry (gdy $a>0$) albo na dół ($a<0$).
{\bf Współrzędne wierzchołka} obliczamy ze wzorów: $W=(p,q)$, gdzie
\[p=\frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a},\]
no i oczywiście $\Delta = b^{2}-4ac$. Symbol $\Delta$ zwany \textbf{wyróżnikiem}
rozpatrywanego trójmianu kwadratowego informuje nas o ilości miejsc zerowych:
\begin{itemize}
\item jeśli $\Delta > 0$, to funkcja posiada dwa miejsca zerowe,
\item jeśli $\Delta = 0$, to funkcja posiada jedno miejsce zerowe,
\item jeśli $\Delta < 0$, to funkcja nie posiada miejsce zerowych.
\end{itemize}

\begin{fakt}
Jeśli $a\neq 0$ i $\Delta \geq 0$, to miejsca zerowe dane są wzorami:
$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
(Jeśli $\Delta = 0$, to oba wzory dają tą samą liczbę oznaczaną przez $x_{0}$.)
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Parametr $c$ oznacza miejsce przecięcia wykresu z osią $OY$ (ponieważ oczywiście $f(0)=a\cdot 0 + b\cdot 0 + c=c$).
\end{uwaga}

\subsection{Rysowanie wykresu funkcjia kwadratowej.}
Jeśli chcemy narysować wykres funkcji kwadratowej, to:
\begin{enumerate}
\item wyliczamy wierzchołek $W(p,q)$ i zaznaczamy go na wykresie,
\item zaznaczamy punkt $(0,c)$ - miejsce przecięcia z osią $OY$,
\item korzystając z faktu, że parabola ma oś symetrii (jest to prosta o równaniu
$x=p$) i zaznaczamy punkt symetryczny do $(0,c)$ który ma współrzędne $(2p,c)$,
\item jeśli istnieją miejsca zerowa i są łatwe do obliczenia, zaznczamy je na osi $OX$,
\item przez otrzymane punkty prowadzimy krzywą o kształcie możliwie najbardziej
zbliżonym do paraboli (pamiętając o symetryczności, o niezłamywaniu ramion i
o gładkim wierzchołku).
\end{enumerate}

\begin{uwaga}
Może się zdarzyć, że z kroków $1 - 4$ dostajemy zaledwie jeden punkt (np. dla
funkcji $f(x)=x^{2}+4$). Wtedy należy wyliczyć wartość np. dla $x=1$ (wybieramy
takie parametry $x$ dla których obliczenia są możliwie najprostsze) i otrzymany
punkt, wraz z punktem do niego symetrycznym, zazanczamy na rysunku.
\end{uwaga}

\subsection{Wzory Viete'a.}

Poznamy dwa wzory które ułatwiają bardzo wiele obliczeń. Zapamiętanie ich
i częste stosowanie, pozwala rozwiązać wiele zadań, które bez tych wzorów
mogłby być dość skomplikowane.

\begin{fakt}[wzory Viete'a]
Jeśli $a\neq 0$ i $\Delta \geq 0$, to:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2} = \frac{-b}{a} \\
x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}
\end{array}\right.$$
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Wzory Viete'a pozwalają powiedzieć coś o $x_{1}$ i $x_{2}$ bez potrzeby wyliczania
tych liczb.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}[zastosowanie wzorów Viete'a]
Niech $f(x)=x^{2}-8x+6$. Wyróżnik tego trójmianu $\Delta$ wynosi $40$, co oznacza,
że funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$. Łato zauważyć, że
oba miejsca zerowe będą liczbami nie wymiernymi. Jednak wiele rzeczy o tych
pierwiastkach można powiedzieć, nie znając ich dokładnej wartości. Zapiszmy
wzory Viete'a dla tej funkcji:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2} = 8 \\
x_{1}x_{2} = 6
\end{array}\right.$$
Odrazu widać stąd, że obie liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są dodatnie (dlaczego?).
Bez wyliczania wartości tych pierwiastków można również powiedzieć (policzyć), że:
\begin{enumerate}[a)]
\item suma kwadratów $x_{1}$ i $x_{2}$ wynosi:
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 8^{2} - 2*6 = 64 - 12 = 52$,
\item suma odwrotności $x_{1}$ i $x_{2}$ wynosi:
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$,
\item odległość $x_{1}$ i $x_{2}$ wynosi:
$|x_{1} - x_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}} = \sqrt{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}} =
\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{8^{2}-4*6} = \sqrt{40}$,
\end{enumerate}
Podobnymi metodami można wyliczyć (prawie) każde inne wyrażenie symetryczne
ze względu na $x_{1}$ i $x_{2}$. (Symetryczne, to znaczy, że gdy zamienienimy
rolami $x_1$ oraz $x_2$ to nic się nie zmieni.)
\end{przyklad}

