%& --translate-file=cp1250pl

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\prefixing

%% ustawienia strony
%\pagestyle{empty}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}
\addtolength{\textwidth}{3cm}

%% komendy Krzy�kowe :)
\newcommand{\rz}{\textrm{ rz }}
\newcommand{\kr}{\textrm{ ker }}
\newcommand{\dt}{\textrm{ det }}
\newcommand{\dm}{\textrm{ dim }}

%% komendy houp'owe do nag��wk�w ...


\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{stw}[tw]{Stwierdzenie}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{lem}[tw]{Lemat}
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przyk�ad}
\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}


\author{Krzysztof Tartas\and Witold Bo�t}
\title{Algebra liniowa z geometri�}

%% here we go.
\begin{document}
\maketitle

%% wyk�ad 1
\section{Wyk�ad}

\subsection{Poj�cie grupy}

\begin{definicja}[grupa]
Zbi/or G wraz z dzia/laniem dwuargumentowym $\circ\colon G\times G\to G$ nazywamy grup/a
o ile dzia�anie $\circ$ spe/lnia nast/epuj/ace warunki:

\begin{enumerate}
\item /L/aczno/s/c: $$\forall_{g_{1},g_{2},g_{3} \in G}\quad g_{1}\circ (g_{2}\circ g_{3}) = (g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}.$$
\item Istnieje element $e \in G$ (neutralny) taki, /ze: $$\forall_{g \in G}\quad g\circ e=e\circ g=g.$$
\item Dla ka�dego elementu istnieje element "odwrotny": $$\forall _{g\in G}\exists _{g^{\prime}\in G}\quad g\circ g^{\prime}=g^{\prime}\circ g=e.$$
\end{enumerate}
\end{definicja}


\begin{przyklad}
Oto proste przyk�ady grup.
\begin{itemize}
\item[ A. ] $(\mathbb{R}^{2},+)$ - wektory w przestrzeni dwu-wymiarowej z dodwaniem (przyk�ad do�� oczywisty).

\begin{enumerate}
\item W oczywisty spos�b zachodzi ��czno��: $$\forall_{v_{1},v_{2},v_{3}} v_{1}+\left(v_{2}+v_{3}\right)=\left(v_{1}+v_{2}\right)+v_{3}.$$
\item Isteniej wektor zerowy (0,0) = 0, kt�ry jest elementem neutralnym dodwania ($v+0=v$).
\item $\forall_{v\in\mathbb{R}^2}\quad v+(-v)=0$
\end{enumerate}

\item[ B. ] $(\mathbb{R}\backslash\{0\},\cdot)$ - liczby rzeczywiste bez zera z mno�eniem.
\begin{enumerate}
\item ��czno��: $\forall_{a,b,c}\quad a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$
\item Istnieje 1 - element neutralny $\left(\forall_{x\in\mathbb{R}} 1\cdot x = x \right)$.
\item Element odwrotny: $z ^{-1} \cdot z=1$ istnieje dla ka�dej liczby rzeczywistej poza zerem, dlatego
w�a�nie rozpatrujemy tu liczby rzeczywiste bez zera.
\end{enumerate}

\end{itemize}
\end{przyklad}

\begin{uwaga}[grupa przemienna]
Grup/e w, kt/orej $\forall_{g_{1},g_{2}\in G}\quad g_{1}\circ g_{2}=g_{2}\circ g_{1}$ nazywa si/e przemienn/a,
lub abelow/a. Grupy wyst�puj�ce w powy�szym przyk�adzie oczywi�cie s� przemienne.
\end{uwaga}

\subsection{Poj�cie cia�a}

\begin{definicja}[cia�o]
Cia/lem K b/edziemy nazywali dowolny zbi/or na kt/orym zdefiniowali/smy dwa dzia/lania:
dodowanie $+\colon K\times K\to K$, oraz mno�enie $\cdot\colon K\times K\to K$, 
spe/lniaj/ace nast/epuj/ace warunki:
\begin{enumerate}
\item $(K,+)$ jest grup/a abelow/a z elementem neutralnym 0,
\item $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ jest grup/a abelow/a z elementem neutralnym 1,
\item $0\neq 1$ (co wbrew pozorom nie jest oczywiste - i jest wa�ne!),
\item $\forall_{a,b,c\in K}\quad a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$ - czyli rozdzielno�� dodwania wzgl�dem mno�enia.
\end{enumerate}
\end{definicja}

\begin{definicja}[podcia�o]
Podcia/lo to podzbi/or danego cia/la zawier/ajacy 0 i 1, posiadaj/acy w/lasno/sci
danego cia/la. Podcia�o samo jest cia/lem.
\end{definicja}

\begin{przyklad}[cia�a]
Przyk�ady cia�:
\begin{enumerate}
\item Cia/lo 2-elementowe $\mathbb{Z}_{2}$ liczba ca/lkowita modulo 2, ze zdefiniowanymi
dzia�aniami:
$$
\begin{array}{lr}

\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array}

&

\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{array} \\

\end{array}
$$

\item Cia�o $p$-elementowe: $\mathbb{Z}_{p} = \{ 0,1,\dots ,p-1\}$ - dzia�ania podobnie jak wy�ej.
\item Liczby rzeczywiste: $\mathbb{R}$ z "normalnym" dodawaniem i mno�eniem to cia�o. Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ 
to przyk�ad podcia�a liczby rzeczywistych.
\item Natomiast liczby ca�kowie $\mathbb{Z}$ to przyk�ad zbioru, kt�ry nie jest cia�em - ze wzgl�du
na to, �e nie ma tam element�w odwrotnych w mno�eniu.
\end{enumerate}

\end{przyklad}

\subsection{Liczby zespolone}

\begin{definicja}[cia�o algebraiczne domkni�te]
Cia�em algebraicznym domkni�tym nazywamy takie cia�o, w kt�rym wszystkie
wielomiany o wsp�czynnikach z tego cia�a, maj� przynajmniej jeden pierwiastek.
\end{definicja}

\begin{przyklad}[liczby zespolone]
Jednym z najwa�niejszych przyk�ad�w cia� algebraicznych domkni�tych, s� liczby
zespolone, kt�re oznaczamy przez $\mathbb{C}$. Historycznie powsta�y w�a�nie dlatego,
aby rozwi�za� problem wielomian�w, kt�re w liczbach rzeczywistych nie maj� pierwiastk�w
(a w zespolonych maj�). Poni�ej przedstawiono podstawowe w�asno�ci i fakty odno�nie
liczb zespolonych.
\end{przyklad}

\paragraph{Podstawowe w�asno�ci liczb zespolonych.} 
\begin{itemize}
\item Liczby rzeczywiste zawieraj� si� w liczbach zespolonych: $\mathbb{C} \supset \mathbb{R}$.
\item Ka�da liczba zespolona $z\in\mathbb{C}$ jest postaci: $z=x_{1} + x_{2}\cdot i$, gdzie: $x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}, i=(0,1)$,
co w skr�cie mo�emy zapisa�: $z=(x_{1},x_{2})$. Liczb� $x_{1}$ nazywamy cz�ci� rzeczywist� liczby zespolonej i oznaczamy przez $Rez$. Liczb� $i$ nazywamy
liczb� urojon�, zachodzi dla niej: $i^{2} = -1$. Liczb� $x_{2}$ nazywamy cz�ci� urojon�
liczby zespolonej i oznaczamy przez $Imz$.
\item Definiuje si� operacj� sprz�enia. Niech $z\in\mathbb{C}$ i $z=x_{1}+x_{2}i$ wtedy liczb� postaci $\overline{z} = x_{1} - x_{2}i$ nazywamy
sprz�eniem liczby $z$.
\item Definiuje si� operacj� modu�u. Modu� z liczby zespolonej $z\in\mathbb{C}$ oznaczamy
przez $|z|$. Modu� jest liczb� rzeczywist� i przyjmuje warto�� $|z| = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$.
\end{itemize}

\paragraph{W�asno�ci sprz�enia ("kreski").}
\begin{itemize}
\item $\overline{z _{1}+z _{2}}= \overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}$
\item $\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$
\item $|z|=| \overline{z} |$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $z\cdot\overline{z}=(x_{1}+x_{2}i)(x_{1}-x_{2}i)=x_{1}^{2} + x_{2} ^{2}=|z|^{2}$, a co z tym idzie $|z\cdot\overline{z}|=|z|^{2}$.
\end{itemize}

\paragraph{W�asno�ci modu�u.}
\begin{itemize}
\item $\frac{1}{z} =\frac{1}{z} \frac{\overline{z}}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}$
\item $|(|z|)|=|z|$
\item $|z_{1}||z_{2}|=|z_{1}z_{2}|$
\item $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$
\end{itemize}

\paragraph{Posta/c tyrgonometryczna liczby zespolonej}
Ka�d� liczb� zespolon� $z$ mo�emy r�wnie� przedstawi� w postaci sumy funkcji
trygonomterycznych $\sin$ oraz $\cos$ liczonych dla warto�ci $\varphi$ zwanej
argumentem liczby zespolonej $z$ ($\varphi = arg z$). Przedstawienie takie ma posta�:

$$z=|z|(cos\varphi + isin\varphi )$$
$$ \cos\varphi =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}\qquad \sin\varphi =\frac{x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}$$

\begin{przyklad}
Stosuj�c zapis trygonometryczny mamy:
\begin{itemize}
\item[a)] $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$, $arg i = \frac{\pi}{2}$,
\item[b)] $z=(1,\sqrt{3})$, wtedy $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})=1+i\sqrt{3}$, $arg z=\frac{\pi}{3}$.
\end{itemize}
\end{przyklad}

\begin{stw}[o iloczynie i ilorazie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej] 
Niech $z_{1}, z_{2}\in\mathbb{C}$. Wtedy iloczyn tych liczb ma posta�:
$$z_{1}\cdot z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(cos(\varphi_{1} + \varphi_{2})+isin(\varphi_{1} + \varphi_{2})).$$
Natomiast ich iloraz wyra�a wz�r (przy za�o�eniu, �e $z_{2}\neq 0$):
$$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|(cos(\varphi _{1} - \varphi _{2})+sin(\varphi _{1} -\varphi _{2}))$$
\end{stw}


%% wyk�ad 2
\section{Wyk/lad}

\subsection{Liczby zespolone - ci�g dalszy}

\begin{stw}[wz�r na argument iloczynu liczb zespolonych]
Niech $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \dots , \varphi_{k}$ b/ed/a argumentami 
liczb zespolonych $z_{1}, z_{2}, \dots , z_{k}$.
W/owczas argument liczby zespolonej $z = z_{1}z_{2}\dots z_{k}$ ma posta�
$arg z = \varphi_{1}+\varphi_{2}+\dots +\varphi_{k}$.
\end{stw}

\paragraph{Wniosek: wz�r de' Moivre'a.}
Niech $z = r (\cos\varphi + i\sin\varphi)$, gdzie $r\geq 0$, $\varphi\in\mathbb{R}$ oraz $n\in\mathbb{N}$. Wtedy:
$$z^{n} = r^{n}(\cos n\varphi + i\sin n\varphi).$$

\begin{tw}[wz/or Eulera]
Zachodzi wz�r: $e^{i\varphi} = cos\varphi + i sin\varphi$. 
Daje nam to \textbf{wyk�adnicze przedstawienie liczby zespolonej}, kt�re ma posta�:
$z = |z|e^{i\varphi}$, gdzie $\varphi = argz$.
\end{tw}

\begin{uwaga}
Twierdzenie wz�r Eulera dla liczb zespolonych pomaga przy dowodzeniu
twierdze� odno�nie trygonometrycznego przedstawienia liczby zespolonej.
\end{uwaga}

\subsection{Przestrzenie wektorowe}

\begin{definicja}[przestrze� liniowa]
Niech b/edzie dane cia/lo K i zbi/or wektor/ow V spe/lniaj/ace nast/epuj/ace warunki:
\begin{enumerate}
\item Istnieje dzia/lanie dodwania $+\colon V\times V\to V$ spe/lniaj/ace aksjomaty:
\begin{itemize}
\item dodwanie jest ��czne: $$\forall _{v_{1},v_{2},v_{3}\in V}\qquad (v_{1} + v_{2})+v_{3}=v_{1}+ (v_{2}+v_{3}),$$ 
\item istnieje element neutralny dodwania zwany zerem: $$\exists _{0\in V} \forall _{v\in V}\qquad 0+v=v+0=v,$$
\item istnieje element przeciwny: $$\forall _{v\in V} \exists _{v_{1}\in V} \qquad v+v_{1}=v_{1}+v=0.$$
\end{itemize}
\item Istnieje dzia/lanie mno/zenia $\cdot\colon K\times V \to V$ spe/lniaj/ace aksjomaty:
\begin{itemize}
\item rozdzielno�� dodawania wzgl�dem mno�enia przez sklara: 
$$\forall _{\alpha \in k} \forall _{v_{1}, v_{2}\in V}\qquad \alpha (v_{1}+v_{2})=\alpha v_{1}+\alpha v_{2},$$
\item rozdzielo�� dodawania skalar�w wzgl�dem mno�enia przez wektor:
$$\forall _{\alpha _{1}, \alpha _{2} \in k}\forall _{v\in V}\qquad (\alpha _{1} +\alpha _{2})v=\alpha _{1} v+\alpha _{2} v,$$
\item zachodzi: $$\forall _{\alpha ,\beta \in k}\forall _{v\in V}\qquad \alpha (\beta v)=(\alpha \beta )v,$$
\item istnieje $1$ - element neutralny mno�enia: 
$$\forall _{v\in V}\qquad 1\cdot v=v.$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
W/owczas zbi/or V b/edziemy nazywali przestrzeni/a liniow/a (wektorow/a) nad cia/lem K.
\end{definicja}


