%%
%% (c) 2007 Witold Bolt <ja@hope.art.pl>
%%
%% kodowanie UTF-8

\documentclass[12pt,a4paper,twoside,titlepage]{book}

\usepackage[left=1.6in,right=.8in,top=1.5in,bottom=1.5in,twoside]{geometry}

%% ustawienie strony tytułowej:
\makeatletter
\def\thickhrulefill{\leavevmode \leaders \hrule height 1pt\hfill \kern \z@}
\renewcommand{\maketitle}{\begin{titlepage}%
    \let\footnotesize\small
    \let\footnoterule\relax
    \parindent \z@
    \reset@font
    \null
    \vskip 10\p@
    \hbox{\mbox{\hspace{2em}}%
      \vrule depth 0.2\textheight%
      \mbox{\hspace{2em}}
      \vbox{
        \vskip 40\p@
        \begin{flushleft}
          \Large \@author \par
        \end{flushleft}
        \vskip 80\p@
        \begin{flushleft}
          \huge \bfseries \@title \par
        \end{flushleft}
        \vskip 200\p@
        \begin{flushleft}
          \small \bfseries \@date \par
        \end{flushleft}
        \vfil
        }}
    \null
  \end{titlepage}%
  \setcounter{footnote}{0}%
}
\makeatother

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{url}
\usepackage[pdftex,linkbordercolor={0 0.9 1}]{hyperref}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb,url}
\usepackage{enumerate}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{stw}[tw]{Stwierdzenie}
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\newtheorem{lemat}[tw]{Lemat}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{df}[tw]{Definicja}
\newtheorem{ex}[tw]{Przykład}
\newtheorem{uw}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{wn}[tw]{Wniosek}
\newtheorem{zad}{Zadanie}

\title{Geometria różniczkowa}
\author{Witold Bołt\\
na podstawie wykładu\\ dr. hab. Andrzeja Szczepańskiego, prof. UG}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\pagestyle{empty}

\paragraph{Uwaga!} Jeśli zauważysz jakieś błędy to pisz: Witold Bołt $\langle$\url{ja@hope.art.pl}$\rangle$. Aktualną wersję tego dokumentu można zawsze znaleźć w Internecie na stronie domowej autora: \url{http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/}.
\\[13cm]
Dziękuję wszystkim, którzy swoją cierpliwością i jakąkolwiek pomocą przyczynili się do powstania tego tekstu. \\[1cm] Witold Bołt

\tableofcontents

\chapter{Teoria krzywych}
\pagestyle{headings}

\paragraph{Oznaczenia.} Literą $I$ będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) $[a,b]$ w $\mathbb{R}$.
Niech dana będzie funkcja różniczkowalna $f\colon I\to\mathbb{R}^{n}$, oraz niech $t_0\in I$.
Pochodną $f$ w punkcie $t_0$ oznaczamy $f'(t_0)$ i rozumiemy jako wektor: $\lim_{h\to 0}\frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$.

\section{Podstawowe definicje}

\begin{df}[krzywa i parametryzacja krzywej]
Krzywą $\gamma$ w przestrzeni  $\mathbb{R}^{n}$ nazywamy dowolny ciągły obraz
odcinka $I=[a,b]$.

Funkcję ciągłą $c\colon I\to\mathbb{R}^n$ nazywamy parametryzacją krzywej $\gamma$, o ile
$\gamma = c(I)$.
\end{df}

W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe) krzywą
i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzywe oznaczać
będziemy literami $c$ lub $\gamma$.

Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywe są klasy $C^{m}$ dla
pewnego $m>0$.

\begin{df}[krzywa regularna]
Mówimy, że krzywa $\gamma$ jest regularna (ma opis regularny), gdy:
\[ \forall_{t\in I} \gamma'(t)\neq 0. \]
\end{df}

\begin{ex}
Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: $\gamma_{1}(t) = (\cos t, \sin t)$, $t\in[0,2\pi]$;
$\gamma_{2}(t) = (\cos -2t, \sin -2t)$, $t\in[0,\pi]$. Obie parametryzacje opisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = (1,0)$,
oraz $\gamma_{1}'(0) = (0,1)$, $\gamma_{2}'(0) = (0,-2)$. Pochodne wyznaczają tutaj
wektory styczne. W obu przypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od
parametryzacji.
\end{ex}

\begin{df}[długość krzywej]
Niech $\gamma:[\alpha, \beta]\to\mathbb{R}^n$ będzie krzywą. Długość krzywej $\gamma$ oznaczamy
przez $L(\gamma)$ i definiujemy:
\[ L(\gamma) = \int_{\alpha}^{\beta} |\gamma'(t)| dt \]
\end{df}

\begin{df}[parametryzacja łukowa]
Parametryzacja krzywej $\gamma\colon I\to\mathbb{R}^{n}$ jest łukowa o ile:
\[ \forall_{t_1 < t_2 \in I}\ L(\gamma|_{[t_1,t_2]})=t_2 - t_1 \]
\end{df}

\section{Podstawowe własności, wzory Freneta}
\begin{stw}
\begin{enumerate}
\item Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wtedy i tylko wtedy gdy
$\forall_{t\in I}\ |\gamma'(t)| = 1$.