\subsection{Funkcja kwadratowa w różnej postaci.}
Istnieje wiele postaci zapisu wzoru funkcji kwadratowej. Poniżej zebrano kilka
najczęściej używanych form, wraz z podanymi zaletami każdego ze sposobów.

\begin{enumerate}
\item {\bf Postać ogólna:} $f(x)=ax^{2}+bx+c$ - ,,widać'' punkt przecięcia z osią $OY$,
łatwo otrzymać wzory Viete'a.
\item {\bf Postać kanoniczna:} $f(x)=a(x-p)^{2}+q$ - ,,widać'' wierzchołek oraz liczbę
miejsc zerowych.
\item {\bf Postać iloczynowa:} $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ (istnieje tylko wtedy, gdy
$\Delta \geq 0$, co więcej gdy $\Delta = 0$ skraca się do zapisu $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$) -
,,widać'' miejsca zerowe.
\end{enumerate}

Warto znać podane wyżej zapisy, tak aby można było w odpowiednich zadania odrazu
zastosować odpowiedni zapis i odczytać możliwie jak najwięcej informacji bez wykonywania
dodatkowych obliczeń.

\subsection{Własności funkcji kwadratowej.}
Poniżej zebrano podstawowe własności funkcji kwadratowej.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Zbiór wartości funkcji kwadratowej.} Jeśli $a > 0$, to zbiorem
wartości jest przedział $\langle q,\infty)$, jeśli natomiast $a<0$, to zbiorem wartości
jest przedział $(-\infty,q\rangle$. Czy wiesz dlaczego?

\item \textbf{Monotoniczność.} Żadna funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna,
a jedynie przedziałami monotoniczna. Jeśli $a>0$, to funkcja maleje w przedziale
$(-\infty,p)$ a rośnie w przedziale $(p,\infty)$. Natomiast, jeśli $a<0$, to funkcja
rośnie w przedziale $(-\infty,p)$ natomiast rośnie w przedziale $(p,\infty)$.

\item \textbf{Różnowartościowość.} Żadna funkcja kwadratowa \textbf{nie} jest
różnowartościowa, a co za tym idzie nie posiada funkcji odwrotnej.
\end{enumerate}

\subsection{Funkcja kwadratowa określona na przedziale domkniętym.}
Bardzo często rozwiązanie problemu sprowadza się do rozważenia funkcji:
$f(x)=ax^{2}+bx+c$ przy założeniu, że $x\in \langle r_{1},r_{2}\rangle$, gdzie $r_{1}$ oraz
$r_{2}$ to dowolne liczby rzeczywiste takie, że $r_{1} < r_{2}$. Co prawda
funkcja ta jest dana wzorem funkcji kwadratowej, ale jej dziedziną nie jest
cały zbiór liczb rzeczywistych a jedynie przedział $\langle r_{1},r_{2}\rangle$. Mówimy, że
 obcinamy funkcję kwadratową do przedziału $\langle r_{1},r_{2}\rangle$. Wykresem tej funkcji
nie jest cała parabola, a jedynie jej fragment zawarty między prostymi $x=r_{1}$
oraz $x=r_{2}$ (łączeni z punktami końcowymi).