Wyra/zenie $\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n}$ b�dziemy nazywa/c kombinacj/a liniow/a 
wektor/ow (element/ow) $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$.


\begin{definicja}[uk/ladu wektor/ow niezale/znych liniowo]
Niech V b/edzie przestrzeni/a liniow/a nad cia/lem K.
Niech $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n} \in V$.
Wektory $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ nazywamy liniowo niezale/znymi wtedy i tylko wtedy, gdy 
dla dowolnego uk/ladu skalar/ow $(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n} \in k)$ 
r/ownanie $\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n}=0$ ma tylko zerowe rozwi/azanie (tzn.
�e jedynym rozwi�zaniem jest $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=0$). Innymi s�owy
uk�ad wektor�w jest liniowo niezale�ny wtedy i tylko wtedy, gdy jego dowolona
kombinacja liniowa r�wna jest zeru tylko w przypadku, gdy wszystkie skalary r�wne
s� zeru.
\end{definicja}

\begin{definicja}[uk�ad wektor�w liniowo zale�nych]
Wektory kt/ore nie s/a liniowo niezale/zne nazywamy liniowo zale/znymi.
\end{definicja}

%% wyk�ad 3
\section{Wyk/lad}

\subsection{Przestrzenie wektorowe - ci�g dalszy}

\begin{przyklad}[uk�ady wektor�w liniowo niezale�nych]
Poni�sze uk�ady wektor�w s� liniowo niezale�ne.
\begin{enumerate}
\item $(0,1),(1,0)$
\item $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
\item Uk/lad standardowy wektor/ow niezale/znych w $\mathbb{R}^{n}$\\*
$\qquad e_{1}=(1,0,0,\dots ,0,0)$\\
$\qquad e_{2}=(0,1,0,\dots,0,0)$\\
$\qquad \vdots $\\
$\qquad e_{i}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ - $1$ na $i$-tej pozycji,\\
$\qquad \vdots $\\
$\qquad e_{n}=(0,0,0,\dots ,0,1)$
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\begin{przyklad}[uk�ady wektor�w liniowo zale�nych]
Poni�sze uk�ady wektor�w s� liniowo zale�ne.
\begin{enumerate}
\item $(0,1), (1,0), (1,1)$
\item $(0,1,0), (0,2,0), (1,0,0)$
\item $(0,0), (2,0), (0,3)$
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\begin{uwaga}[uk�ad wektor�w zawieraj�cy wektor zerowy]
Dowolny uk/lad sko/nczony wektor/ow zawieraj/acy wektor zerowy jest liniowo zale/zny. Poniewa/z przy $x_{i}=0$ dowolna kombinacja liniowa z $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{i-1}=0$ z dowolnym $\alpha _{i}$ jest zerowa.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[zbi�r generator�w przestrzeni liniowej]
Niech V b/edzie przestrzeni/a liniow/a nad cia/lem K.
M/owimy, /ze uk/lad punkt/ow w przestrzeni V, $\{ y_{i}\} _{i\in I} \subset V$ jest jej zbiorem generator/ow
o ile dowolny $z\in V$ jest sko/nczon/a kombinacj/a wektor/ow ze zbioru $\{ y_{i}\} _{i\in I}$. Co dok/ladnie znaczy, /ze istnieje sko/nczona liczba $y_{i1},y_{i2},\dots ,y_{ik}$ element/ow zbioru $\{ y_{i}\}_{i\in I}$ taka,
/ze $z=\alpha _{1}y_{i1}+\dots +\alpha _{k}y_{ik}$.
Je/zeli zbi/or I jest sko/nczony to m/owimy, /ze przestrze/n V jest sko/nczenie generowana.
\end{definicja}

\begin{przyklad}[zbiory generator�w]
Przestze� $\mathbb{R}^{2}$ mo�e by� generowana przez dwa wektory - na przyk�ad 
takie: $v_{1}=(1,0)$ oraz $v_{2}=(0,1)$. R�wnie dobrze, zbi�r generator�w mo�e by�
wi�kszy - i zawiera� na przyk�ad 3 elementy: $v_{1} = (1,0)$, $v_{2} = (0,1)$, $v_{3} = (1,1)$.
\end{przyklad}

\begin{uwaga}
Je/zeli $\{y_{i}\}_{i\in I}$ jest zbiorem generator/ow przestrzeni V, to dowolny zbi/or punkt/ow
zawieraj/acy zbi/or punkt/ow $\{y_{i}\}_{i\in I}$ jako sw/oj podzbi/or jest r/ownie/z zbiorem generator/ow przestrzeni V.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[podprzestrze� liniowa]
Niech V b/edzie przestrzeni/a liniow/a nad cia/lem K.
Podzbi/or $V_{1} \subset V$ b/edziemy nazywali podprzestrzeni/a liniow/a o ile:
\begin{enumerate}
\item $0 \in V_{1},$
\item $\forall _{x_{1},x_{2}\in V_{1}}\qquad x_{1}+x_{2}\in V_{1},$
\item $\forall _{\alpha \in K} \forall _{x\in V_{1}}\qquad \alpha x\in V_{1}.$
\end{enumerate}
\end{definicja}

\begin{stw}
$V_{1} \subset V$ jest podprzestrzeni/a liniow/a przestrzeni liniowej V nad cia/lem K
wtedy i tylko wtedy, gdy: $$\forall_{\alpha, \beta\in K}\forall_{x,y\in V_{1}}\quad\alpha x+\beta y \in V_{1}.$$
\end{stw}

\begin{stw}
Niech V oznacza przestrze/n liniow/a nad cia/lem K,
a $X\subset V$ dowolny zbi/or punkt/ow.
Zbi/or wszystkich kombinacji liniowych postaci: $\alpha _{1} x_{1}+\alpha _{2} x_{2}+\dots +\alpha _{n} x_{n}$ dla $\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{n} \in k$, $x_{1}, x_{2}, \dots ,x_{n} \in X$ i n d/ed/acego liczb/a naturaln/a jest podprzestrzeni/a liniow/a przestrzeni V.
\end{stw}

\begin{definicja}[baza przestrzeni liniowej]
Liniowo niezale/zny zbi/or generator/ow nazywamy baz/a przestrzeni liniowej V nad cia/lem K.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Niesko/nczony zbi/or element/ow V nazywamy liniowo niezale/znym o ile ka/zdy 
sko/nczony jego podzbi/or jest liniowo niezale/zny.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}[niesko�czony zbi�r element�w liniowo niezale�nych]
Korzystaj�c z przyk�adu 3.1.3 mo�na �atwo stowrzy� niesko�czenie wymiarow�
przestrze� liniow� nad cia�em $\mathbb{R}$ i pokaza� niesko�czony zbi�r wektor�w
liniowo niezale�nych. Wyst�puj�cymi w praktyce przestrzeniami niesko�czenie generowanymi
s� na przyk�ad przeste� wszystkich funkcji, lub chocia�by funkcji o danych
w�asno�ciach - wielomian�w dowolnego stopnia ze wsp�czynnikami w danym ciele (niesko�czonym).
W dalszej cz�ci rozwa�a� zazwyczaj zak�adamy, �e rozpatrywana przestrze� jest
sko�czenie generowana.
\end{przyklad}

\begin{stw}
Maksymalny podzbi/or wektor/ow liniowo niezale/znych w przestrzeni liniowej V nad cia/lem K jest jej baz/a (maksymalny oznacza maksymalny ze wzgl/edu na relacj/e zawierania zbior/ow).
\end{stw}

\begin{stw}
V - przestrze/n liniowa nad cia/lem K, $X\in V$ - baza. Ka/zdy wektor $z\in V$ jest jednoznacznie zapisywalny jako kombinacja liniowa element/ow X.
$$z=\alpha _{1}x_{1}+\dots +\alpha _{1}x_{n}, \qquad gdzie\quad\forall_{1\leq i\leq n}\quad x_{i}\in X, \alpha_{i}\in K.$$
\end{stw}


%% wyk�ad 4
\section{Wyk/lad}
\subsection{Przestrzenie liniowe - ci�g dalszy}
\begin{tw}
Niech V przestrze/n wektorowa nad cia/lem K.
Niech $V\neq 0$, oraz niech $\gamma\subset V$ - zbi/or generator/ow przestrzeni
V. $S\subset\gamma$ - liniowo niezale/zny podzbi/or $\gamma$. 
W/owczas w V istnieje baza B taka, /ze: $S\subset B\subset \gamma$.
\end{tw}

\paragraph{Wniosek:} Je/zeli $V\neq 0$ to ka/zdy zbi/or liniowo niezale/znych wektor/ow mo/zna rozszerzy/c do bazy.

\begin{tw}
Je/zeli $v_{1},v_{2}, \dots ,v_{m}$ jest baz/a przestrzeni V nad cia/lem K to dowolna inna baza
ma r/ownie/z m element/ow.
\end{tw}

\begin{definicja}[wymiar przestrzeni liniowej]
Niech V b/edzie przestrzeni/a wektorow/a nad cia/lem K.
Przypu/s/cmy, /ze V posiada baz/e n-elementow/a. W/owczas b/edziemy m/owili, /ze wymiar
przestrzeni liniowej V nad cia/lem K wynosi $n=\dm_{K}V$. Je/zeli V nie ma bazy sko/nczonej
to V jest niesko/nczenie wymiarowa ($\dm_{K}V=\infty$).
\end{definicja}

\begin{przyklad} 
Rozpatrzmy nast�puj�ce sytuacje:
\begin{enumerate}
\item Przestrze� $\mathbb{R}^{2}$ nad cia�em liczb rzeczywistych mo�e mie� baz� $S=\{e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)\}$. 
Wymiar $\dm_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^{2}=2$ - czyli ka�da inna baza tej przestrzeni r�wnie� b�dzie mia�a
2 elementy.
\item Przestrze� $\mathbb{R} ^{2}$ mo�e by� r�wnie� przestrzeni/a liniow/a nad cia�em liczb wymiernych $\mathbb{Q}$.
W�wczas baz� jest zbi�r niesko�czony, czyli $\dm _{\mathbb{Q}} \mathbb{R} ^{2}=\infty$.
\item Przestrze� wielomian�w stopnia $\leq n$ o wsp/o/lczynnikach w $\mathbb{R}$, kt�r� oznaczamy $[\mathbb{R}]_{n}$, mo�e mie� baz�
$S=\{1=x^{0},x,x^{2},\dots,x^{n}\}$. Wymiar tej przestrzeni wynosi: $\dm[\mathbb{R}]_{n} = n+1$.
\end{enumerate}
\end{przyklad}

%% wyk�ad 5
\section{Wyk/lad}
\subsection{Przekszta�cenia i odwzorowania}

\begin{definicja}[homomorfizm]
Niech $V_{1}$ i $V_{2}$ b/ed/a sko/nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad cia/lem K.
Odwzorowanie $f:V_{1}\to V_{2}$ b/edziemy nazywali homomorfizmem z przestrzeni liniowej $V_{1}$
do przestrzeni liniowej $V_{2}$ o ile spe/lniony jest warunk:
$$\forall _{x_{1},y_{1}\in V_{1}} \forall _{\alpha ,\beta \in k}\quad f(\alpha x_{1}+\beta y_{1})=\alpha f(x_{1})+ \beta f(x_{2}).$$
\end{definicja}

\begin{stw}
$f:V_{1}\to V_{2}$ jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy:
\begin{enumerate}
\item $\forall _{x,y \in V_{1}}\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)$
\item $\forall _{\alpha \in k}\forall _{x \in V_{1}}\qquad f(\alpha x)=\alpha f(x)$
\end{enumerate}
\end{stw}

\begin{uwaga} Z powy�szych fakt�w mamy, �e:
\begin{itemize}
\item Homomorfizmy zachowuj/a dodawanie i mno/zenie przez skalary.
\item Je�li $f$ - homomorfizm, to: $f(0)=f(x-x)=f(x)-f(x)=0$.
\end{itemize}
\end{uwaga}

\begin{definicja}[j�dro i obraz homomorfizmu]
Niech $f:V_{1}\to V_{2}$ b/edzie homomorfizmem sko/nczenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad cia/lem K. Zbi/or $\kr  f=\{ x\in V_{1}| f(x)=0\} $ nazywamy j/adrem homomorficznym f.
Zbi/or $Im f=\{ y\in V_{2}| \exists _{x\in V_{1}}\qquad f(x)=y\}$ nazywamy obrazem homomorfizmu f.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
J�dro $\kr f$ jest przeciwobrazem zera.
\end{uwaga}

\begin{stw}
Obraz i j/adro s/a podprzestrzeniami liniowymi odpowiednio $V_{2}$ i $V_{1}$
\end{stw}