\item Każda krzywa regularna klasy $C^1$ ma łukowy opis parametryczny.
\end{enumerate}
\end{stw}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:
\[ |\gamma'(t)| = \frac{d}{dt}\int_{t_0}^{t} |\gamma'(s)| ds = \frac{d}{dt}|t-t_0| = 1\]
czyli rzeczywiście dla dowolnego $t\in I$ zachodzi $|\gamma'(t)|=1$.

Załóżmy, teraz że zachodzi $\forall_{t\in I} |\gamma'(t)| = 1$ i sprawdzimy, czy krzywa
$\gamma$ ma opis łukowy. Ustalmy $t_0 \in I$. Dla $t\geq t_0$ mamy:
\[ L(\gamma|_{[t_{0},t]}) = \int_{t_0}^{t}|\gamma'(s)| ds = \int_{t_0}^{t} 1 ds = t-t_0 \]
czyli krzywa ma parametryzacje łukową.

\item Niech $c(t)$ krzywa regularna, oraz $t_0\in I$. Zdefiniujmy funkcję $s\colon I\to \mathbb{R}$
wzorem:
\[ s(t) = \operatorname{sgn} (t-t_0) \int_{t_0}^{t}|c'(\tau)| d\tau. \]
Funkcja $s$ jest różniczkowalna, ponadto zachodzi: $\frac{ds}{dt} = \left|\frac{dc}{dt}\right|$.
Pochodna $c$ nie zeruje się, więc pochodna $s$ jest zawsze dodatnia, stąd $s$ monotoniczna (rosnąca).
Istnieje więc funkcja odwrotna $t(s) = s^{-1}(t)$. Niech $\gamma(s) = c(t(s))$. Sprawdzimy,
że taka $\gamma(s)$ ma opis łukowy.

\[ \left| \frac{d\gamma}{ds} \right| = \left| \frac{dc}{dt} \right| \cdot \left| \frac{dt}{ds} \right| =
\left| \frac{ds}{dt} \right| \cdot \left| \frac{dt}{ds} \right| = 1. \]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item Krzywa (odcinek) $c(t) = (\alpha t + x_0, \beta t + y_0)$ jest łukowo sparametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy
$\alpha^{2} + \beta^{2} = 1$.
\item Łukowy opis parametryczny okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $R$ ma postać:
\[ c(s) = \left(R\cos\frac{s}{r},R\sin\frac{s}{R}\right)\quad s\in[0,2\pi R] \]
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{stw}
Jeżeli $c\colon I \to \mathbb{R}^n$ jest krzywą różniczkowalną oraz $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ jest
odwzorowaniem różniczkowalnym, to:
\[ \forall_{t_0\in I} (f\circ c)'(t_0) = df_{c(t_0)}(c'(t_0)).\]
\end{stw}

\begin{proof}
Niech $f=(f_1,\ldots,f_m)$, gdzie $f_i\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. Podobnie niech
$c = (x_1,\ldots,x_n)$. Zachodzi wówczas: $(f\circ c)' = ((f_1\circ c)',\ldots,(f_m\circ c)')$.
Ustalmy $1\leq k \leq m$. Mamy:
\[ \left(\frac{d}{dt}(f_k\circ c)\right)(t_0) = \sum_{i=0}^{k}\frac{\partial f_k}{\partial x_i}(c(t_0))\frac{dx_i}{dt}(t_0),\]
z czego wynika, że:
\[(f\circ c)'(t_0) = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(c(t_0))\right]_{i,j}\begin{bmatrix}x_1'(t_0) \\ \vdots \\ x_n'(t_0) \end{bmatrix}=
df_{c(t_0)}(c'(t_0)).\]
\end{proof}

\begin{df}[orientacja dodatnia i ujemna]
Układ $v_1,\ldots,v_n\in\mathbb{R}^n$ ma orientację ujemną (dodatnią), gdy $\det (v_1,\ldots,v_n)<0$
($\det (v_1,\ldots,v_n)>0$).
\end{df}

\begin{wn}
W przypadku gdy $n=1$ wybór orientacji, to wybór kierunku poruszania się po prostej.
\end{wn}

Zakładamy, że dane są krzywa $c\colon I\to\mathbb{R}^2$, $c(s_0)=p$. Oznaczmy
kąt między wektorami stycznymi do krzywej $c$ w punktach $s_0$ i $s_0 + \Delta s$ przez:
$\Delta_p\varphi = \sphericalangle(\dot{c}(s_0), \dot{c}(s_0+\Delta s))$,
gdzie $\dot{c}$ oznacza pierwszą pochodną $c$ względem $s$.