\begin{problem}
Rozważ funkcję $f(x)=x^{2}$ obciętą do różnych przedziałów,
np: $x\in \langle -1,2\rangle$, $x\in \langle 1,2\rangle$, $x\in \langle 0,3\rangle$, $x\in \langle -2,-1\rangle$. Spróbuj omówić
,,typy'' otrzymanych wykresów. Zauważmy, że otrzymane funkcje mogą mieć różne własności -
inne niż funkcja przed obcięciem. W pewnych sytuacjach możemy otrzymać funkcję
monotoniczną, różnowartościową, ze zmniejszoną liczbą miejsc zerowych itd. Najważniejszą
nową własnością jest fakt, że każda taka funkcja posiada wartość najmniejszą oraz
wartość najmniejszą (mówimy, że funkcja osiąga swoje kresy).
\end{problem}

\begin{przyklad}[wartość największa i najmniejsza]
Rozważmy poniższe funkcje. Wszystkie dane będą jednym wzorem $f(x)=x^{2}-4$.
\begin{enumerate}
\item Niech w tym przypadku, dziedziną funkcji będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.
Wtedy, nasza funkcja posiada wartość najmniejszą, która wynosi $-4$ i jest
osiągana dla $x=0$, ale nie posiada wartości największej.
\item Obetnijmy dziedzinę do przedziału $x\in \langle -1,1\rangle$. Otrzymujemy nową (inną!) funkcję.
Podobnie jak poprzednio posiada ona wartość największą $-4$ którą osiąga dla $x=0$.
W odróżnieniu jednak od poprzedniej, ta funkcja posiada również wartość największą $-3$,
którą osiąga w dwóch miejsach, dla $x=\pm 1$.
\item Niech teraz, dziedziną naszej nowej funkcji będzie inny przedział: $x\in \langle 1,2\rangle$.
Taka funkcja posiada wartość najmniejszą, która wynosi $-3$ i jest osiągana dla
$x=1$ oraz wartość największą, która wynosi $0$ i jest osiągana dla $x=2$.
\end{enumerate}
Aby lepiej zrozumieć powyższy przykład, wykonaj odpowiednie rysunki.
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}
\begin{zadanie}
Dla podanych funkcji znajdź postać ogólną, kanoniczną, iloczynową, wierzchołek
paraboli i miejsca zerowe:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=2x^{2}+6x+8$,
\item $f(x)=2(x-3)^{2}$,
\item $f(x)=(x+3)^{2}-6$,
\item $f(x)=2x^{2}+6x$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Naszkicuj wykresy funkcji z zadania 1, podaj przedziały monotoniczności i zbiór
wartości.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$ funkcji $f(x)=x^{2}+bx+c$ tak, aby:
\begin{enumerate}[a)]
\item do wykresu tej funkcji należały punkty $(1,1)$ oraz $(0,-5)$,
\item do wykresu tej funkcji należały punkty $(3,9)$ oraz $(-1,-9)$,
\item funkcja ta miała dwa miejsca zerowe $2$ i $-3$,
\item funkcja ta miała dokładnie jedno miejsce zerowe $3$,
\item funkcja ta osiągnęła minimum równe $5$ dla $x=-2$,
\item jej wykres przecinał oś $OY$ w punkcie $(0,3)$ i był styczny
do osi $OX$.
\end{enumerate}
Rozwiązania zobrazuj na odpowiednim rysunku.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ podana funkcja posiada dokładnie jedno miejsce
zerowe:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=mx^{2}+3x+4$,
\item $f(x)=x^{2}-mx+2$,
\item $f(x)=(m+1)x^{2}-2(m+1)x+3m$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w podanym przedziale:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=-2x^{2}+2x-1$, $x\in \langle 0,2\rangle$,
\item $f(x)=x^{2}+4x-2$, $x\in \langle -1,2\rangle$,
\item $f(x)=x-x^{2}$. $x\in \langle 0,2\rangle$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}


\begin{zadanie}
Wyróżniki podanych trójmianów są dodatnie (sprawdź to!). Oblicz sumę i iloczyn
miejsc zerowych każdego z trójmianów (bez wyliczania wartości tych miejsc
zerowych):
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x^{2}-8x+12$,
\item $f(x)=2x^{2}-3x-1$,
\item $f(x)=-3x^{2}+5x+2$,
\item $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+4x-3$.
\end{enumerate}
Jakiego znaku są miejsca zerowe każdego z tych trójmianów?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x)=x^{2}+(m-1)x+3$:
\begin{enumerate}[a)]
\item przyjmuje tylko wartości dodatnie,
\item przyjmuje tylko wartości ujemne,
\item jest funkcją parzystą.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Poniższe wyrażenia przedstaw za pomocą $x_{1}+x_{2}$ oraz $x_{1}x_{2}$:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$,
\item $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$,
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f(x)=x^{2}+bx+c$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x=-4$. Wyznacz wartość
współczynników $b$ i $c$, jeżeli:
\begin{enumerate}[a)]
\item najmniejsza wartość funkcji jest równa $3$,
\item funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Piłkę rzucono pionowo do góry. Odległość $h$ (w metrach) piłki od ziemi w zależności
od czasu $t$ (w sekundach) opisuje funkcja: $$h(t) = -5t^{2}+10t+2.$$
\begin{enumerate}[a)]
\item Z jakiej wysokości wyrzucono piłkę?
\item Po jakim czasie piłka osiągnęła maksymalną odległość od ziemi i ile
ona wynosiła?
\item Czy po $3$ sekundach piłka była już na ziemi?
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dana jest funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{lcr} 2x-1 &\textrm{dla }&x\leq 1\\ x^{2}-4x+4 &\textrm{dla }& x > 1\end{array}\right.$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Naszkicuj wykres funkcji $f$ i wyznacz jej miejsca zerowe.
\item Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji $f$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}