\begin{definicja}[izomorfizm i endomorfizm]
Wyr�niamy specjalne przypadki przekszta�ce� liniowych, kt�re maj� swoje nazwy
w�asne:
\begin{itemize}
\item izomorfizm - jest to taki homomorfizm kt�ry jest jest r�nowarto�ciowy i "na",
\item endomorfizm - jest to homomorfizm dzia�aj�cy z danej przestrzeni w t� sam�
przestrze�, na przyk�ad: $f\colon V\to V$.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{definicja}
$V_{1}$ i $V_{2}$ - sko/nczenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad cia/lem K\\*
$e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ - baza przestrzeni $V_{1}$\\*
$f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ - baza przestrzeni $V_{2}$\\*
$f:V_{1}\to V_{2}$ - homomorfizm przestrzeni liniowych. $f(e_{i}\in )V_{2}$\\*
$\forall _{x\in V_{1}}\qquad x=\gamma _{1}e_{1}+\gamma _{2}e_{2}+\cdots +\gamma_{n} e_{n}$\\*
$f(x)=f(\gamma _{1}e_{1}+\gamma _{2}e_{2}+\cdots +\gamma _{n}e_{n})=\gamma _{1}f(e_{1})+\gamma _{2}f(e_{2})+\cdots +\gamma _{n}f(e_{n})$\\*
$
(*)=\left\{
\begin{array}{c}
f(e_{1})=\alpha _{11}f_{1}+\alpha _{21}f_{2}+\dots +\alpha _{m1}f_{m}\\
f(e_{2})=\alpha _{12}f_{1}+\alpha _{22}f_{2}+\dots +\alpha _{m2}f_{m}\\
\vdots \\
f(e_{i})=\alpha _{1i}f_{1}+\alpha _{2i}f_{2}+\dots +\alpha _{mi}f_{m}\\
\vdots \\
f(e_{n})=\alpha _{1n}f_{1}+\alpha _{2n}f_{n}+\dots +\alpha _{nm}f_{m}
\end{array}
\right. $
\end{definicja}

\begin{definicja}
Macierz/a homomorfizmu f nazywamy tablic/e 
$[ \alpha _{ij}] 
_{ \tiny 
\begin{array}{c}
i=1,\dots ,n\\
j=1,\dots ,n
\end{array}}
$ element/ow $\alpha _{ij} \in k$ utwo/zon/a z wzor/ow (*).
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Og/olnie macierz/a o wsp/o/lczynnikach w ciele K nazywamy dowolny prostok/at $(n\times m)$ liczb. 
W zapisie: $\alpha_{ij}$ liczba $i$ oznacza numer wiersza, a liczba $j$ numer kolumny.
$$
\left[
\begin{array}{ccccc}
\alpha _{11}&\dots &\alpha _{1i}& \dots &\alpha _{1n}\\
\alpha _{21}&\dots &\alpha _{2i}& \dots &\alpha _{2n}\\
\vdots & &\vdots & &\vdots \\
\alpha _{m1}&\dots &\alpha _{mi}& \dots &\alpha _{mn}\\
\end{array}
\right] 
$$
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Poka�emy teraz jak przedstawia� przekszta�cenia w formie macierzy.
\begin{enumerate}

\item Niech
$f\colon\mathbb{R}^{3} \to \mathbb {R}^{2};\quad f(x,y,z)=(x+y+z,x-y+z).$
Baz� przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ b�dzie $S_{1}=\{e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)\}$
a baz� $\mathbb{R}^{2}$ niech b�dzie $S_{2}=\{f_{1}=(1,0), f_{2}=(0,1)\}$.
Policzmy warto�ci przekszta�cenia dla wektor�w bazy $S_{1}$ i przedstawmy je
w postaci kombinacji liniowych wektr�w z $S_{2}$:
$$f(e_{1})=(1,1)=1f_{1}+1f_{2}$$
$$f(e_{2})=(1,-1)=1f_{1}-1f_{2}$$
$$f(e_{3})=(1,1)=1f_{1}+1f_{2}4$$
Wyniki te mo�emy wpisa� w macierz:
$$
A = \left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array} 
\right] 
$$

\item Rozpatrzmy teraz sytuacje odwrotn� do tej z przyk�adu poprzedniego.
Za��my, �e dana jest macierz: 
$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6 \end{array} \right].$$
Przyjmujemy bazy takie jak w przyk�adzie poprzednim. Z macierzy odczytujemy
warto�ci przekszt�acenia, dla wektor�w bazowych:
$$f(e_{1})=1f_{1}+4f_{2}=(1,4),$$
$$f(e_{2})=2f_{1}+5f_{2}=(2,5),$$
$$f(e_{3})=3f_{1}+6f_{2}=(3,6).$$
W ten spos�b mo�emy zapisa� wz�r przekszt�acenia:
$$f(x,y,z)=xf(e_{1})+yf(e_{2})+zf(e_{3})=x(1,4)+y(2,5)+z(3,6)=(x+2y+3z,4x+5y+6z).$$
\end{enumerate}
\end{przyklad}

\subsection{Mno�enie macierzy}
Mno/zenie macierzy $A$ i $B$ jest mo/zliwe tylko wtedy gdy ilo/s/c kolumn
macierzy $A$ jest r/owna ilo/sci wierszy macierzy $B$. W innych przypadkach mno/zenie jest awykonalne.
$$[a_{ij}] \cdot [b_{kl}]=[c_{rs}]\qquad c_{rs}=\sum _{k=1}^{t} a_{rk}b_{ks}$$

\begin{uwaga}
Macierze kwadratowe o tej samej liczbie kolumn zawsze mo/zna mno/zy/c.
\end{uwaga}

\begin{uwaga}
Mno�enie macierzy nie jest przemienne.
\end{uwaga}

%% wyk�ad 6
\section{Wyk/lad}
\subsection{Zwi�zek macierzy z homomorfizmem}

\begin{stw}[o sk�adaniu homomorfizm�w]
Niech $V_{1},V_{2},V_{3}$ - przestrzenie liniowe sko/nczenie wymiarowe nad cia/lem K, o bazach:
$V_{1}={e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}},
 V_{2}={f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}},
 V_{3}={g_{1},g_{2},\dots ,g_{j}}.$
Niech $[\alpha _{ij}]$ b/edzie macierz/a homomorfizmu $f_{1}:V_{1}\to V_{2}$, a $[\beta _{ij}]$ macierz/a homomorfizmu $f_{2}:V_{2}\to V_{3}$. 
W/owczas macierz superpozycji (z�o�enia) $f_{1}\circ f_{2}:V_{1}\to V_{3}$ jest postaci: $[\alpha _{ij}][\beta _{ij}]$. Innymi
s�owy mo�emy uto�sami� mno�enie macierze ze sk�adaniem homomorfizm�w.
\end{stw}

\begin{definicja}[macierz odwrotna]
Macierz kwadratowa $A$ nazywa si/e odwracaln/a o ile istnieje macierz kwadratowa 
$B$ o w/lasno/sci: $$AB=BA=id= \left[ \begin{array}{ccc} 1& &0 \\ & \ddots & \\ 0& &1 \end{array} \right].$$
Macierz odwrotn� oznaczamy przez $A^{-1}$.
\end{definicja}

\paragraph{Wniosek:} Ka/zda macierz $id_{B}^{B^{\prime}}$ jest odwracalna.

\begin{tw}
Niech $V,V_{1}$ - przestrzenie liniowe sko/nczenie wymiarowe nad cia/lem K, o wymiarach
$\dm _{k}V=n$, $\dm _{k}V_{1}=m$. 
Zbi/or wszystkich homomorfizm/ow (odwzorowa/n lniowych) $V \to V_{1}$ jest to/zsamy
ze zbiorem macierzy ($m\times n$) o wsp/o/lczynnikach w ciele K. Zbi�r ten
oznaczamy cz�sto przez $Mat_{n\times m}(K)$ lub $Mat_{n}^{m}(K)$ (a je�li $n=m$ to piszemy tak�e
$Mat_{n}(K)$ lub $M(n,K)$).
\end{tw}

\begin{uwaga}
Je�li przekszta�cenie ma macierz $A$ kt�ra jest odwracalna, to m�wimy,
�e przekszta�cenie to jest odwracalne. Je�li przekszta�cenie
jest odrwacalne, to zachowuje baz�. To znaczy je�li wektory $e_{1}$, $e_{2}$, $\ldots$,
$e_{n}$ s� baz�, to r�wnie� wektory $Ae_{1}$, $Ae_{2}$, $\ldots$, $Ae_{n}$ s� baz�.
\end{uwaga}

\subsection{Wyznacznik macierzy}

\begin{definicja}[wyznacznik macierzy]
Niech $Mat_{n}(K)$ oznacza zbi/or macierzy kwadratowych o n kolumnach, o wsp/o/lczynnikach
w ciele K. Wprowadzimy funkcj/e $\dt\colon Mat_{n}(K)\to K$, tak�, �e:
\begin{itemize}
\item dla $n=1$ mamy $\dt [a]=a\quad \forall _{a\in K}$,
\item dla $n=2$ mamy $\dt \left[ \begin{array}{cc} a&b \\c&d \end{array} \right] =ad-bc$,
\item dla $n>2$ zachodzi: 
$$\dt M=\sum _{i=1}^{n} (-1)^{i+n}a_{in}|M_{in}|,$$
gdzie $|M_{in}|=\dt M_{in}$, a $M_{in}$ oznacza macierz powsta�� z macierzy $M$
po wykre/sleniu i-tego wiersza i n-tej kolumny.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Bardzo �atwo liczy si� wyznacznik macierzy diagonalnych:
$$\dt\left[ \begin{array}{ccc} a_{11}& &0 \\ &\ddots & \\ 0& &a_{nn} \end{array} \right] =a_{11}a_{22}\dots a_{nn},$$
przy za�o�eniu: $\forall _{i\neq j}a_{ij}=0$. Powy�szy wz�r jest prawdziwy tak�e dla macierzy tr�jk�tnych.

\end{uwaga}

%% wyk�ad 7
\section{Wyk/lad}

\subsection{Liczenie wyznacznik�w macierzy}
	
\begin{tw}
Niech $n$ b/edzie liczb/a naturaln/a. Zal/o/zmy, /ze $i$ jest ustalon/a liczb/a naturaln/a nie wi/eksz/a ni/z $n$,
$(a_{1},\ldots,a_{n},a_{i}^{\prime})$ - uk�adem wektor�w w przestrzeni $K^{n}$ oraz $\alpha,\alpha^{\prime}$ -
elementami cia�a $K$. W�wczas:
$$det(a_{1},\ldots,a_{i-1},\alpha a_{i}+\alpha^{\prime} a_{i}^{\prime},a_{i+1},\dots,a_{n}) = \\
\alpha det(a_{1},\ldots,a_{n}) + \alpha^{\prime} det(a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i}^{\prime},a_{i+1},\ldots,a_{n}).$$
\end{tw}

\begin{tw}
Niech b�d� spe�nione za�o�enia poprzedniego twierdzenia. W�wczas:
$$det\left( 
\begin{array}{l}
a_{1}\\
\vdots\\
a_{i-1}\\
\alpha a_{i}+\alpha^{\prime}a_{i}^{\prime}\\
a_{i+1}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right) =
\alpha det\left(\begin{array}{l}a_{1}\\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)+
\alpha^{\prime}det\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ \vdots \\ a_{i-1} \\ a_{i}^{\prime} \\ a_{i+1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array} \right).$$
\end{tw}

\paragraph{Wniosek:}
Wyznacznik macierzy nie zmieni si/e o ile do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumn/e) pomno/zony przez liczb/e.

\begin{tw}
Niech $n$ b�dzie liczb� naturaln� wi�ksz� od 1. Z��my, �e $i, k$ s� liczbami naturalnymi
spe�niaj�cymi nier�wno�ci $1 \le i < k \le n$ i niech $(a_{1},\ldots,a_{n})$ b�dzie
ci�giem wektor�w przestrzeni $K^{n}$. Je�li $a_{i} = a_{k}$, to $det(a_{1},\ldots,a_{n}) = 0$.
\end{tw}

\begin{tw}
Niech b�d� spe�nione za�o�enia poprzedniego twierdzenia. Je�li $a_{i} = a_{k}$, to
$$det\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)=0.$$
\end{tw}

\begin{uwaga}
Je�li przyjmie si� definicj� wyznacznika jako formy wieloliniowej alternuj�cej 
(patrz wyk�ad 15), to powy�sze twierdzenia staj� si� bardzo proste do udowodnienia
i s� wr�cz prostymi wnioskami z definicji.
\end{uwaga}

%% wyk�ad 8
\section{Wyk/lad}
\subsection{Liczenie wyznacznik�w - ci�g dalszy}

\begin{tw}[Laplace'a dla kolumn]
Zachodzi wz�r:
$$\dt A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+l}a_{il}\dt A_{il}\qquad 1\le l\le n.$$
\end{tw}

\begin{definicja}[macierz transponowana]
Niech A b/edzie macierz/a ($m\times n$) o wsp/o/lczynnikach w ciele K.
Macierz/a transponowan/a do macierzy A nazywamy macierz $A^{T}$ ($n\times m$) 
powsta/l/a przez zamian/e w macierzy A wierszy na kolumny.
\end{definicja}

\begin{tw}[o wyznaczniku macierzy transponowanej]
Dla ka�dej macierzy kwadratowej mamy: $\dt A=\dt A^{T}$.
\end{tw}

\begin{uwaga}
Powy�sze twierdzenie pozwala "przerobi�" twierdzenia odno�nie kolumn, na twierdzenia
odno�nie wierszy (szczeg�lnie przydatne w przypadku tw. Laplace'a).
\end{uwaga}

\begin{tw}[Laplace'a dla wierszy]
Dla macierzy kwadratowej $M$ zachodzi wz�r:
$$\dt M=\sum ^{n}_{i=1} (-1)^{i+k}a_{ki}\dt M_{ki}\qquad k\in {1,2,\dots ,n}.$$
\end{tw}

\subsubsection{Liczenie wyzncznik�w - podsumowanie}
Z powy�szych twierdze� wynika, i� istniej� operacje niezmieniaj�ce wyznacznika
macierzy lub takie kt�re zmieniaj� tylko jego znak. Wypiszemy je raz jeszcze.
\begin{enumerate}
\item Transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika.
\item Dodanie do dowolnej kolumny innej kolumny pomno/zonej przez skalar nie zmienia wyznacznika.
\item Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomno/zonego przez skalar nie zmienia wyznacznika.
\item Zamiana miejscami dowolnych dw/och r/o/znych wierszy zmienia znak wyznacznika.
\item Zamiana miejscami dowolnych dw/och r/o/znych wierszy zmienia znak wyznacznika.
\end{enumerate}
Korzystj�c z tych przekszt�ace� ka/zd/a macierz mo/zna sprowadzi/c do postaci 
diagonalnej - wtedy liczenie wyznacznika jest trywialne.