\begin{df}[krzywizna krzywej]
Jeśli $c$ jest zorientowaną krzywą płaską klasy $C^2$, to wielkość:
\[ K_c(p) = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta_{p}\varphi}{\Delta s},\]
nazywamy krzywizną krzywej $c$ w punkcie $p$.
\end{df}

\begin{df}[reper Freneta]
Niech $c$ będzie sparametryzowaną łukowo płaską krzywą zorientowaną dodatnio, a $e_1(t), e_2(t)$
dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną w $\mathbb{R}^2$, taką, że $e_1(t) = c'(t)$. Wtedy
układ $e_1(t), e_2(t)$ nazywamy reperem Freneta krzywej $c$ w punkcie $c(t)$.
\end{df}

\begin{ex}
Niech $c\colon I\to\mathbb{R}^2$ krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzorem $c(t) = (x(t), y(t))$.
Przyjmijmy $e_1(t) = (\dot{x}(t), \dot{y}(t))$, oraz $e_2(t) = (-\dot{y}(t), \dot{x}(t))$. Układ
$e_1, e_2$ jest reperem Freneta krzywej $c$, ponieważ $\langle e_1, e_2 \rangle = 0$ oraz
$\det [e_1,e_2] = 1$.
\end{ex}

\begin{tw}
Niech $c$ krzywa płaska klasy $C^2$ sparametryzowana łukowo. Wówczas:
\begin{enumerate}
\item Krzywizna jest określona w każdym punkcie.
\item Jeśli $e_1, e_2$ reper Freneta, to zachodzi:
\begin{align*}
K_c(c(t)) e_2(t) & = \ddot{c}(t) \\
K_c(c(t))   & = \langle \ddot{c}(t), e_2(t) \rangle \\
|K_c(c(t))| & = |\dot{c}(t)|
\end{align*}
\item Reper Freneta $e_1, e_2$ spełnia:
\[
\begin{cases}
\ddot{c} = e_1' = K_ce_2 \\
e_2' = - K_c e_1
\end{cases} \]
co można zapisać w postaci macierzowej jako:
\[
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}e_1\\ e_2\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & K_c \\ -K_c & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}e_1 \\ e_2 \end{bmatrix}
\]
\end{enumerate}
\end{tw}

\begin{proof}
Wektory $e_1(s), e_2(s)$ stanowią bazę ortonormalną $\mathbb{R}^2$. Zapiszmy więc wektor
$e_1(s+\Delta s)$ w tej bazie:
\[ e_1(s+\Delta s) = \langle e_1(s+\Delta s), e_1(s)\rangle e_1(s) + \langle e_1(s+\Delta s),e_2(s)\rangle e_2(s). \]
Niech $\Delta\varphi$ oznacza kąt $\sphericalangle(e_1(s), e_1(s+\Delta s))$. Wektory
$e_1(s), e_2(s)$ są ortonormalne (dla każdego $s$), czyli w szczególności mają długość 1.
Stąd iloczyn skalarny wektorów $e_1(s)$ i $e_1(s+\Delta s)$ równy jest kosinusowi kąta między nimi:
\[\langle e_1(s+\Delta s), e_1(s)\rangle = \cos \Delta\varphi. \]
Podobnie:
\[\langle e_1(s+\Delta s), e_2(s)\rangle = \cos \sphericalangle(e_1(s+\Delta s), e_2(s)). \]
Zauważmy również, że:
\[\sphericalangle(e_1(s+\Delta s), e_2(s)) =
\sphericalangle(e_1(s), e_2(s)) + \sphericalangle(e_1(s+\Delta s), e_1(s)) = \pi - \Delta\varphi\]
Mamy więc, że:
\[\langle e_1(s+\Delta s), e_2(s)\rangle = \sin \Delta\varphi. \]
Czyli ostateczne:
\[e_1(s+\Delta s) = \cos \Delta\varphi e_1(s) + \sin\Delta\varphi e_2(s).\]

Sprawdzamy warunki z punktu $2$ w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodną krzywej $c$.
Z definicji $e_1(s)$ wiemy, że $\ddot{c} = e_1'$. Policzymy więc pierwszą pochodną $e_1$:
\[ \frac{de_1}{ds} = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{e_1(s+\Delta s) - e_1(s)}{\Delta s} = \]
Stosujemy teraz wyliczoną wcześniej postać $e_1(s+\Delta s)$:

\begin{gather*}
= \lim_{\Delta s\to 0}\frac{\cos\Delta\varphi e_1(s) + \sin\Delta\varphi e_2(s) - e_1(s)}{\Delta s}  \\
= \lim_{\Delta s\to 0}\frac{\cos\Delta\varphi - 1}{\Delta s}e_1(s) + \lim_{\Delta s\to 0}\frac{\sin\Delta\varphi}{\Delta s}e_2(s) \\
= \left(\lim_{\Delta\varphi\to 0}\frac{\cos\Delta\varphi - 1}{\Delta\varphi}\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta s} \right)e_1(s) + \left(\lim_{\Delta\varphi\to 0}\frac{\sin\Delta\varphi}{\Delta\varphi}\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}\right)e_2(s) \\
= 0\cdot e_1(s) + K_c(c(s))e_2(s)
\end{gather*}

Mamy więc:
\[ \langle c'', e_1 \rangle = \langle K_c e_2, e_2 \rangle = K_c, \]
co daje:
\[ |c''|^2 = \langle c'', c'' \rangle = K_c^2\langle e_2, e_2\rangle = K_c^2\]