\section{Równania i nierówności kwadratowe}

\subsection{Równanie kwadratowe.}

\begin{definicja}[równanie kwadratowe]
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci:
$$ax^{2}+bx+c=0\qquad\textrm{gdzie }a\neq 0, b, c \in \mathbb{R}.$$
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Rozważmy równanie: $(m-1)x^{2}-2mx+m=0$ ($m\in \mathbb{R}$ jest parametrem).
W zależności od wartości parametru, zachodzi jeden z przypadków:
\begin{itemize}
\item jest to równanie liniowe dla $m=1$,
\item jest to równanie kwadratowe dla $m\neq 1$.
\end{itemize}
\end{przyklad}

\subsubsection{Liczba rozwiązań równania kwadratowego.}

\begin{fakt}[liczba rozwiązań równania kwadratowego]
Jeśli $\Delta > 0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: $x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ lub
$x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. Jeśli $\Delta = 0$, to równanie kwadratowe ma
jedno rozwiązanie, $x=\frac{-b}{2a}$. Jeśli $\Delta < 0$, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań -
jest sprzeczne.
\end{fakt}

\begin{przyklad}
Zastanówmy się ile rozwiązań, w zależności od parametru $m$, ma równanie $mx^{2}+4x-1=0$.
Zauważmy, że jeśli $m=0$, to powyższe równanie, nie jest równaniem kwadratowym i
redukuje się do równania postaci: $4x-1=0$, które jako równanie liniowe, oczywiście
ma jedno rozwiązanie ($x=\frac{1}{4}$). Jeśli natomiast $m\neq 0$, to mamy doczynienia
z równaniem kwadratowym. Możemy wobec tego policzyć deltę: $\Delta = 16 + 4m$
(należy pamiętać, że obliczona $\Delta$ istnieje tylko w przypadku gdy $m\neq 0$).
Łatow zatem policzyć, że jeśli $m > -4$ (przy założeniu $m\neq 0$ !) to $\Delta > 0$,
czyli równanie ma wówczas dwa różne pierwiastki. Jeśli $m=-4$, tp $\Delta = 0$,
co daje równanie tylko z jednym pierwiastkiem. Jeśli natomiast $m < -4$, to
$\Delta < 0$, wobec czego równanie jest sprzeczne. Zbierzmy uzyskane wyniki:
\begin{itemize}
\item Jeśli $m\in (-4,0) \cup (0,\infty)$, to równanie ma $2$ rozwiązania.
\item Jeśli $m=-4 \lor m=0$, to równanie ma $1$ rozwiązanie.
\item Jeśli $m\in (-\infty,-4)$, to równanie nie ma rozwiązań.
\end{itemize}
\end{przyklad}

\subsection{Nierówność kwadratowa.}

\begin{definicja}
Nierównością kwadratową nazywać będziemy nierówności postaci:
$ax^{2}+bx+c < 0$, $ax^{2}+bx+c > 0$, $ax^{2}+bx+c \neq 0$, $ax^{2}+bx+c \geq 0$.
gdzie $a\neq 0$, oraz $a,b,c\in\mathbb{R}$.
\end{definicja}