%% wyk�ad 9
\section{Wyk/lad}
\subsection{Rz�d macierzy}

\begin{definicja}[rz�d macierzy]
Rz/edem macierzy $A$ nazywamy liczb� $\rz A$ r�wn� wymiarowi przestrzeni 
liniowej rozpi/etej na jej wierszach.
\end{definicja}

\begin{stw}
Niech b/edzie dana dowolna macierz, w/owczas wymiar przestrzeni liniowej 
rozpi/etej na jej wierszach jest r/owny wymiarowi przestrzeni liniowej 
rozpi/etej na jej kolumnach.
\end{stw}

\begin{uwaga}
Czyli, oczywi�cie $\rz A = \rz A^{T}$.
\end{uwaga}

Przy dowodzeniu powy�szego twierdzenia korzysta si� z lematu.

\begin{lem}
Niech $M$ - macierz kwadratowa ($n\times n$). W/owczas $r(M)=n$ wtedy i tylko 
wtedy, gdy $\dt M\neq 0$.
\end{lem}

\begin{definicja}[minor macierzy]
Niech A b/edzie dowoln/a macierz/a ($m\times n$).
Minorem stopnia (wymiaru) $k\le min(m,n)$ b/edziemy nazywali wyznacznik z macierzy 
kwadratowej ($k\times k$) utworzonej z k wierszy i k kolumn macierzy A.
\end{definicja}

\begin{uwaga}[minor g��wny]
Poj�cie minoru macierzy m�wi �e do minoru maj� nale�e� kolumny i wiersze danej
macierzy - jednak nie m�wi nic o tym kt�re z nich (i w jakiej kolejno�ci) maj�
by� brane pod uwag�. U�ytecznym cz�sto poj�ciem jest poj�cie tzw. minoru g��wnego
macierzy. Minor g��wny stopnia $k$ jest to wyznacznik macierzy kwadratowej $k\times k$
utworzonej z pierwszych $k$ wierszy i kolumn danej macierzy. Czyli je�li mamy
macierz $A = [a_{ij}]_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$ to minor g��wny stopnia 1,
to $a_{11}$, minor g��wny stopnia 2, to: $det\left(\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$ itd.
\end{uwaga}

\paragraph{Wniosek:}
Rz/ad macierzy A jest stopniem (wymiarem) jej najwi/ekszego niezerowego minoru.

%% wyk�ad 10
\section{Wyk/lad}
\subsection{Uk/lady r/owna/n}
\begin{definicja}
Przez uk�ad r�wna� b�dziemy rozumieli:
$$
\left\{ \begin{array}{l}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{array} \right. 
$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[macierz g��wna i rozszerzona uk�adu r�wna�]
Przyjmuj�c oznaczenia z powy�szej definicji, definiujemy macierze:

$$
\begin{array}{lr}
A=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} &\dots &a_{1n} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{m1}&\dots &a_{mn} \end{array} \right] 
&
B=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\ \vdots & &\vdots & \vdots \\ a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_{n}\\ \end{array} \right] \\
\textrm{macierz g��wna uk�adu} & \textrm{macierz rozszerzona uk�adu} \\
\end{array}
$$
\end{definicja}

\begin{lem}
Uk/lad r�wna� z powy�szych definicji jest r/ownowa/zny r/ownaniu
 macierzowemu: $Ax=b$, gdzie: A - macierz g/l/owna uk/ladu, oraz:
$$b=\left[ \begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right] \qquad x=\left[ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots \\x_{n} \end{array} \right].$$
\end{lem}

\begin{lem}
Niech $C_{1}, C_{2},\dots ,C_{n}$ b/ed/a macierzami powsta/lymi z kolejnych kolumn macierzy A i niech $b=\left[ \begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots \\b_{n} \end{array} \right] $, wtedy uk/lad r�wna� jest r/ownowa/zny r/ownaniu:
$$x_{1}C_{1}+x_{2}C_{2}+\dots +x_{n}C_{n}=b.$$
\end{lem}

\paragraph{Wniosek:}
Uk/lad ma rozwi/azania wtedy i tylko wtedy, gdy $b$ jest kombinacj/a liniow/a $C_{1},C_{2},\dots ,C_{n}$.


%% wyk�ad 11
\section{Wyk/lad}

\subsection{Rozwi�zywanie uk�ad�w r�wna�}
\paragraph{Komentarz pisz�cego.}
Szczeg�owy opis metody rozwi�zywania uk�ad�w r�wna�, jaki i wiele innych cennych
informacji, mo�na znale�� w skrypcie dost�pnym tutaj: http:////math.one.pl w dziale
algebra liniowa. Ze wzgl�du na ograniczenia czasownie nie uda�o si� tych wszystkich
informacji zgromadzi� w naszym opracowaniu.


\begin{tw}[Kroneckera-Capelli]
Uk/lad r/owna/n liniowych:
$$\left\{ \begin{array}{l}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{n}
\end{array} \right. $$
ma rozwi/azanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz�dz macierzy g��wnej r�wny jest
rz�dowi macierzy rozszerzonej ($\rz A=\rz B$).
\end{tw}

\begin{tw}[Cramera]
Niech $A$ b/edzie macierz/a kwadratow/a ($n\times n$) o wyznaczniku r/o/znym od 0. Rozpatrzymy uk/lad r/owna/n Ax=b. W/owczas $x_{i}=\frac {\dt A_{i}}{\dt A}$, gdzie:
$A_{i}$ jest macierz/a powsta/l/a z macierzy A przez zamian/e i-tej kolumny przez kolumn/e b.
\end{tw}

%% wyk�ad 12
\section{Wyk/lad}

\begin{definicja}[jednorodny uk�ad r�wna�]
Uk/lad r/owna/n postaci $Ax=0$, gdzie
$A$ jest dowoln/a macierz/a ($m\times n$), $x$ jest wektorem niewiadomych $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$, a 0 - wektor zerowy przestrzeni liniowej $K^{n}$, nazywamy jednorodnym.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Niech $A$ b�dzie macierz� jednorodnego uk�adu r�wna� o rozmiarach $n\times n$.
Wtedy tak� macierz mo�emy potraktowa� r�wnie� jako macierz przekszta�cenia liniowego.
Za��my �e rozpatrujemy przestrzenie nad cia�em $\mathbb{R}$. Wtedy
$A:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$. Zbiorem rozwi/aza/n uk/ladu Ax=0 jest $\{ x\in \mathbb{R} ^{n}|Ax=0 \}$ czyli
innymi s�owy jest to j�dro przekszta�cenia $\kr A$. Z tego co m�wili�my o przekszta�ceniach
liniowych wynika, �e j�dro jest podprzestrzeni/a liniow/a przestrzeni $\mathbb{R} ^{n}$ kt�rej wymiar wynosi: $ \dm \kr A=n-r(A)$.
\end{uwaga}

%% wyk�ad 13
\section{Wyk/lad}

\begin{stw}
Zbi/or rozwi/az/n uk/ladu r/owna/n Ax=b jest zbiorem postaci $x_{1}+V$ gdzie 
$x_{1}$ jest dowolnym elementem $K^{m}$ o w/lasno/sci $Ax_{1}=b$, a $V=\{ x\in K^{m}|Ax=0 \}$.
\end{stw}

%% ------------

%% wyk�ad 14
\section{Wyk/lad}
\subsection{Poj�cie grupy}

\begin{uwaga}
Jest to drugi raz kiedy takie poj�cie pojawia si� w ramach tego wyk�adu, dlatego
warto por�wna� materia� z wyk�adu 1 z tym kt�ry jest tutaj.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[grupa]
Grup/a nazywamy zbi/or G wraz z dzia/laniami $\circ $ i $G\times G\to G$ spe/lniaj/acym trzy warunki:
\begin{enumerate}
\item dzia/lanie $\circ $ jest /l/aczne: $\forall _{g_{1},g_{2},g_{3}\in G}\qquad g_{1}\circ (g_{2}\circ g_{3})=(g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}$,
\item istnieje element neutralny $e\in G$ taki, /ze: $\forall _{g\in G}\qquad g\circ e=e\circ g=g$,
\item istnieje element odwrotny: $\forall _{g\in G} \exists _{g^{\prime}}\qquad g\circ g^{\prime}=g^{\prime}\circ g=e$.
\end{enumerate}
\end{definicja}

\begin{uwaga}
W punktach $2$ i $3$ kwantyfikator $\exists $ tak na prawd/e oznacza $\exists !$
\end{uwaga}

\begin{definicja}[grupa przemienna]
Je/zeli dzia/lanie $\circ $ ma w grupie w/lasno/s/c:
$\forall _{g_{1},g_{2}\in G}\qquad g_{1}\circ g_{2}=g_{2}\circ g_{1}$
to G nazywamy grup/a przemienn/a lub Abelow/a (Abel - matematyk norweski).
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Przestrze/n wektorowa jest grup/a abelow/a.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[grupa addytywna]
Pier�cie� $P$ ze zdefiniowanym dzia�aniem dodawania i wyr�nionym elementem neutralnym
"zero", nazywamy grup� addytywn� pier�cienia i oznaczamy $P^{+}$.
\end{definicja}

\begin{definicja}[grupa multiplikatywna]
Elementy odwracalne pier�cienia $P$, ze zdefiniowanym dzia�aniem mno�enia i
wyr�nionym elementem neutralnym 1, nazywamy grup� multiplikatywn� pier�cienia
P i oznaczamy przez $P^{\cdot}$.
\end{definicja}


\noindent\textbf{znowu do�� niejasny przyk�ad!}
\begin{przyklad}
Oto przyk�ady grup:
\begin{itemize}
\item[ Ia. ] $(\mathbb{R} \backslash \{ 0\},1,\cdot )$ grupa abelowa multiplikatywna.
\item[ Ib. ] $(\mathbb{R},0,+ )$ grupa abelowa addytywna.