W ten sposób udowodniliśmy punkt 2. Przechodzimy do dowodu punktu 3. Wektory $e_1, e_2$ stanowią bazę, więc
wektor $\dot{e}_i$ możemy zapisać w tej bazie:
\[ \dot{e}_i(t) = w_{i1}(t)e_1(t) + w_{i2}(t)e_2(t) \]
gdzie $w_{ij}(t)\in\mathbb{R}$. Korzystamy teraz z faktu, że $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j\end{cases}$.
Licząc obustronnie pochodną w tej równości otrzymujemy:
\[ 0 = \frac{d}{dt} \langle e_i, e_j \rangle = \langle \dot{e}_i, e_j\rangle + \langle e_i, \dot{e}_j\rangle \]
Podstawimy teraz do powyższego wzoru, $\dot{e}_1$ przedstawione w bazie $e_1, e_2$:
\[ 0 = \langle w_{11}e_1 + w_{12}e_2, e_2 \rangle + \langle e_1, w_{21}e_1, w_{22}e_2 \rangle = w_{12} + w_{21} \]
Podobnie wyliczamy $\frac{d}{dt} \langle e_1, e_1 \rangle$:
\[ 0 = \langle \dot{e}_1, e_1 \rangle + \langle e_1, \dot{e}_1 \rangle = w_{11} + w_{11} = 0 \]
Z powyższych rozważań wynika, że:
\[ \begin{cases} w_{21} = - w_{12} \\ w_{11} = w_{22} = 0 \end{cases} \]
Co daje nam:
\[ \begin{cases} \dot{e}_1 = w_{12}e_2 \\ \dot{e}_2 = - w_{12}e_1 \end{cases} \]
Z wcześniej udowodnionych własności wynika, że $\dot{e}_1 = \ddot{c} = K_ce_2 = w_{12}e_2$, czyli
$w_{12} = K_c$.
\end{proof}

\section{Wzory Freneta w $\mathbb{R}^n$}

\begin{df}[krzywa niezdegenerowana]
Krzywa regularna jest niezdegenerowana jeśli $\forall_{t\in I}$ wektory $c'(t), c''(t),\ldots, c^{(n)}(t)\in\mathbb{R}^{n}$ są liniowo niezależne.
\end{df}

\begin{df}[reper Freneta]
Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanej krzywej $c\colon I\to\mathbb{R}^n$ nazywamy układ funkcji $e_1,\ldots, e_n\colon I \to \mathbb{R}^{n}$, taki, że funkcje $e_{1},\ldots, e_{n-1}$ powstają z układu $c',\ldots, c^{(n-1)}$ przez jego ortonormalizację, a funkcję $e_n$ wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.
\end{df}

\begin{uw}
Można pokazać, że:
\[
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & K_1 & 0 & \ldots & 0 \\ -K_1 & 0 & K_2 & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & -K_{n-1} & 0  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_n\end{bmatrix}, \]
gdzie $K_i$ jest $i$-tą krzywizną krzywej $c$.
\end{uw}

\section{Krzywe w przestrzeni $\mathbb{R}^3$}

Dana jest krzywa w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ z parametryzacją łukową $c\colon I\to\mathbb{R}^3$.
Układ wektorów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną
w poprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodatnio, to mając
dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: $e_3 = e_1 \times e_2$.

Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:

\[
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}
e_1 \\ e_2 \\ e_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & k & 0 \\
-k & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e_1 \\ e_2 \\ e_3
\end{bmatrix}
\]

Liczby $k$ oraz $\tau$ nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.
\begin{df}[trójścian Freneta]
Niech $c$ krzywa w $\mathbb{R}^3$, $p\in\mathbb{R}^3$, oraz $e_1, e_2, e_3$ reper Freneta
krzywej $c$ w punkcie $p$. Definiujemy następujące płaszczyzny:
\begin{itemize}
\item ściśle styczna -- rozpięta na wektorach $e_1, e_2$,
\item normalna -- rozpięta na wektorach $e_1, e_3$,
\item prostująca -- rozpięta na wektorach $e_2, e_3$.
\end{itemize}
Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.
\end{df}

\begin{df}{krzywa płaska}
Jeśli krzywa $c\colon I\to\mathbb{R}^3$ leży w pewnej płaszczyźnie, to mówimy, że jest
to krzywa płaska.
\end{df}

\begin{fakt}
Niech $c\colon I\to\mathbb{R}^3$ sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa.
Jeśli wektor $e_3$ w układzie Freneta jest stały, to $c$ jest krzywą płaską.
\end{fakt}

\begin{proof}
Zakładamy, że $e_3$ stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynu skalarnego:
\[ \langle c, e_3 \rangle' = \langle c', e_3 \rangle + \langle c,e_3'\rangle \]
Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:
\[ \langle c', e_3 \rangle = 0 \]
natomiast z założeń wiemy, że $e_3$ jest stały, więc $e_3' = 0$. Wiemy więc, że:
\[ \langle c,e_3\rangle' = 0 \Rightarrow \langle c,e_3 \rangle = D \in\mathbb{R} \textrm{-- stała}. \]
Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację $c$ postaci:
\[ c(t) = (x(t), y(t), z(t))\]
oraz, że wektor $e_3$ jest postaci:
\[ e_3(t) = (A,B,C). \]
Wiemy więc, że:
\[ \langle c,e_3\rangle = \langle (x(t),y(t),z(t)), (A,B,C)\rangle = D\]
a to dokładnie oznacza, że:
\[ Ax(t) + By(t) + Cz(t) = D \]
co dowodzi, że każdy punkt krzywej $c$ leży na płaszczyźnie danej równaniem:
\[ Ax+By+Cz = D \]
\end{proof}

\begin{stw}
Niech $c\colon I\to\mathbb{R}^3$ będzie łukowo sparametryzowaną krzywą niezdegenerowaną.
Następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $c$ jest krzywą płaską,
\item $\tau = 0$,
\item $c$ leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,
\item wszystkie płaszczyzny styczne do $c$ pokrywają się.
\end{enumerate}
\end{stw}

\begin{proof}
Części $(iii) \iff (iv)$ oraz $(iii) \Rightarrow (i)$ są oczywiste.