\subsubsection{Graficzne przedstawienie nierówności kwadratowej.}

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych, często najwygodniejszym sposobem jest
skorzystanie z metody graficznej, która daje szybki i dokładny wynik. Aby rozwiązać
nierówność kwadratową, postępujemy w następujący sposób. Szkicujemy przybliżony wykres funkcji
kwadratowej danej wzorem z nierówności, przy czym najbardziej interesują nas w nim
miejsca zerowe funkcji (nie musimy wyliczać współrzędnych wierzchołka, miejsca
przecięcia z osią $OY$ itd. - najczęściej w ogóle nie rysujemy osi $OY$!). Następnie
patrzymy dla jakich wartości $x$ naszkicowany wykres jest "nad" osią $OX$, a dla jakich
"pod" osią $OX$. Odpowiednio dla danej nierówności, wybieramy przedział który jest
rozwiązaniem nierówności. Powyższe rozumowanie pokażemy na kilku przykładach.

\begin{przyklad}
Rozwiążemy nierówność $x^{2}-6x +8>0$. Wykresem funkcji danej wzorem $f(x)=x^{2}-6x+8$
jest parabola o ramionach skierowanych w górę, posiądająca dwa miejsca zerowe $x_{1}=2$
oraz $x_{2}=4$. Stąd otrzymujemy szybko odpowiedź: $x\in (-\infty,2) \cup (4,\infty)$.
(Narysuj samodzielnie odpowiedni rysunek i sprawdź czy rozumiesz, skąd wzięła się
odpowiedź!)
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Pokażemy teraz, dla jakich wartości parametru $m$, rozwiązaniem nierówności: $2x^{2}+4x+m \geq 0$,
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wykresem lewej strony nierówności jest
parabola o ramionach skierowanych w górę (dlaczego?). Aby każda liczba rzeczywista
spełniała tą nierówność, parabola ta powinna "nie schodzić" poniżej osi $OX$, tzn.
w całości musi znajdować się nad osią $OX$ lub ewentualnie może się z nią stykać.
Stąd dostajemy warunek $\Delta \leq 0$ (dlaczego?). Ponieważ $\Delta = 16 - 8m$,
zatem $m\geq 2$. Zatem rozwiązaniem naszej nierówności $2x^{2}+4x+m\geq 0$ będzie
cały zbiór liczb rzeczywistych, wtedy i tylko wtedy, gdy $m\in \langle 2,\infty)$.
(Narysuj odpowiedni rysunek i zastanów się, czy rozumiesz jak otrzymaliśmy taką
odpowiedź!)
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Rozważmy nierówność $(5-k)x^{2} - 2(1-k)x + 2(1-k) < 0$, gdzie $k\in \mathbb{R}$ jest
parametrem. Zastanówmy się dla jakich wartości tego parametru, rozwiązaniem nierówności
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Pierwsze spostrzeżenie jest takie, że jedynie dla $k\neq 5$, dana nierówność jest
rzeczywiście nierównością kwadratową. Dla $k=5$ nierówność sporwadza się do
nierówności liniowej $8x-8<0$, której rozwiązaniem nie jest cały zbiór liczb
rzeczywistych, tylko przedział $x\in (-\infty,1)$. Stąd napewno $k=5$ nie jest
szukanym $k$. W dalszych rozważaniach zakładamy więc, że $k\neq 5$.

Skoro $k\neq 5$, to rozważana nierówność jest nierównością kwadratową i wykresem
jej lewej strony jest parabola. Rozwiązaniem będzie cały zbiór liczb rzeczywistych
wtedy i tylko wtedy, gdy cała parabola będzie leżeć pod osią $OX$, czyli $a<0$ (ramiona
muszą być skierowane w dół) oraz $\Delta < 0$ (nie może być miejsc zerowych).
Otrzymujemy zatem następujące warunki:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
k\neq 5 \\
a = 5-k<0 \\
\Delta = 4(1-k)^{2} - 8(5-k)(1-k) < 0
\end{array}
\right.
$$

Drugi warunek daje $k>5$, a trzeci: $k\in (-\infty,1)\cup (9,\infty)$. Częścią
wspólną wszystkich warunków jest szukana odpowiedź, czyli: $k\in (9,\infty)$.
\end{przyklad}