\item[ II. ] Niech $C_{n} = \{ cos\frac {2\pi k}{n}+sin\frac {2\pi k}{n}|k\in N \}$.
Tak zdefiniowana zbi�r $C_{n}$ spe�nia warunki:
\begin{enumerate}
	\item jest to zbi/or n elementowy,
	\item mno/zenie tak jak w liczbach zespolonych,
	\item $1\in C_{n}$,
	\item jest to grupa,
	\item grupa generowana przez $cos\frac {2\pi }{n}+sin\frac {2\pi }{n}$.
\end{enumerate}

\item[ III. ] $\mathbb{Z} =\{ \dots ,-1,0,1,\dots \} $ - grupa abelowa +\\
$n\mathbb{Z} =\{ nz|z\in \mathbb{Z} \} $ - grupa +\\
$a,b\in \mathbb{Z}$ s/a w relacji (r/ownowa/zno/sci) wtedy i tylko wtedy, gdy $a-b\in n\mathbb{Z} $\\
Niech $\mathbb{Z} _{n}=$zbi/or klas abstrakcji relacji ~.\\
$\mathbb{Z} _{n}=\{ [0],[1],\dots ,[n-1]\}$\\
$\mathbb{Z} _{n}=n\qquad \mathbb{Z} _{n}\times \mathbb{Z} _{n}\to \mathbb{Z} _{n}$\\
$[n_{1}],[n_{2}]\to [n_{1}+n_{2}]$
\end{itemize}

\end{przyklad}

\begin{definicja}[grupa cykliczna]
Grupa nazywa si/e cykliczn/a o ile zawiera element o w/lasno/sci, /ze ka/zdy inny element tego zbioru jest jego sum/a (produktem). 
Przyk�adem grupy cyklicznej jest grupa $\mathbb{Z}_{n}$.
\end{definicja}

\begin{stw}
Ka/zda grupa cykliczna jest postaci przyk�adu II lub III (patrz wy�ej).
\end{stw}

\subsection{Przekszta�cenia grup}

\begin{definicja}[homomorfizm grup]
Homomorfizmem grup $G_{1}$ i $G_{2}$ nazywamy odwzorowanie
$h\colon G_{1}\to G_{2}$ o wyrazach $\forall _{g_{1},g_{1}^{\prime}\in G_{1}}\quad h(g_{1}g_{1}^{\prime})=h(g_{1})h(g_{1}^{\prime})$.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Wcze�niej pojawia� si� ju� definicja homomorfizmu przestrzeni liniowych.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[izomorfizm grup]
Izomorfizm jest to homomorfizm "1-1" i "na". Dwie grupy s� ze sob� izomorficzne
je�li istnieje izomorfizm z jednej grupy w drug�.
\end{definicja}

\paragraph{Wniosek:}
Ka/zda grupa cykliczna o n elementch jest izomorfizmem z $\mathbb{Z}_{n}$.
Ka/zda niesko/nczona grupa cykliczna jest izomorfizmem z grup/a $\mathbb{Z}$.

\begin{uwaga}
Wi�cej (i ja�niej) o grupach cyklicznych w ksi��ce Andrzej Bia�nicki-Birula, "Algebra",
strona 228 i 243.
\end{uwaga}

\noindent\textbf{kolejny przyk�ad do poprawienia}
\begin{przyklad}
Niech $x_{n}=\{ 1,2,\dots ,n\} $ b/edzie zbiorem n-elementowym.\\* Oznaczmy przez $S_{n}=\{ f:x_{n}\to x_{n}|$funkcja f jest "na"$\} $. Niech $\cdot $ oznacza z/lo/zenie odwzorowa/n. W/owczas $S_{n}$ z tym dzia/laniem jest grup/a. Elementem neutralnym jest identyczno/s/c. $S_{n}$ -grupa permutacji n-element/ow.\\
$G\in S_{n}$\\*
$G=\left( \begin{array}{cccc}
1&2&\dots &n\\
G(1)&G(2)&\dots &G(n) \end{array} \right) $\\
Cyklem $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\in S_{n}$ nazywamy permutacj/e o w/lasno/sci $k_{1}\to k_{2}\to \dots \to k_{l-1}\to k_{l}\to 1$.Pozosta/le elementy przechodz/a na siebie. Ka/zda permutacja jest iloczynem roz/l/acznych cykli. Ka/zdy cykl jest transpozycj/a.
\end{przyklad}

\begin{definicja}[pier�cie�]
Zbi�r R nazwiemy pier�cieniem je�li jest grup� abelow� ze zdefiniowanym dzia�aniem "dodawania" oraz
je�li zdefiniowane jest inne dzia/lanie ("mno�enie") $R\times R\to R$ kt/ore jest /l/aczne.
Ponadto musi by� spe�niony warunek $\forall _{r_{1},r_{2},r_{3}}\qquad r_{1}(r_{2}+r_{3})=r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}$, oraz $(r_{1}+r_{2})r_{3}=r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}$.
Je�li nowo zdefiniowane dzia�anie jest przemienne to pier�cie� R jest przemienny.
Je�li $\exists _{1\in R}\forall _{r\in R}\qquad 1r=r1=r$ to R jest pier/scieniem z jedynk/a.
\end{definicja}

\begin{definicja}[cia�o]
Pier/scie/n przemienny z jedynk/a w kt/orym ka/zdy r/o/zny od 0 element jest odwracalny nazywamy cia/lem.
\end{definicja}

\begin{stw}
Niech K b/edzie dowolnym cia/lem sko/nczonym. W/owczas rz�d $K$, kt�ry oznaczamy $\# K$ r�wny jest $p^{n}$,
gdzie p jest najmniejsz/a liczb/a tak/a, /ze $p\cdot 1=0$. (Rz�d cia�a $K$ mo�emy uto�samia�
z moc� zbioru, czyli liczb� element�w $K$ - cho� to nieco nieformalne sformuowanie.)
\end{stw}

%% wyk�ad 15
\section{Wyk/lad}
\subsection{Odwzorowania wieloliniowe}

\paragraph{Za�o�enie}
W poni�szych zapisach zak�adamy, �e 
$V_{1},V_{2}$ - przestrzenie liniowe nad cia/lem K, sko/nczenie wymiarowe.

\begin{definicja}[odwzorowanie dwuliniowe]
Odwzorowanie $f:V_{1}\times V_{2}\to K$ nazywamy dwuliniowym je/zeli jest liniowe na ka/zdej sk/ladowej produktu kartezja/nskiego $V_{1}\times V_{2}$.
Innymi s�owy: $\forall _{v_{1}\in V_{1}} f(v_{1},-):V_{2}\to K$ jest liniowe,
oraz $\forall _{v_{2}\in V_{2}} f(-,v_{2}):V_{1}\to k$ jest liniowe. W skr�cie
mo�emy to zapisa� (dla pierwszej wsp�rz�dnej): $\forall _{\alpha _{1},\alpha _{2}\in k}\forall _{v_{1}^{\prime},v_{2}^{\prime}\in V_{1}} f(\alpha _{1}v_{1}^{\prime}+\alpha _{2}v_{2}^{\prime},V_{2})=\alpha _{1}f(v_{1}^{\prime},V_{2})+\alpha _{2}f(v_{2}^{\prime},V_{2})$.
\end{definicja}

\begin{definicja}[odwzorowanie wieloliniowe]
Odwzorowanie $f:V_{1}\times V_{2}\times \dots \times V_{l} \to K$ nazywamy 
wieloliniowym o ile jest liniowe na ka/zdym sk/ladniku. To znaczy: 
$$\forall_{(v_{1},v_{2},\dots,v_{l})\in V_{1}\times V_{2}\times \dots \times V_{l}}\forall _{1\le i\le l} f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{i-1},-,v_{i+1},\dots ,v_{l}):V_{i}\to K \quad\textrm{jest liniowe.}$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Wprowadzenie poj�cia formy wieloliniowej pozwala "lepiej" zdefiniowa� wyznacznik
macierzy.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[wyznacznik macierzy]
Funkcj� $d:\textrm{Mat} ^{n}_{n}(K)\to K$ nazywamy wyznacznikiem macierzy $n\times n$
o ile:
\begin{enumerate}
\item jest ono wieloliniowe na kolumnach,
\item $d(A)=0$ o ile dwie kolumny s/a r/owne,
\item d(I)=1.
\end{enumerate}
\end{definicja}

\begin{definicja}[odwzorowanie wieloliniowe alternuj�ce]
Odwzorowanie wieloliniowe $f:V^{n}\to K$ nazywamy alternuj/acym o ile 
$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$ kiedy jakiekolwiek dwa elementy w ci/agu 
wektor/ow $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in V$ s/a r/owne.
\end{definicja}

\paragraph{Wniosek:} Wyznacznik jest odwzorowaniem alternuj�cym.

\begin{stw}
Zamiana miejscami dw/och wektor/ow powoduje zmian/e znaku o (-1) dla 
odwzorowania alternuj/acego.
\end{stw}

\begin{definicja}
Grupa $S_{n}$ jest to zbi/or wszystkich odwzorowa/n r�nowarto�ciowych zbior�w $\{ 1,2,\dots ,n\}$ w siebie. 
Dzia�anie to sk�adanie odwzorowa�. Element neutralny to funkcja identyczno�ciowa. Niech $f$ 
odwzorowanie alternuj�ce, wtedy:
$$f(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})=\pm f(e_{\gamma _{1}},e_{\gamma _{2}},\dots ,e_{\gamma _{n}}),\quad \gamma \in S_{n}.$$\\
Permutacja $\gamma $ jest parzysta o ile:
$$f(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})=f(e_{\gamma _{1}},e_{\gamma _{2}},\dots ,e_{\gamma _{n}}),\quad \gamma \in S_{n}.$$
Permutacja $\gamma $ jest nieparzysta o ile:
$$f(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})=-f(e_{\gamma _{1}},e_{\gamma _{2}},\dots ,e_{\gamma _{n}}),\quad \gamma \in S_{n}.$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Wi�cej o grupie $S_{n}$ w przyk�adzie 14.13.
\end{uwaga}

\begin{stw}
Je�eli $f$ jest dowolnym odwzorowaniem wieloliniowym alternuj�cym ze zbioru macierzy ($n\times n$) do K, to:
$$\forall _{A\in \textrm{Mat} _{n\times n}(K)}\qquad f(A)=f(I)\dt (A)$$
\end{stw}

\begin{tw}[wz�r Cauchy'ego]
Dla macierzy: $A,B\in \mathrm{Mat}_{n,n}(K)$ zachodzi wz�r:
$$\dt AB=\dt A \dt B.$$
\end{tw}

\begin{definicja}[iloczyn skalarany]
Iloczynem skalarny na przestrzeni liniowej $V$ wymiaru n nad cia�em K nazywamy 
odwzorowanie $V\times V\to K$, kt�re jest dodatnie i symetryczne. Czyli:
\begin{itemize}
\item odwzorowanie $\forall _{x,y\in V} (x|y)$ jest dwuliniowe,
\item odwzorowanie spe�nia: $\forall _{x,y\in V} (x|y)=(y|x)$,
\item odwzorowanie spe�nia: $\forall _{x\in V} (x|x)\ge 0$.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Standardowy iloczyn skalarny w $\mathbb{R}^{n}$, kt�ry ma posta� $(x|y)=\sum _{i} x_{i}y_{i}$,
spe�nia powy�sz� definicj�.
\end{przyklad}

\begin{definicja}[forma kwadratowa]
Form� kwadratow� na przestrzeni V nazywamy dowolne symetryczne odwzorowanie dwuliniowe z $V^{2}\to K$.
\end{definicja}

%% wyk�ad 16
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}[forma symetryczna]
Forma dwuliniowa jest symetryczna o ile: $$\forall _{x,y\in V}\quad f(x,y)=f(y,x).$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[forma antysymetryczna]
Forma dwuliniowa jest antysymetryczna o ile: $$\forall _{x,y\in V}\quad f(x,y)=-f(y,x).$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[forma niezdegenerowana]
Forma kwadratowa jest niezdegenerowana o ile wyznacznik jej macierzy jest liczb� r�n� od zera. W przeciwnym wypadku jest to forma zdegenerowana.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Iloczynem skalarnym b�dziemy nazywali form� kwadratow�. Symetryczn� i niezdegenerowan�.
\end{uwaga}

\noindent Mo/zemy rozpatrywa� przestrze� liniow�, kt�rej elementami s� wszystkie formy dwuliniowe $f\colon V\times V\to K$.

\begin{stw}
Przestrze� form dwuliniowych jest sum� prost� podprzestrzeni form symetrycznych i podprzestrzeni form antysymetrycznych.
\end{stw}

\paragraph{Wniosek:} Z powy�szego stwierdzenia wynika, �e ka�da forma dwuliniowa
jest albo symetrczyna albo antysymetryczna.


%% wyk�ad 17
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}[macierz odwzorowania dwuliniowego]
Macierz $[a(e_{i},e_{j})]_{1\le i,j \le n}$ nazywamy macierz� odwzorowania 
dwuliniowego $a:V\times V\to K$ w bazie $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Ka�da macierz kwadratowa definiuje odwzorowanie dwuliniowe i ka�de odwzorowanie dwuliniowe definiuje macierz.
\end{uwaga}

\begin{stw}
Je�eli $A$ jest macierz� odwzorowania dwuliniowego $a:V\times V\to K$ w bazie 
$e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ i $A^{\prime}$ jest jego macierz� w bazie 
$e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime},\dots ,e_{n}^{\prime}$. $P$ jest macierz� 
przej�cia od bazy $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ do bazy 
$e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime},\dots ,e_{n}^{\prime}$ to zachodzi zwi�zek 
$A^{\prime}=PAP^{T}$.
\end{stw}

\begin{definicja}[rz�d odwzorowania dwuliniowego]
Rz�dem odwzorowania dwuliniowego nazywamy rz�d jego macierzy w dowolnej bazie.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zachodzi oczywi�cie wz�r: $\rz A^{\prime}=\rz (PAP^{T})$. Z tego wszystkiego
�atwo wywnioskowa�, �e rz�d nie zale�y od wyboru bazy.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[forma dwuliniowa niezdegenerowana]
Forma $a:V\times V\to K$ jest niezdegenerowana, gdy $\rz (A)=\dm V$. Definicja
ta jest r�wnowa�na definicji podanej wcze�niej.
\end{definicja}

\begin{definicja}[forma kwadratowa]
Form� kwadratow� o wsp�czynnikach w ciele K nazywamy ka�dy wielomian:
$$q(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n} b_{ij}x_{i}x_{j},$$
kt�ry jest jednorodny, stopnia drugiego (to znaczy, ka�dy jednomian ma stopie�
dwa), z pier�cienia wielomian�w $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$.
\end{definicja}

\begin{przyklad}[forma kwadratowa]
Przyk�adem formy kwadratowej mo�e by�: $$xy+x^{2},x^{2},y^{2},x^{2}+y^{2}.$$
\end{przyklad}