Udowodnimy teraz $(i) \Rightarrow (ii)$. Z wzorów Freneta mamy, że:
\[e_3' = -\tau e_2.\]
Zakładamy, że $c$ jest krzywą płaską. Wiemy więc, że $e_3$ stały, czyli  $e_3' = 0$.
Ponieważ $e_2$ nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że $\tau = 0$.

Wynikanie $(ii) \Rightarrow (i)$ otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z
równości $e_3' = -\tau e_2$.

Pozostało do pokazania, że z punktu $(i)$ wynika $(iii)$. Załóżmy, że $t_0 \in I$.
Jeśli $c$ jest krzywą płaską, to płaszczyzna $P$ zawierająca $c$ i płaszczyzna $\Pi$ równoległa
do płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie $c(t_0)$ i zawierająca ten punkt są równoległe (wektor
$e_3(t_0)$ jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ $c(t_0)\in P \cap \Pi$, oraz
$P$ i $\Pi$ równoległe, to $P=\Pi$.
\end{proof}

\begin{uw}
Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni $\mathbb{R}^3$ można korzystać
z wzorów:

\begin{align*}
k = & \frac{|c' \times c''|}{|c'|^3} &
\tau = & \frac{\langle c'\times c'', c'''\rangle}{|c' \times c''|^2} = \frac{det[c',c'',c''']}{|c'\times c''|^2}
\end{align*}

\end{uw}

\chapter{Teoria powierzchni}

\section{Rozmaitości różniczkowe}

\begin{df}[mapa]
Niech $X$ będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na $X$ nazywamy dowolny homeomorfizm $\Phi_{\alpha}\colon U_{\alpha}\to W_{\alpha}$,
gdzie $U_{\alpha}$ jest otwartym podzbiorem $X$, a $W_{\alpha}$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$.
\end{df}

\begin{df}[atlas]
Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topologicznej $X$:
\[ \left\{\Phi_{\alpha}\colon U_{\alpha}\to W_{\alpha}\right\}_{\alpha\in I} \]
taki, że $\bigcup_{\alpha\in I} U_{\alpha} = X$.

Mówimy, że atlas jest gładki (klasy $C^{r}$) jeśli funkcje $\Phi_{\beta}\circ \Phi_{\alpha}^{-1}\colon \Phi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap V_{\beta}) \to \Phi_{\beta}(U_{\alpha}\cap V_{\beta})$
są gładkie (klasy $C^r$).
\end{df}

\begin{df}
Niech $\{ U_{\alpha}, \Phi_{\alpha} \}$, $\{V_{\beta}, \eta_{\beta}\}$ będą atlasami odpowiednio na przestrzeni topologicznej
na $X$ i $Y$. Odwzorowanie $f\colon X\to Y$ jest gładkie (klasy $C^r$) jeśli funkcje: $\eta_{\beta}\circ f\circ \Phi_{\alpha}^{-1}|_{\Phi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap f^{-1}(V_{\beta}))}$ są
gładkie (klasy $C^r$).
\end{df}

\begin{df}[atlasy równoważne]
Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej $X$: $\{\Phi_{\alpha}\}, \{\Psi_{\beta}\}$ są równoważne jeśli identyczność na $X$
jest funkcją gładką.
\end{df}

\begin{df}[rozmaitość]
Gładką (klasy $C^r$) $n$-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych.
Klasy równoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości $X$.
\end{df}

\begin{uw} Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokalnie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny sens wszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozmaitości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment ,,zwykłej'' przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$.
\end{uw}

\begin{ex}
Typowe rozmaitości, to: $\mathbb{R}^n, S^n, \mathbb{R}P^n, \mathbb{C}P^{n}, \mathbb{H}^n, D^n,$ torus.
\end{ex}

\section{Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna}

\begin{df}[powierzchnia]
Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójna rozmaitość $2$-wymiarowa.
\end{df}

W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemy powierzchnie zanurzone w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$.