\subsection{Zadania}

\begin{zadanie}
Rozwiąż równanie:
\begin{enumerate}[a)]
\item $(3x-8)^{2}-(4x-6)^{2}+(5x-2)(5x+2)=96$,
\item $(2x-7)^{2}+(3x-5)^{2}+(4x-9)(4x+9)=2(64-29x)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Uzasadnij, że równanie kwadratowe:
$$\sqrt{2}x^{2}+(\sqrt{3}+3)x+\sqrt{6}=0$$
ma dwa pierwiastki. Nie obliczając wartości pierwiastków równania, oblicz sumę
ich odwrotności.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Zbadaj liczbę pierwistków równania $x^{2}-6x+5=m$ w zależności od paramteru $m$.
Zadanie rozwiąż na dwa sposoby: analitycznie oraz graficznie. Który ze sposobów
jest efektywniejszy?
\end{zadanie}


\begin{zadanie}
W zależności od paramteru $m$ podaj liczbę pierwiastków równania:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{2}-m^{2}=2mx+1$,
\item $mx^{2}+mx+m=0$,
\item $(m-5)x^{2}+(5-m)x-3m=0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $(m-1)x^{2}-2mx+m-2=0$ ma $2$ różne,
ujemne pierwiastki rzeczywiste?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Rozwiąż nierówności:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{2}-8x+12<0$,
\item $x^{2}<-4(x+1)$,
\item $2x(x-10) \geq 4(x-8)$,
\item $x(x+19) \leq 3(18+5x)$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości paramteru $m$ zbiorem rozwiązań nierówności jest cały zbiór
$\mathbb{R}$?
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{2}-mx+m+3>0$,
\item $(m^{2}+5m-6)x^{2}-2(m-1)x+3\geq 0$,
\item $-x^{2}+4mx+13 > 0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie ma dokładnie jeden pierwiastek. Znajdź
ten pierwiastek.
\begin{enumerate}[a)]
\item $mx^{2}+2(m-1)x+m-3=0$,
\item $x^{2}+mx+m+3=0$,
\item $(m+1)x^{2}-2x+m-1=0$.
\end{enumerate}
\end{zadanie}



\subsection{Typowe zadania}

W tym podrozdziale zebrano kilka przykładów zadań, w których pojawia się funkcja,
równanie bądź nierówność kwadratowa. Przeanalizuj poniższe przykłady i upewnij się,
czy wszystko jest zrozumiałe.

\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Wyznacz wartości parametru $m$, dla których równanie $(m+1)x^{2} - 4mx +2m+3=0$
ma dokładnie dwa różne pierwiastki tego samego znaku.

\textbf{Rozwiązanie:} Jeśli $m=-1$, to równanie redukuje się do: $4x+1=0$
i nie spełnia warunków zadania (bo równanie liniowe nie może mieć dwóch różnych
pierwiastków tego samego znaku). Jeśli natomiast $m\neq -1$, to równanie jest
kwadratowe. Wtedy ilość pierwiastków zależy od $\Delta$, a znak pierwiastków
ustalamy ze wzorów Viete'a. Otrzymujemy następujące warunki:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
m\neq -1 \\
\Delta > 0 \\
\frac{c}{a} > 0
\end{array}
\right.
$$
Drugi warunek daje nam sumę przedziałów: $m\in (-\infty,-\frac{1}{2})\cup (3,\infty)$.
Z trzeciego warunku mamy: $m\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup (-1,\infty)$. Odpowiedzią
będzie część wspólna otrzymanych wyników.

\textbf{Odpowiedź:} Równanie ma dwa pierwiastki tego samego znaku, gdy
$m\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup (-1,-\frac{1}{2})\cup (3,\infty)$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Wyznacz wartości parametru $m$, dla których wartość bezwzględna
różnicy pierwiastków równania: $x^{2}+mx+12=0$ jest równa $1$.

\textbf{Rozwiązanie:} Jest to równanie kwadratowe, więc aby móc mówić o różnicy
pierwiastków, musimy mieć pewność że istnieją dwa różne pierwiastki. Mamy więc:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta > 0 \\
|x_{1} - x_{2}| = 1
\end{array}
\right.
$$
Z pierwszego warunku mamy:
$$\Delta = m^{2} - 48$$
$$m^{2} - 48 > 0$$
$$m\in (-\infty,-4\sqrt{3})\cup (4\sqrt{3},\infty)$$
Drugi warunek przekształcamy tak aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a.
Warunek $|x_{1}-x_{2}|=1$ jest spełniony, wtedy i tylko wtedy, gdy $(x_{1}-x_{2})^{2} = 1$
(czy wiesz dlaczego?). Przeksztłacimy wyrażenie $(x_{1}-x_{2})^{2}$:
$$(x_{1}-x_{2})^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}-4\frac{c}{a} =
\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}=\frac{\Delta}{a^{2}}$$
A stąd mamy, że:
$$\frac{m^{2}-48}{1} = 1$$
$$m^{2}=49$$
$$m=7 \lor m=-7$$
Odpowiedzią jest część wspólna wyników z oby warunków. W tym przypadku tą część
wspólną stanowi dokładnie to co wyszło z warunku drugiego.