\begin{definicja}[funkcja kwadratowa]
Funkcj� kwadratowa nazywamy ka�de przekszta�cenie $g\colon V\to K$ spe�niaj�ce 
warunki:
\begin{itemize}
\item dla ka�dego $\alpha\in K, v\in V$ zachodzi $q(\alpha v)=\alpha^{2}q(v)$,
\item funkcja $\beta\colon V\times V\to K$ okre�lona wzorem: $\beta (x,y)= \frac{1}{2} (q(x+y)+q(x)-q(y))$ dla $x,y\in V$ jest form� dwuliniow�.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{definicja}[forma kwadratowa odpowiadaj�ca formie dwuliniowej]
Niech $a\colon V\times V\to K$ - odwzorowanie dwuliniowe symetryczne.
Funkcj� $\overline{a}\colon V\to K$ dan� wzorem: $\overline{a}(x)=a(x,x)$ b�dziemy nazywali 
form� kwadratowa odpowiadaj�c� formie a.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Forma $a$ r�wnie� wyznacza funkcj� kwadratow�:
$a(x,x)=q(x)$ Wtedy: $q(bx)=a(bx,bx)=b^{2}a(x,x)=b^{2}q(x)$.
\end{uwaga}

\begin{fakt}
Je�eli wiemy, �e dana forma (funkcja) kwadratowa pochodzi od odwzorowania
dwuliniowego symetrycznego to, to odwzorowanie wyra�a si� wzorem 
$$q(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n} b_{ij}x_{i}x_{j}.$$
\end{fakt}

\begin{definicja}[rz�d formy kwadratowej]
Rz�d formy kwadratowej to rz�d jej macierzy.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Postaci� kanoniczn� formy kwadratowej $\sum _{ij} a_{ij}x_{i}x_{j}$ jest znalezienie takiej bazy przestrzeni V, �e:
$$\forall _{i\neq j} a_{ij}=0\qquad f(x)=a_{11}x_{1}^{2}+\dots +a_{nn}x_{n}^{2}.$$
\end{definicja}

\begin{tw}
Ka�d� form� kwadratow� mo�na sprowadzi� do postaci kanonicznej za pomoc� niezdegenerowanego przekszta�cenia liniowego.
\end{tw}

\begin{uwaga}
Jednym ze sposob�w sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej jest
metoda Lagrange'a, kt�ra pojawia� si� w dowodzie powy�szego twierdzenia.
\end{uwaga}


%% wyk�ad 18
\section{Wyk�ad}

\subsection{Posta� normalna formy kwadratowej}

\begin{definicja}[forma kwadratowa normalna nad $\mathbb{C}$]
Form� kwadratow� nad przestrzeni� zespolon� nazywa si� normaln� o ile jest postaci 
kanonicznej i wszystkie wsp�czynniki $a_{ii}$ maj� modu� 1.
\end{definicja}

\begin{definicja}[forma kwadratowa normlana nad $\mathbb{R}$]
Niech forma kwadratowa $f$ b�dzie okre�lona na przestrzeni rzeczywistej 
$\mathbb{R} $. Niech $\tilde{e} _{1},\tilde{e} _{2},\dots ,\tilde{e} _{n},$ b�dzie jak�kolwiek baz�, w kt�rej nasza forma ma posta� normaln�:
$f(x)=y_{1}^{2}+\dots +y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-\dots -y_{r}^{2}$, 
gdzie $\{ y_{i}\}$ oznaczaj� wsp�rz�dne wektora x w bazie $\tilde{e} _{1},\tilde{e} _{2},\dots ,\tilde{e} _{n},$.
\end{definicja}

\subsection{Bezw�adno�� form kwadratowych}

\begin{definicja}[indeks dodtni, ujemny i sygnatura formy]
Liczb� wyraz�w dodatnich (ujemnych) w 
$f(x)=y_{1}^{2}+\dots +y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-\dots -y_{r}^{2}$
nazywamy dodatnim (ujemnym) indeksem formy $f$. 
R�nic� pomi�dzy indeksami nazywamy sygnatur� formy.
\end{definicja}

\begin{tw}[prawo bezw�adno�ci form kwadratowych]
Indeks dodatni i ujemny s� niezale�nikami formy kwadratowej, tj. nie zale�� 
od wyboru bazy, w kt�rej ma ona posta� normaln�.
\end{tw}

\subsection{Sprowadzenie formy kwadratowej do postaci kanonicznej - Metoda Jacobiego}

\noindent Niech b�dzie dana forma kwadratowa $f(x)=a(x,x)$. Niech
$a:V\times V\to K$, oraz niech baz� $V$ b�d� wektory $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$.
Niech forma dwuliniowa $a$ ma macierz symetryczn� $A=[a(e_{i},e_{j})]_{1\le i,j\le n}$.
Wprowad�my oznaczenia:
$$A_{1}=a_{11}, A_{2}=\left[ \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array} \right] ,\dots ,A_{k}=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11}&\dots &a_{1k}\\ \vdots & &\vdots \\a_{k1}&\dots &a_{kk} \end{array} \right] _{1\le k \le n}.$$
Minory g��wne (wyznaczniki $A_{i}$) oznacza� b�dziemy przez
$\Delta_{i}=\dt A_{i}$ przy za�o�eniach: $\Delta_{0}=1$ i $\forall_{i}\Delta _{i}\neq 0$.
Szukamy nowej bazy: $e^{\prime}_{1},e^{\prime}_{2},\ldots,e^{\prime}_{n}$, w kt�rej
forma ma posta� kanonicz�, co oznacza, �e: $\forall_{i\neq j}a(e_{i}^{\prime},e_{j}^{\prime})=0$.
 Niech nowa baza b�dzie postaci:
$$\left\{ \begin{array}{c} e_{1}^{\prime}=P_{11}e_{1} \\ e_{2}^{\prime}=P_{21}e_{1}+P_{22}e_{2} \\ \vdots \\ e_{n}^{\prime}=P_{n1}e_{1}+P_{n2}e_{2}+\dots +P_{nn}e_{n} \end{array} \right.$$
Korzystaj�c z metody indukcji matematycznej oraz za�o�e� otrzymujemy nast�puj�cy uk�ad r�wna�
(z niewiadomymi $P_{k1},P_{k2},\ldots,P_{kk}$):
$$\left\{ \begin{array}{c}
P_{k1}a_{11}+P_{k2}a_{12}+\dots +P_{kk}a_{1k}=0\\
P_{k1}a_{21}+P_{k2}a_{22}+\dots +P_{kk}a_{2k}=0\\
\vdots\\
P_{k1}a_{k-1,1}+P_{k2}a_{k-1,2}+\dots +P_{k,k}a_{k-1,k}=0\\
P_{k1}a_{k1}+P_{k2}a_{k2}+\dots +P_{kk}a_{kk}=1 \end{array} \right.$$
Z tego, �e $\Delta _{k}\neq 0$ - wyznacznik g��wny uk�adu, wynika, �e uk�ad ten
ma rozwi�zanie, kt�re wyznaczamy z wzor�w Cramera. Otrzymujemy st�d wz�r:
$P_{kk}=\frac{\Delta _{k-1}}{\Delta _{k}}$, kt�ry pozwala zapisa� nam form�
w postaci kanonicznej:
$$f(x)=\frac{\Delta _{0}}{\Delta _{1}} (x_{1}^{\prime})^{2}+\frac{\Delta _{1}}{\Delta _{2}} (x_{2}^{\prime})^{2}+\dots +\frac{\Delta _{n-1}}{\Delta _{n}} (x_{n}^{\prime})^{2}$$

%% wyk�ad 19
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}[forma kwadratowa okre�lona dodatnio // ujemnie]
Forma kwadratowa $f$ jest dodatnio okre�lona je�eli $\forall _{x\neq 0} f(x)>0$.
Forma kwadratowa $f$ jest ujemnie okre�lona je�eli $\forall _{x\neq 0} f(x)<0$.
\end{definicja}

\begin{tw}
Je�eli $f$ jest dodatnio okre�lona, to $a_{ii}>0$ dla ka�dego $i=1,2,\dots ,n$.
\end{tw}

\begin{przyklad}
Powy�sze twierdzenie nie daje jednak warunku koniecznego dodatniej okre�lono�ci
formy kwadratowej. Rozwa�my bowiem nast�puj�c� form� $f\colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ dan� wzorem:
$$f(x)=x_{1}^{2}+1000x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}.$$ Spe�nia ona warunek twierdzenia: $a_{11}=a_{22}=1>0$.
No ale dla $x=(-1,1)$ mamy: $f(-1,1)=1-1000+1=-998 <0$, czyli forma nie jest okre�lona
dodatnio.
\end{przyklad}

\begin{tw}
Je�eli $f$ jest dodatnio okre�lona, to wyznacznik jej macierzy jest dodatni.
\end{tw}

\begin{uwaga}
Zauwa�my, �e forma z poprzedniego przyk�adu nie spe�nia ju� powy�szego twierdzenia.
\end{uwaga}

\paragraph{Wniosek:} Na przestrzeni $n$-wymiarowej ka�da forma dodatnio okre�lona ma rz�d $n$.

\begin{tw}[kryterium Sylwestera]
Na to, by forma kwadratowa by�a dodatnio okre�lona potrzeba i wystarcza,
by wszystkie minory g��wne jej macierzy by�y dodatnie.
\end{tw}

%% wyk�ad 20
\section{Wyk�ad}

\subsection{Macierz odwrotna}

\begin{uwaga}
O macierzach odwrotnych by�a ju� mowa wcze�niej - nale�y por�wna� poni�sze rozwa�ania
z tymi, kt�re by�y wcze�niej.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[macierz odwrotna]
Niech $A$ b�dzie macierz� kwadratow� nad cia�em K. Macierz $B$ nazywamy 
macierza odwrotn� do macierzy $A$ o ile $AB=BA=I$ i oznaczamy przez $A^{-1}$.
\end{definicja}

\paragraph{Metoda wyliczania macierzy odwrotonej.} Aby znale�� macierz odwrotn� $B$ do macierzy $A$ post�pujemy
w nast�puj�cy spos�b. Je�li $B = A^{-1}$ to mamy:
$$AB=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cccc} x_{11}&x_{12}&\dots &x_{1n} \\ x_{21}&x_{22}&\dots &x_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ x_{n1}&x_{n2}&\dots &x_{nn} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cccc} 1& & &0 \\ & 1 & & \\ & &\ddots & \\ 0& & &1 \end{array} \right]$$
Aby wyznaczy� macierz B musimy rozwi�za� n nast�puj�cych uk�ad�w r�wna�:
$$\left[ \begin{array}{c} \sum _{i=1}^{n} a_{1i}x_{ij} \\ \vdots \\ \sum _{i=1}^{n} a_{ni}x_{ij} \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} 0\\ \vdots \\0 \\1\\0\\ \vdots\\0 \end{array} \right] $$
W macierzy po prawej stronie r�wno�ci $1$ wyst�puje zawsze tylko w j-tym wierszu.
(j zmienia si� od 1 do n, i jest ustalone dla ka�dego z uk�ad�w r�wna�, tzn. pierwszy
z uk�ad�w ma j=1, drugi j=2 itd). Ka�dy z takich uk�ad�w ma $n$ niewiadomych.
Zak�adamy $\dt A\neq 0$, wtedy mamy wz�r
$x_{ij}=\frac {(-1)^{i+1}\dt (A_{1i})}{\dt A}$, gdzie
$A_{ij}$ powstaje z $A$ przez wykre�lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

\begin{stw}
Dla �adnej macierzy kwadratowej nie mo�na znale�� dw�ch r�nych macierzy 
odwrotnych. 
\end{stw}

\begin{uwaga}
Innymi s�owy, w przypadku gdy $\dt A=0$ macierz odwrotna nie istnieje, w ka�dym innym, istnieje dok�adnie
jedna macierz odwrotna do macierzy $A$.
\end{uwaga}