\begin{df}[wektor styczny i przestrzeń styczna]
Wektorem stycznym do powierzchni $M$ w punkcie $p$ nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie
do pewnej krzywej różniczkowalnej $c\colon I\to M$. Zbiór wektorów stycznych do $M$ w punkcie
$p$ nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez $T_{p}M$.
\end{df}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item Niech $p\in\mathbb{R}^2$. Wówczas $T_p\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^2$.
\item Niech $M$ pewna powierzchnia, oraz niech $U\subset M$ otwarty, oraz $p\in U$. Wówczas
zachodzi: $T_pU = T_pM$.
\item Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:
\[ r(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \]
gdzie $(u,v) \in U \subset \mathbb{R}^2$, zbiór $U$ jest otwarty, a funkcje $x,y,z$ są
różniczkowalne. Wprowadźmy oznaczenia:
\[
\begin{array}{ccc}
x_u = \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) & y_u = \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) &z_u = \frac{\partial z}{\partial u}(u,v)  \\
x_v = \frac{\partial x}{\partial v}(u,v) & y_v = \frac{\partial y}{\partial v}(u,v) &z_v = \frac{\partial z}{\partial v}(u,v)
\end{array}
\]
Wówczas wektory $dr(e_1) = [x_u, y_u, z_u]$, $dr(e_2) = [x_v, y_v, z_v]$ stanowią bazę przestrzeni stycznej.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{df}[pierwsza forma kwadratowa]
Pierwszą formą kwadratową powierzchni $M$ w punkcie $p$ nazywamy iloczyn skalarny:
\[ \langle,\rangle\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb{R} \]
\end{df}

\begin{df}[metryka Riemanna]
Metryką Riemanna na powierzchni $M$ nazywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu
punktowi $p\in M$ iloczynu skalarnego na przestrzeni $T_pM$.
\end{df}

Standardową bazą przestrzeni stycznej $T_{p}M$ jest $\frac{\partial}{\partial x_{i}}$. Rozważmy macierz
$[g_{ij}]_{i,j=1,2}$, zdefiniowaną jako: $g_{ij} = \langle \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}} \rangle$ (gdzie iloczyn skalarny $\langle , \rangle$ to standardowy iloczyn skalarny z $\mathbb{R}^{n}$). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy $g_{ij} = g_{ji}$. Macierz ta wyznacza jednoznacznie metrykę Riemanna.
Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe $c,d$ w M. Ustalmy dowolny punkt $p\in M$. Wtedy oczywiście:
\[ c'(p) = c_{1}(p)\frac{\partial (p)}{\partial x_{1}} + c_{2}(p)\frac{\partial (p)}{\partial x_{2}} \]
\[ d'(p) = d_{1}(p)\frac{\partial (p)}{\partial x_{1}} + d_{2}(p)\frac{\partial (p)}{\partial x_{2}} \]
Aby policzyć iloczyn skalarny (wyznaczony przez metrykę Riemanna) wystarczy policzyć:
\begin{gather*}
\langle c'(p),d'(p) \rangle = \left\langle c_{1}\frac{\partial (p)}{\partial x_{1}} + c_{2}\frac{\partial (p)}{\partial x_{2}} , d_{1}\frac{\partial (p)}{\partial x_{1}} + d_{2}\frac{\partial (p)}{\partial x_{2}} \right\rangle = \\
= g_{11}c_{1}d_{1} + g_{12}c_{1}d_{2} + g_{21}c_{2}d_{1} + g_{22}c_{2}d_{2} = \sum_{i,j=1}^{2}g_{ij}c_{i}d_{j}
\end{gather*}
Wobec tego iloczyn skalarny wyznaczony przez metrykę Riemanna odpowiada formie dwuliniowej o macierzy $[g_{ij}]_{i,j=1,2}$.

\begin{df}[pierwsza forma kwadratowa]
Macierz $[g_{ij}]$ zdefiniowana powyżej wyznacza formę kwadratową, którą będziemy nazywać pierwszą formą kwadratową. Tradycyjnie jej macierz oznacza się: $\begin{bmatrix} E & F \\ F & G\end{bmatrix}$.
\end{df}

Określenie metryki Riemanna, pozwala nam zdefiniować długość krzywej na powierzchni. Niech $c\colon [a,b]\to U\subset M$ będzie dowolną krzywą różniczkowalną, wtedy długość tej krzywej wynosi:

\[ L(c) = \int_{a}^{b}\langle c'(t), c'(t) \rangle^{\frac{1}{2}}dt = \int_{a}^{b}\left(\sum_{i,j=1}^{2}\big(g_{ij}(c(t))c_{i}'(t)c_{j}'(t)\big)\right)^{\frac{1}{2}}dt \]

\section{Geodezyjne}

\begin{df}[geodezyjna]
Niech $c\colon I\to M$ będzie parametryzacją krzywej, proporcjonalną do długości. Jeśli
dla każdego $t_0\in I$ istnieje $\delta > 0$ taka, że każdy odcinek $c|_{[t_0,t_1]}$ długości
mniejszej niż $\delta$ jest najkrótszą krzywą łączącą $c(t_0)$ z $c(t_1)$, to mówimy, że
$c$ jest krzywą geodezyjną.
\end{df}

\begin{ex}
Rozważmy sferę dwuwymiarową w $\mathbb{R}^3$. Pomiędzy dwoma punktami leżącymi na antypodach
możemy poprowadzić nieskończenie wiele geodezyjnych. Jeśli natomiast wybierzemy dwa punkty
leżące na równiku to istnieje dokładnie jedna geodezyjna łącząca te punkty.
\end{ex}

\begin{ex}
W przestrzeni $\mathbb{R}^2$ geodezyjne to odcinki.
\end{ex}

%\begin{df}[izometria]
%Jeśli $(X,d)$, $(X',d')$ są przestrzeniami metrycznymi, to odwzorowanie $f\colon X\to X'$
%jest izometrią, o ile:
%\[ \forall_{x,y\in X} d(x,y) = d'(f(x), f(y)).\]
%\end{df}