\textbf{Odpowiedź:} Zadanie jest spełnione dla $m\in \{-7,7\}$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Wyznacz wartości parametru $m$, dla których liczba $5$ leży
pomiędzy pierwiastkami równania: $x^{2}+4mx+3m^{2}=0$.

\textbf{Rozwiązanie:} Wykresem funkcji $f(x)=x^{2}+4mx+3m^{2}$ jest parabola
o ramionach skierowanych w górę. Jeśli $\Delta > 0$, to ma ona dwa miejsca zerowe.
Co więcej $5$ leży pomiędzy tymi pierwiastkami, wtedy i tylko wtedy, gdy $f(5)<0$
(czy wiesz dlaczego? - sporządź szkic wykresu funkcji i spróbuj to wyjaśnić!). Zatem:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta > 0 \\
25+20m+3m^{2} < 0
\end{array}
\right.
$$
Obliczenia przeprowadzamy podobnie do poprzednich przykładów. (Ze względu na
to podobieństwo pomijamy je tutaj - doprowadź obliczenia do końca i sprawdź odpowiedź!)

\textbf{Odpowiedź:} Zadanie jest spełnione dla $m\in (-5,-\frac{5}{3})$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Wyznacz wartości parametru $m$, dla których
równanie: $x^{2}+4mx+3m^{2}=0$ ma dwa pierwiastki, które są sinusem i cosinusem
tego samego kąta ostrego.

\textbf{Rozwiązanie:} Oczywiście muszą istnieć dwa różne pierwiastki, czyli $\Delta > 0$.
Aby były one sinusem i cosinusem tego samego kąta, musi zachodzić równość
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1$ (czy wiesz dlaczego musi zajść ten warunek? przypomnij
sobie ,,słynną'' jedynkę trygonometryczną!). Chcemy również, aby kąt był ostry - czyli
$x_{1},x_{2} > 0$ (dla kątów ostrych zarówno sinus jak i cosinus, przyjmują wartości
nieujemne). Mamy zatem warunki:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta > 0 \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \\
x_{1} > 0 \land x_{2} > 0
\end{array}
\right.
$$
Dwa ostatnie warunki sprowadzamy do wzorów Viete'a:
$$%
x_{1}^{2}+x_{2}^2=1%
\Leftrightarrow%
\frac{b^{2}}{a^{2}}-2\frac{c}{a} = 1%
$$%

$$x_{1}>0 \land x_{2}>0 \Leftrightarrow%
\left\{%
\begin{array}{l}%
-\frac{b}{a} > 0 \\%
\frac{c}{a} > 0%
\end{array}%
\right.$$%

Pozostaje tylko dokończyć obliczenia, które są bardzo podobne do tych,
które wykonywaliśmy w poprzednich przykładach.

\textbf{Odpowiedź:} Zadanie jest spełnione dla $m = \sqrt{15}$.
\end{przyklad}


\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Funkcja $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{N}$ przyporządkowuje
każdej liczbie $m\in\mathbb{R}$ liczbę rozwiązań równania $mx^{2}+mx+2=0$. Naszkicuj
wykres funkcji $f$.

\textbf{Rozwiązanie:} Zauważmy, że dla $m=0$ równanie to nie jest kwadratowe i
upraszcza się do: $2 = 0$. Takie równanie jest oczywiście sprzeczne. Wniosek: dla
$m=0$ mamy zero rozwiązań (czyli $f(0) = 0$).

Jeśli $m\neq 0$, to rozpatrywane równanie
jest kwadratowe i liczba rozwiązań zależy od $\Delta$: $\Delta = m^{2}-8m$.