\begin{definicja}[warto�� w�asna i wektor w�asny]
Niech $T\colon V\to V$ b�dzie endomorfizmem przestrzeni liniowej $V$ nad cia�em
K o sko�czonym wymiarze. Warto�ci� w�asn� endomorfizmu nazywamy element 
$\lambda \in K$ taki, �e istnieje wektor $v\in V$, �e $T(v)=\lambda v$. 
Wektor $v$ nazywamy wektorem w�asnym warto�ci w�asnej $\lambda $.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Niech $T\colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ endomorfizm dany macierz�
$M_{T} = \left[ \begin{array}{cc} 1&4 \\ 1&1 \end{array} \right]$. Z postaci macierzowej
�atwo mo�emy odczyta� wz�r, kt�ry ma posta� $T(x_{1},x_{2}) = (x_{1} + 4x_{2}, x_{1} + x_{2})$.
Szukamy warto�ci w�asnych $\lambda$ takich, �e $\lambda [x_{1},x_{2}] = [x_{1}+4x_{2},x_{1}+x_{2}]$.
Rozwi�zujemy wi�c uk�ad r�wna�:
$$\left\{ \begin{array}{c} x_{1}+4x_{2}=\lambda x_{1} \\ x_{1}+x_{2}=\lambda x_{2} \end{array} \right. $$
$$(*) \left\{ \begin{array}{c} (1-\lambda )x_{1}+4x_{2}=0 \\ x_{1}+(1-\lambda )x_{2}=0 \end{array} \right. $$
Liczymy wyznacznik uk�adu:
$$\dt \left[ \begin{array}{cc} 1-\lambda &4 \\ 1&1-\lambda \end{array} \right] =\lambda ^{2}-2\lambda -3$$
Szukamy takich $\lambda$ dla kt�rych ten wyznacznik wynosi zero. Rozwi�zujemy wi�c
r�wnanie kwadratowe ze wzgl�du na niewiadom� $\lambda$. Jego rozwi�zania to:
$$\lambda _{1}=-1\qquad \lambda _{2}=3.$$
S� to szukane warto�ci w�asne. Teraz mo�emy wyliczone warto�ci $\lambda$ podstawi� do 
uk�adu r�wna� (*) i upro�ci�.
Dla $\lambda =3$ otrzymujemy zale�no�� $x_{1}=2x_{2}$ a dla $\lambda =-1$ mamy $x_{1}=-2x_{2}$.
Rysujemy uk�ad wsp��dnych zale�no�ci $x_{2}$ od $x_{1}$ z dwoma wykresami po jednym dla ka�dej z warto�ci w�asnej.
Rysunki te przedstawiaj� proste - przestrzenie wektor�w w�asnych, dla ka�dej z w�asno�ci w�asnych.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Je�li T traktujemy jako macierz, to mo�na m�wi� r�wnie� o warto�ci w�asnej macierzy 
(a nie endomorfizmu). Niech $T:K^{3}\to K^{3}$ zadane wzorem:
$$T\left( \begin{array}{c} x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 2x_{1}-x_{2}-x_{3}\\x_{2}+x_{3}\\5x_{3} \end{array} \right).$$
R�nic� pomi�dzy tym a poprzednim przyk�adem jest to, �e zaczynamy od odwzorowania, a nie od macierzy.
Mo�emy bowiem teraz (maj�c wz�r) poda� macierz odwzorowania, kt�ra ma posta�:
$$\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{array} \right].$$
Rozwi�zujemy teraz r�wnanie:
$$\dt \left[ \begin{array}{ccc} 2-\lambda & -1 & -1\\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 5-\lambda \end{array} \right] =(2-\lambda )(1-\lambda )(5-\lambda )=0$$
z kt�rego wyliczamy warto�ci w�asne: $\lambda_{1}=2$, $\lambda_{2}=1$, $\lambda_{3}=5$.
\end{przyklad}

%% wyk�ad 21
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}[wielomian charakterystyczny endomorfizmu]
Wielomianem charakterystycznym endomorfizmu T nazywamy wielomian:
$f(\lambda )=\dt (T-\lambda I)$, gdzie T jest macierz� endomorfizmu T w danej bazie.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zauwa�my, �e:
\begin{itemize}
\item Powy�sza definicja nie zale�y od wyboru bazy.
\item Warto�ci w�asne endomorfizmu T odpowiadaj� pierwiastkom wielomianu charakterystycznego endomorfizmu T.
\end{itemize}
\end{uwaga}

\begin{definicja}[podprzestrze� w�asna]
Niecz $\lambda$ b�dzie warto�ci� w�asn� endomorfizmu T sko�czenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia�em K.
Przestrzeni� w�asn� warto�ci w�asnej $\lambda $ nazywamy podprzestrze�:
$$V_{\lambda }=\{ v\in V|T(v)=\lambda v\}.$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Je�li $\lambda$ jest warto�ci� w�asn�, to $V_{\lambda }$ jest podprzestrze� liniowa. Spe�niony jest warunek:
$v_{1},v_{2}\in V_{\lambda } \Rightarrow \forall _{\alpha ,\beta }\quad \alpha v_{1}+\beta v_{2}\in V_{\lambda }$,
poniewa�: $T(\alpha v_{1}+\beta v_{2})=\alpha T(v_{1})+\beta T(v_{2})=\lambda (\alpha v_{1}+\beta v_{2})$.
\end{uwaga}

\begin{definicja}
Krotno�ci� algebraiczn� warto�ci w�asnej $\lambda $ nazywamy jej wielokrotno��, jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego 
(oznaczenie $K_{a}(\lambda )$).
\end{definicja}

\begin{definicja}
Krotno�ci� geometryczn� warto�ci w�asnej $\lambda $ nazywamy $\dm V_{\lambda }$
(oznaczenie $K_{g}(\lambda )$).
\end{definicja}

\begin{stw}
Niech $\lambda$ b�dzie warto�ci� w�asn� endomorfizmu T sko�czenie wymiarowej przestrzeni liniowej. 
W�wczas $K_{g}(\lambda )\le K_{a}(\lambda )$ (s� przypadki kiedy jest to ostra nier�wno��).
\end{stw}

\begin{tw}
Niech $V$ - sko�czenie wymiarowa przestrze� liniowa nad cia�em K. Oraz niech
$T\colon V\to V$ endomorfizm, kt�ry posiada r�ne warto�ci w�asne: $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$.
Wtedy zachodzi:
\begin{enumerate}
\item Elementy $v_{1}\in V_{\lambda _{1}},v_{2}\in V_{\lambda _{2}},\dots ,v_{n}\in V_{\lambda _{n}}$ s� liniowo niezale�ne.
\item $\forall _{1\le i\le n}\quad V_{\lambda _{i}}\cap \sum _{j\neq i}V_{\lambda _{j}}=0$.
\end{enumerate}
\end{tw}

%% wyk�ad 22
\section{Wyk�ad}

\begin{tw}
Niech $A\in \mathrm{Mat} _{n,n}(K)$ b�dzie macierz�, kt�rej wielomian charakterystyczny rozk�ada si� na czynniki liniowe:
$$f_{k}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\dots (t-\lambda _{n})$$
Wtedy istnieje taka macierz odwracalna $P\in \mathrm{Mat}_{n,n}(K)$, �e:
$$P^{-1}AP= \left[ \begin{array}{ccc} \lambda _{1}& & \ast \\ &\ddots & \\ 0 & &\lambda _{n} \end{array} \right].$$
\end{tw}

\begin{lem}[tw. Steinza o wymianie]
Niech $\dm_{K}V=n$ oraz niech $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})$ b�dzie uk�adem r liniowo niezale�nych element�w.
(Zak�adamy $r<n$ - w przeciwnym wypadku twierdzenie nie ma sensu.)
Niech uk�ad element�w $(w_{t})_{t\in T}$ b�dzie zbiorem generatorw przestrzeni V. 
Oznacza to, �e ka�dy element $v\in V$ jest sko�czon� kombinacj� liniow� element�w $(w_{t})_{t\in T}$. 
Wtedy istnieje $n-r$ element�w:
$w_{t_{1}},w_{t_{2}},\dots ,w_{t_{n-r}}$ takich, �e uk�ad: $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r},w_{t_{1}},w_{t_{2}},\dots ,w_{t_{n-r}})$ jest baz� V.
\end{lem}

%% wyk�ad 23
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}
Niech dana b�dzie macierz $A\in \mathrm{Mat}_{n,n}(K)$. M�wimy, �e $A$ da si� 
sprowadzi� do postaci diagonalnej je�li istnieje $B\in \mathrm{GL}_{n}(k)$ 
(macierze odwracalne $n\times n$), takie, �e $B^{-1}AB$ jest macierz� 
diagonaln�.
\end{definicja}

\begin{tw}
Za��my, �e przekszta�cenie liniowe $T:V\to V$ ma $n$ r�nych warto�ci w�asnych
$\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ gdzie $n=\dm_{K}V$.
\begin{itemize}
\item[ (1) ] Niech $v_{i}\in V_{\lambda _{i}}$ dla $i=1,2,\dots,n$.
W�wczas uk�ad element�w $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ jest baz� przestrzeni V.
\item[ (2) ] $\forall _{i=1,2,\dots ,n}\ \dm _{K}V_{\lambda _{i}}=1$, oraz $V=V_{\lambda _{1}}\oplus \dots \oplus V_{\lambda _{n}}$.
\item[ (3) ] Macierz przekszta�cenia T w bazie z punktu (1) jest diagonalna:
$$A_{T}=\mathrm{diag}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\left[ \begin{array}{cccc} \lambda _{1}& & &0 \\ &\lambda _{2} & & \\ & &\ddots & \\ 0& & &\lambda _{n} \end{array} \right] $$
\end{itemize}
\end{tw}

\paragraph{Wniosek:}
Niech $A\in \mathrm{Mat}_{n,n} (K)$ i niech $A$ ma $n$ r�nych warto�ci 
w�asnych $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$.
Za��my, �e dane s� wektory w�asne $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in K^{n}$ macierzy
$A$ takie, �e $Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}$ dla $i=1,2,\dots ,n$. Wtedy:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ - baza $K^{n}$.
\item[ (2) ] Niech $B=[v_{1}|v_{2}|\dots |v_{n}]\in \mathrm{Mat} _{n,n}(K)$ 
oznacza macierz utworzon� przez wsp�rz�dne wektor�w $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$
wtedy: 
$$B^{-1}AB=\mathrm{diag}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\left[ \begin{array}{cccc} \lambda _{1}& & &0 \\ &\lambda _{2} & & \\ & &\ddots & \\ 0& & &\lambda _{n} \end{array} \right] $$
W szczeg�lno�ci macierz $A$ da si� sprowadzic do postaci diagonalnej.
\end{itemize}

%% wyk�ad 24
\section{Wyk�ad}

\begin{tw}
Macierz $A\in \mathrm{Mat}_{n,n}(K)$ mo�na sprowadzi� do postaci diagonalnej wtedy i tylko wtedy, gdy spe�nione s� nast�puj�ce dwa warunki:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] wielomian charakterystyczny $f_{A}(t)=\dt (A-tI_{n})$ rozk�ada si� na iloczyn czynnik�w liniowych.
\item[ (2) ] dla ka�dej warto�ci w�asnej $\lambda \in K$ macierzy $A$ zachodzi r�wno�� $k_{g}(\lambda )=k_{a}(\lambda )$
\end{itemize}
\end{tw}

\begin{lem}
Niech $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{m}\in K$ - r�ne skalary,
$A\in \mathrm{Mat} _{n,n}(K), B\in \mathrm{GL} _{n}(K)$ zak�adamy, �e 
$$B^{-1}AB=\mathrm{diag} (\underbrace{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{1}}_{k_{1}},\underbrace{\lambda _{2},\dots ,\lambda _{2}}_{k_{2}},\dots ,\underbrace{\lambda _{m},\dots ,\lambda _{m}}_{k_{m}},),\quad n=\sum _{i=1}^{m}k_{i}.$$
Wtedy:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $\forall _{i=1,2,\dots ,m} \dm \kr (A-\lambda _{i}I_{n})=\dm \kr (B^{-1}AB-\lambda _{i}I_{n})=k_{i}$.
\item[ (2) ] $K^{n}=V_{\lambda _{1}}\oplus V_{\lambda _{2}}\oplus \dots \oplus V_{\lambda _{m}}$.
\end{itemize}
\end{lem}

\begin{uwaga}
Z punktu (2) mamy,
�e $\dm V_{\lambda _{i}}=k_{i}\ i=1,2,\dots ,n$. Dla ka�dego $i\leq m$ istnieje baza 
$S_{i}$ przestrzeni $V_{\lambda _{i}}$ sk�adaj�ca si� z $k_{i}$ element�w. 
Rozwa�my przekszta�cenie liniowe $T_{a}\colon K^{n}\to k^{n}\quad T_{a}(v)=Av,\quad v\in k^{n}$ 
zbi�r wektor�w $S=S_{1}\cup S_{2}\cup \dots \cup S_{m}$, z twierdzenia 23.2(2) 
stanowi baz� ca�ej przestrzeni $K^{n}$. Poniewa� ta baza sk�ada si� z wektor�w 
w�asnych warto�ci w�asnych $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{m}$ wi�c
w tej bazie odwzorowanie $T_{A}$ ma posta� diagonaln�. Podsumowuj�c, przy 
oznaczeniu $B$ macierzy przej�ci od bazy standardowej (bazy w kt�rej wyra�a si�
macierz $A$) do bazy S otrzymujemy, �e macierz $B^{-1}AB$ ma posta� diagonaln�.
\end{uwaga}

\paragraph{Wniosek:}
Dla macierzy $A\in \mathrm{Mat}_{n,n}(K)$ nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne.
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $A$ ma $n$ r�nych warto�ci w�asnych w ciele K.
\item[ (2) ] Macierz $A$ da si� sprowadzi� do postaci diagonalnej, oraz krotno�� krotno�� geometryczna ka�dej warto�ci w�asnej macierzy $A$ jest r�wna 1 $\dim V_{\lambda_{i}}=1$.
\item[ (3) ] $f_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(A_{i}-t)$ dla r�nych skalar�w $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in K$.
\end{itemize}

\paragraph{Wniosek:}
Ka�da macierz zespolona kwadratowa, kt�rej wielomian charakterystyczny ma pierwiastki jednokrotne da si� sprowadzi� do postaci diagonalnej.