%\begin{uw}
%Izometrie zachowują geodezyjną.
%\end{uw}

\begin{tw}
Niech $M$ będzie powierzchnią, wówczas:
\begin{enumerate}[(i)]
\item dla każdego $p\in M$ i $v\in T_pM$ istnieje $\epsilon>0$ i dokładnie jedna, sparametryzowana
łukowo geodezyjna $c\colon (-\epsilon, \epsilon)\to M$ taka, że $c(0) = p$ i $c'(0)=v$;
\item dwa dowolne, dostatecznie bliskie punkty $M$ można połączyć dokładnie jedną, sparametryzowaną
łukowo geodezyjną.
\end{enumerate}
\end{tw}

\subsection{Równania różniczkowe geodezyjnych}\label{rr-geo}

Niech $[g_{ij}]$ oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez $[g^{ij}]$ będziemy oznaczać macierz odwrotną do $[g_{ij}]$.

\begin{df}[symbole Christoffela]
W ponieższych wzorach $i,j,k,s=1,2$.
\begin{enumerate}
\item Symbole Christoffela pierwszego rodzaju $\Gamma_{kij} = \frac{\partial g_{ij}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial g_{jk}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial g_{ki}}{\partial x_{j}},$
\item Symbole Christoffela drugiego rodzaju: $\Gamma^{k}_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{s=1}^{2}g^{ks}\Gamma_{jis}$.
\end{enumerate}
\end{df}

\begin{uw}
$\Gamma^{k}_{ij} = \Gamma^{k}_{ji}$.
\end{uw}

\begin{tw}
Niech $r\colon U\to M$ będzie lokalną parametryzacją (lokalną mapą), niech $c$ będzie krzywą leżącą w $r(U)$ i niech $r^{-1}(c(t)) = (x_{1}(t), x_{2}(t))$. Następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $c$ jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,
\item $c$ jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:
\[ \frac{d^{2}x_{k}}{dt^{2}} + \sum_{i,j=1}^{2}\Gamma_{ij}^{k} \frac{dx_{i}}{dt}\frac{dx_{j}}{dt} = 0 \]
dla $k=1,2$.
\end{enumerate}
\end{tw}

\section{Krzywizna powierzchni}
\subsection{Krywizna Gaussa}
\begin{df}[odwzorowanie sferyczne]
Odwzorowaniem sferycznym nazywamy ciągłe przekształcenie $n\colon M\to S^{2}$, które każdemu punktowi powierzchni $M\subset \mathbb{R}^{3}$ przyporządkowuje wektor normalny do $M$.
\end{df}

Jeśli dla danej powierzchni $M$ istnieje odwzorowanie sferyczne $n$, to mówimy, że powierzchnia $M$ jest zorientowana.

\begin{df}
Niech $c\colon I\to M$ dowolna krzywa, $p\in M$. Definiujemy odwzorowanie $dn_{p}\colon T_{p}M\to T_{n(p)}S^{2}$ wzorem $dn_{p}(c'(p)) = (n\circ c)'(p)$.
\end{df}

\begin{uw}
Odwzorowanie $dn_{p}$ jest liniowe.
\end{uw}

\begin{df}[krzywizna powierzchni]
Niech $M$ powierzchnia, $p\in M$. Niech $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty}$, będzie ciągiem otoczeń punktu $p$, których średnice dążą do zera. Liczbę:
\[ K_{M}(p) = \operatorname{sgn}(\det dn_{p}) \lim_{k\to\infty}\frac{\operatorname{pole} n(A_{k})}{\operatorname{pole} A_{k}} \]
nazywamy krzywizną powierzchni $M$ (krzywizną Gaussa) w punkcie $p$.
\end{df}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punktowi płaszczyzny odwzorowanie $n$ przyporządkowuje jeden, ten
sam wektor, więc pole $n(A_{k})$ zawsze wynosi $0$.
\item Krzywizna sfery o promieniu $R$ wynosi $\frac{1}{R^{2}}$, ponieważ dla dowolnego punktu $p$ sfery dwuwymiarowej o promieniu $R$, $n(p) = \frac{1}{R}p$, a co za tym idzie $\operatorname{pole}(A_{k}) = \frac{1}{R^{2}} \operatorname{pole}n(A_{k})$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{tw}\label{twkmp}
Jeśli $M$ jest rozmaitością dwuwymiarową klasy $C^{2}$, to:
\[ \forall_{p\in M} K_{M}(p) = \det dn_{p}.\]
\end{tw}

\begin{lemat}\label{twkmp-lem1}
Jeśli $L\colon V\to V$ jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwymiarowej, $v,w \in V$, to:
\[ \det[L(v), L(w)] = \det L \det[v,w]. \]
\end{lemat}