Jeśli więc $m^{2}-8m>0$ (i $m\neq 0$) to mamy $2$ rozwiązania. Tak dzieje się
dla $m\in (-\infty,0) \cup (8,\infty)$. Dla $m=8$ mamy $1$ rozwiązanie. Dla
$m\in (0,8)$ równanie nie ma rozwiązań.

Zatem możemy już podać wzór na funkcję $f$:

$$
f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \textrm{dla } m\in \langle  0,8) \\
1 & \textrm{dla } m=8 \\
2 & \textrm{dla } m\in (-\infty,0) \cup (8,\infty)
\end{array}
\right.
$$

Teraz wystarczy tylko narysować wykres funkcji $f$ korzystając z podanego
wyżej wzoru. Dokończenie tego zadania pozostawiamy jako ćwiczenie czytelnikowi.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
\textbf{Zadanie:} Dla jakich wartości parametru $m$, suma kwadratów
rozwiązań równania równania: $x^{2}-mx+m-1=0$ jest najmniejsza?

\textbf{Rozwiązanie:} Sprawdźmy najpierw kiedy w ogóle istnieją dwa pierwiastki,
czyli kiedy $\Delta > 0$.

$$\Delta = m^{2} - 4(m-1)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}$$
Zatem dwa (różne) pierwiastki istnieją gdy $m\neq 2$.

Suma kwadratów pierwiatsków saje się zapisać wzorami Viete'a, jako:
$$x_{1}^{2}+x_{1}^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}-2\frac{c}{a}.$$
Stąd:
$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=m^{2}-2(m-1)=m^{2}-2m+2.$$

Rozważmy zatem funkcję $f(m) = m^{2}-2m+2$, gdzie $m\in \mathbb{R} \backslash \{2\}$.
Wykresem tej funkcji jest parabola z wymazanym punktem nad $m=2$ (nie jest to na szczęście
wierzchołek tej paraboli). Po naszkicowaniu tej paraboli, łatwo przekonać się, że
najmniejszą wartość, funkcja $f$ osiąga dla $m=1$.

\textbf{Odpowiedź:} Dla $m=1$ suma kwadratów pierwiastków danego równania jest
najmniejsza. (Czy rozumiesz skąd wzięła się ta odpowiedź?)
\end{przyklad}

\subsection{Zadania dodatkowe}

Po przeanalizowaniu powyższych przykładów, samodzielne rozwiązanie kilku podobnych
zadań nie powinno spawić Ci problemu.

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których równanie \[(m-1)x^{2}+2mx+3m-2=0\]
ma dwa pierwiastki o różnych znakach.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których równanie: \[x^{2}-2x+1=2xm+m^{2}\] ma dwa
różne pierwiastki dodatnie.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których iloczyn pierwiastków równania:
\[(m-3)x^{2}-(m+2)x+1=0\] jest większy od $2$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których równanie: \[x^{2}+(6-m)x+2(6-m)=0,\]
ma dwa rozwiązania, takie, że suma ich kwadratów jest najmniejsza.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których pierwiastki równania: \[x^{2}-2mx+m^{2}-1=0\]
należą do przedziału $(-2,4)$.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Wyznacz wartości parametru $m$, dla których równanie: \[3x^{2}+mx+\frac{3}{2}=0\]
ma dwa rozwiązania, które są sinusem i cosinusem tego samego kąta.
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie $m\in\mathbb{R}$ liczbę rozwiązań
równania:
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^{2}+mx+m=0$,
\item $(m+2)x^{2}+6mx+4m-1=0$.
\end{enumerate}
Naszkicuj wykres funkcji $f$.
\end{zadanie}

\section{Zadanie domowe}

Na następne zajęcia proszę zrobić przynajmniej 20 (słownie: {\it dwadzieścia}) zadań,
tak aby zrobić przynajmniej po jednym zadaniu z każdego podrozdziału z zadaniami.
Wśród tych zadań mogą być też rozwiązania problemów lub niedokończonych przykładów.
Oczywiście można zrobić też więcej zadań. Zadania proszę przygotować na kartkach
podpisanych imieniem i nazwiskiem (jeśli będzie wiele kartek proszę podpisać wszystkie
albo spiąć je razem) -- nie trzeba przepisywać treści zadań, wystarczą numery.
Jeśli w danym zadaniu nie jesteś pewny/pewna rozwiązania zaznacz to na przykład
przez duży znak zapytania;).

\end{document}