\subsection{Przestrzenie euklidesowe}

\begin{uwaga}
Cz�� z definiowanych tutaj poj�� by�a ju� zdefiniowana wcze�niej - nale�y
por�wna� te definicje.
\end{uwaga}

\begin{definicja}[iloczyn skalarny i przestrze� Euklidesowa]
Niech $V$ - sko�czenie wymiarowa przestrze� liniowa nad cia�em liczb rzeczywistych,
oraz niech $\beta : V\times V \to \mathbb{R} $ jest form� dwuliniow� symetryczn� dodatni�,
to znaczy $\forall _{v\in V}\ \beta (v,v)\ge 0 $, oraz $\beta (v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$.
W�wczas form� $\beta$ nazywamy iloczynem skalarnym, a par� $(V,\beta )$ przestrzeni� Euklidesowa.
\end{definicja}

\begin{definicja}[metryka]
Niech X - dowolny zbi�r. Metryk� (odleg�o�ci�) na zbiorze X nazywamy funkcj� 
$d\colon X\times X\to \mathbb{R} \ge 0$ spe�niaj�c� warunki:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $\forall _{x,y}\ d(x,y)=d(y,x)$ symetryczno��,
\item[ (2) ] $\forall _{x,y,z}\ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ nier�wno�� tr�jk�ta,
\item[ (3) ] $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ odleg�o�� od $x$ do $y$.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{definicja}[przestrze� metryczna]
Par� $(X,d)$, nazywamy przestrzeni� metryczn� ($d$- metryka na zbiorze $X$).
\end{definicja}

\begin{uwaga}Cz�sto stosuje si� te� poj�cie przestrzeni unormowanej. Jest to
przestrze� w kt�rej zdefiniowano norm�. W materiale tego opracowania nie mie�ci
si� jednak dok�adna definicja normy. Zazwyczaj przyjmowa� b�dziemy norm� dan�
wzorem $\| v \| = \sqrt{<v,v>}$.
\end{uwaga}


\begin{przyklad}[przestrzenie metryczne]
Poni�ej zestawiono kilka prostych przyk�ad�w przestrzeni metrycznych.

\begin{enumerate}
\item Liczby rzeczywiste z warto�ci� bezwzgl�dn�: $(\mathbb{R},|\ |)$. Spe�nione
s� warunki definicji metryki: $|x-y|=|y-x|$, $|x-y|\le |x-z|+|z-y|$, $|x-y|=0 \Leftrightarrow x=y$.
\item Dowolna przestrze� euklidesowa $(V,\beta )$ z norm�: $\| x\| =\sqrt{\beta (x,x)}$, $d(x,y)=\| x-y\|$.
\item Dowolna przestrze� z metryk� dyskretn�: $d(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} 0& \mathrm{dla}\ x=y\\ 1& \mathrm{dla}\ x\neq y \end{array} \right.$.
\end{enumerate}
\end{przyklad}


\begin{lem}[nier�wno�� Schwarza]
Niech $(V,\beta)$ - dowolna przestrze� euklidesowa. Wtedy:
$$|<x,y>|\le \| x\| \| y\|.$$
\end{lem}

\begin{stw}
Niech $(V,<,>)$ - dowolna przestrze� euklidesowa. Wtedy:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $\| x\| =0 \Leftrightarrow x=0$
\item[ (2) ] $\| \alpha x\| =|\alpha |\| x\| $
\item[ (3) ] $|<x,y>|\le \| x\| \| y\| $
\item[ (4) ] $\| x+y\| \le \| x\| +\| y\|$
\end{itemize}
\end{stw}


%% wyk�ad 25
\section{Wyk�ad}

\begin{definicja}[uk�ad element�w ortonormalnych]
Uk�ad element�w $v_{1}$, $v_{2}$, $\ldots$, $v_{n}$ nazwiemy ortonormalnym,
je�li spe�niony jest warunek:
$$
<v_{i},v_{j}> = \delta_{ij} = \left\{ 
\begin{array}{lr} 
0 & i\neq j \\ 
1 & i = j \\ 
\end{array} 
\right.
$$
Wyra�enie $\delta_{ij}$ nazywa si� delt� Diraca.
\end{definicja}

\begin{uwaga}[baza ortonormalna]
Maj�c definicj� uk�adu ortonormalnego, �atwo zdefiniowa� poj�cie bazy ortonormalnej.
\end{uwaga}

\begin{tw}
Niech V b�dzie sko�czenie wymiarow� przestrzeni� liniow� nad cia�em liczb rzeczywistych,
b�d�c� jednocze�nie przestrzeni� euklidesow� z iloczynem skalarnym $<,>$. Istnieje w�wczas
algorytm (ortogonalizacja Gramma-Schmidta) pozwalaj�cy zamieni� dowoln� baz�
$(w_{1}$, $w_{2}$, $\dots$, $w_{n})$ w baz� ortogonaln�.
\end{tw}

\begin{definicja}[macierz ortogonalna]
Macierz kwadratow� o wsp�czynnikach rzeczywistych spe�niej�c� warunek 
$AA^{T}=I$ nazywamy macierz� ortogonaln�.
\end{definicja}

\begin{stw}
A-macierz ortogonalna, B-macierz ortogonalna tego samego stopnia n. W�wczas AB i BA macierz ortogonalna.
\end{stw}

\begin{definicja}[grupa macierzy ortogonalnych]
Zbi�r macierzy ortogonalnych stopnia n nazywamy grup� macierzy ortogonalnych i oznaczamy przez $O(n)$
$$O(n)=\{ A\in GL(n,\mathbb{R} ) | AA^{T}=I_{n}\} $$
\end{definicja}

\begin{stw}
Zbi�r macierzy odwracalnych $B(n)$ (tzn. nale��cych do $GL(n,\mathbb{R} )$) spe�niaj�cych warunek
$\forall _{x,y\in \mathbb{R} }\forall _{A\in B(n)}\quad <x,y>=<Ax,Ay>$
jest dok�adnie zbiorem macierzy ortogonalnych $(B(n)=O(n))$.
\end{stw}

%% wyk�ad 26
\section{Wyk�ad}

\begin{tw}
Niech b�dzie dana macierz $A\in M_{n,n}(\mathbb{R} )=M(n,R)$. Nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $A\in O(n)$ (macierze ortogonalne),
\item[ (2) ] $<Ae_{i},Ae_{j}>=\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 0,i\neq j \\ 1,i=j \end{array} \right.$
\item[ (3) ] Je�eli uk�ad wektor�w $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ jest baz� ortogonaln� przestrzeni $\mathbb{R} ^{n}$,
to uk�ad wektor�w $(T_{A}(v_{1}),T_{A}(v_{2}),\dots ,T_{A}(v_{n}))$ jest baz� ortogonaln� przestrzeni
$\mathbb{R} ^{n}, \quad T_{a}:\mathbb{R} ^{n} \to \mathbb{R} ^{n}, \quad T_{a}(v)=Av$
\item[ (4) ] Wiersze macierzy A s� baz� ortonormaln� $\mathbb{R} ^{n}$,
\item[ (5) ] Kolumny macierzy A s� baz� ortonormaln� $\mathbb{R} ^{n}$.
\end{itemize}
\end{tw}

\subsection{Formy hermitowskie}

\begin{definicja}
Niech V-przestrze� liniowa wymiaru n nad cia�em liczb zespolonych $\mathbb{C}^{n}$.
Forma $\beta :V\times V\to \mathbb{C} $ jest form� hermitowsk�, je�li spe�nia:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $\forall _{v_{1},v_{2}\in V}\beta (v_{1},v_{2})= \overline{\beta (v_{1},v_{2})}$
\item[ (2) ] $\forall _{v_{1},v_{2},v_{3}\in V}\beta (v_{1},v_{2},v_{3})=\beta (v_{1},v_{3})+\beta (v_{2},v_{3})$
\item[ (3) ] $\forall _{v_{1},v_{2},v_{3}\in V}\beta (v_{1},v_{2},v_{3})=\beta (v_{1},v_{2})+\beta (v_{1},v_{3})$
\item[ (4) ] $\forall _{v\in V} \beta (v,v)\ge 0$
\item[ (5) ] $\beta (v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{definicja}[iloczyn skalarany hermitowski]
Form� hermitowsk� $\beta\colon\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}$ dan� wzorem:
$\beta (x,y) = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\overline{y}_{i}$, b�dziemy nazywa� iloczynem skalarnym hermitowskim.
\end{definicja}


\begin{definicja}[norma hermitowska]
Norm� indukow� przez iloczyn skalarny hermitowski $\beta$ z poprzedniej definicji, b�dziemy
nazywa� norm� hermitowsk�. Dla dowolnego $v\in\mathbb{C}^{n}$ norm� oznaczamy $\| v\|$. Przyjmuje
ona warto��: $$\| v\| = \sqrt{\beta(v,v)} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}v_{i}\overline{v}_{i}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}|v_{i}|^{2}}.$$

\end{definicja}

\begin{definicja}
Niech $\dm _{\mathbb{C} } V=n,$, $\beta\colon V\times V\to \mathbb{C} $ b�dzie form� hermitowsk�.
Uk�ad wektor�w $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ nazywamy uk�adem ortonormalnym (ze wzgl�du na form� hermitowsk� $\beta $), je�li:
$$\forall _{i,j} \quad \beta(v_{i},v_{j})=0 \ \mathrm{,gdy} \ i\neq j$$
$$\forall _{i} \quad \sqrt{\beta(v_{i},v_{i})} =\| v_{i}\| =1$$
$$\forall _{v,w\in V} \quad \varphi (v,w)=\| v-w\|,$$ 
gdzie $\varphi$ to metryka indukowana przez norm� $\|\ \|$ na przestrzeni $V$.
\end{definicja}

\begin{definicja}[grupa macierzy unitarnych]
Zbi�r macierzy unitarnych stopnia n to zbi�r:
$$U(n) = \{ A\in M(n,\mathbb{C}) | A \overline{A}^{T}=I_{n}\}.$$
\end{definicja}

\begin{tw}
Niech dana b�dzie macierz $A\in M(n,\mathbb{C} )=M_{\mathbb{C} }(n,n)=M_{n,n}(\mathbb{C} )$ W�wczas nast�puj�ce warunki sa r�wnowa�ne:
\begin{itemize}
\item[ (1) ] $A\in U(n)$
\item[ (2) ] $\beta (Ae_{i},Ae_{j})=\delta _{ij}$ (gdzie $\beta ((x_{i})(y_{j}))=\sum _{i,j=1}^{n} x_{i}\overline{y_{j}}$)
\item[ (3) ] Je�eli uk�ad wektor�w $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ jest baz� ortonormaln� w $\mathbb{C} ^{n}$ to uk�ad wektor�w: 
$(T_{A}(v_{1})$, $T_{A}(v_{2})$, $\dots$, $T_{A}(v_{n}))$ jest tak�e baz� ortonormaln�.
\item[ (4) ] wiersze macierzy A daj� uk�ad ortonormalny w $\mathbb{C} ^{n}$
\item[ (5) ] kolumny macierzy A daj� uk�ad ortonormalny w $\mathbb{C} ^{n}$
\end{itemize}
\end{tw}

\begin{stw}
\begin{itemize}
\item[ (1) ] Je�eli $A\in O(n)$ i $\lambda $ jest warto�ci� w�asn� macierzy A to $|\lambda |=1$
\item[ (2) ] Je�eli $A\in U(n)$ i $\lambda \in \mathbb{C} $ jest warto�ci� w�asn� macierzy A to $|\lambda |=1$
\end{itemize}
\end{stw}

\begin{tw}
Niech $V$ - sko�czenie wymiarowa przestrze� liniowa nad cia�em zespolonym, oraz
niech $\beta:V\times V\to \mathbb{C}$ forma hermitowska.
Niech b�dzie dany (endomorfizm) homomorfizm $T:V\to V$, kt�ry zachowuje form� 
$\beta$. $\beta (v,w)=\beta (T(v),T(w))$. Wtedy istnieje baza ortonormalna 
$S=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ przestrzeni V dla kt�rej macierz T w bazie S 
jest diagonalna.
\end{tw}

%% wyk�ad 27
\section{Wyk�ad}

\begin{tw}
Niech $A\in U(n)$ b�dzie dowoln� macierz� unitarn�.
$$U(n)=\{ A\in GL(n,\mathbb{C}) | A\overline{A}^{T}=I\}$$
Wtedy istnieje, taka macierz unitarna $P\in U(n)$, �e
$$P^{-1}AP=D=\left[ \begin{array}{cccc} \lambda _{1} & & & 0 \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda _{n} \end{array} \right] \ \textrm{gdzie} \ |\lambda _{i}|=1 , \ i=1,2,\dots ,n.$$
\end{tw}

\begin{tw}
$A\in O(n)$ Istnieje macierz ortogonalna $P\in O(n)$, �e macierz $P^{-1}AP$ ma posta�:
$$P^{-1}AP=\left[ \begin{array}{ccccc} I_{r} & & & & 0 \\ & -I_{s} & & & \\ & & \left[ \begin{array}{cc} cos\alpha _{1} & -sin\alpha _{1} \\ sin\alpha _{1} & cos\alpha _{1} \end{array} \right] & & \\ & & & \ddots & \\ 0 & & & & \left[ \begin{array}{cc} cos\alpha _{t} & -sin\alpha _{t} \\ sin\alpha _{t} & cos\alpha _{t} \end{array} \right] \end{array} \right] $$
\end{tw}


\end{document}