\begin{proof}
Niech $\alpha$ będzie bazą przestrzeni $V$, oraz niech dana będzie macierz $L$ w tej bazie: $M_{\alpha\alpha}(L) = [\alpha_{ij}]$. Niech $v=(v_{1},v_{2}), w=(w_{1},w_{2})$. Wtedy:
\[ \det [Lv,Lw] = \det\left([\alpha_{ij}]\begin{bmatrix}v_{1} & w_{1} \\ v_{2} & w_{2}\end{bmatrix}\right) = \det L \det [v,w].\qedhere\]
\end{proof}

\begin{lemat}\label{twkmp-lem2}
Załóżmy, że $U$ jest otwartym, spójnym podzbiorem $\mathbb{R}^{n}$. Funkcje $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ są ciągłe. Ponadto rodzina $\{\Delta_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}$ podzbiorów $U$ jest ciągiem otwartych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu $p$. Jeżeli $\operatorname{diam} \Delta_{k} = \delta(\Delta_{k}) \to 0$, to:
\[ \lim_{k\to\infty} \frac{\int_{\Delta_{k}} f dx}{\int_{\Delta_{k}} g dx} = \frac{f(p)}{g(p)}.\]
\end{lemat}

\begin{proof}
Niech $m_{k}, M_{k}$ oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość funkcji $f$ na zbiorze $\overline{\Delta_{k}}$ oraz niech $m(A)$ oznacza miarę Lebesguea zbioru $A$. Wtedy:
\[ \frac{\int_{\Delta_{k}} f dx}{m(\Delta_{k})} \in [m_{k},M_{k}] = f(\overline{\Delta_{k}}). \]
Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje $x_{k} \in \overline{\Delta_{k}}$ takie, że:
\[ \frac{\int_{\Delta_{k}} f dx}{m(\Delta_{k})} = f(x_{k}). \]
Analogicznie, dla $g$ istnieje $y_{k}$ takie, że: $g(y_{k}) = \frac{\int_{\Delta_{k}}g dx}{m(\Delta_{k})}.$ Ponieważ $\delta(\Delta_{k})\to 0$, oraz $p\in\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\overline{\Delta_{k}}$, więc $x_{k}\to p$ i $y_{k}\to p$, a stąd:
\[ \lim_{k\to\infty} \frac{\int_{\Delta_{k}}f dx}{\int_{\Delta_{k}}g dx} = \lim_{k\to\infty} \frac{\int_{\Delta_{k}} f dx}{m(\Delta_{k})}\cdot\frac{m(\Delta_{k})}{\int_{\Delta_{k}} g dx} = \lim_{k\to\infty}\frac{f(x_{k})}{g(y_{k}} = \frac{f(p)}{g(p)}\]
\end{proof}

\begin{proof}[Dowód twierdzenia $\ref{twkmp}$]
Zauważmy, że $\operatorname{sgn} dn_{p} = \operatorname{sgn} K_{M}(p)$, więc aby udowodnić twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że $|K_{M}(p)| = |\det(dn_{p})|$. Niech $r\colon D\to M$ będzie lokalną mapą w otoczeniu punktu $p$. Niech $\{D_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem otwartych, spójnych, ograniczonych podzbiorów $D$ takich, że $\delta(D_{k})\to 0$. Wtedy $r^{-1}(p)\in\bigcap_{k\in\mathbb{N}}D_{k}$. Z definicji iloczynu wektorowego $|r_{u} \times r_{v}|$ jest polem równoległoboku rozpiętego na $r_{u}$ i $r_{v}$ i jest ono równe $|det[r_{u},r_{v}]|$.

Zauważmy, że pole $n(r(D_{k})$ można wyrazić przez całkę:
\[\iint_{D_{k}}|\det[(n\circ r)u, (n\circ r)v]|du dv = \iint_{D_{k}}|\det[dn_{(u,v)}(r_{u}),dn_{(u,v)}(r_{v})]|du dv.\]
Niech $f(u,v) = |det[dn_{(u,v)}(r_{u}),dn_{(u,v)}(r_{v})]|$. Z lematu $\ref{twkmp-lem1}$ wynika:
\[ f(u,v) = \det dn_{(u,v)}|det[r_{u},r_{v}]|.\] Niech $g(u,v) = |\det[r_{u},r_{v}]|$.

\[ |K_{M}(p)| = \lim_{k\to\infty} \frac{\operatorname{pole} n(r(D_{k}))}{\operatorname{pole}r(D_{k})} = \lim_{k\to\infty}\frac{\iint_{D_{k}}f(u,v)dudv}{\iint_{D_{k}}g(u,v)dudv} = \frac{f(p)}{g(p)} = |\det dn_{p}|.\]
\end{proof}

\subsection{Druga forma kwadratowa i przekroje normalne}

\begin{df}[druga forma kwadratowa]
Odwzorowanie, które każdemu punktowi $p\in M$ przyporządkowuje formę kwadratową:
\[ T_{p}M\ni x \mapsto \langle -dn_{p}(x),x\rangle \in \mathbb{R} \]
nazywamy drugą formą kwadratową.
\end{df}

Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyznaczoną przez nią, formę dwulinową:
\[ \Pi\colon T_{p}M\times T_{p}M \ni (x,y) \mapsto \langle -dn_{p}(x),y \rangle \in \mathbb{R} \]

\begin{df}[przekrój normalny]
Niech $p\in M$, $x\in ST_{p}M = \{v\in T_{p}M:||v||=1\}$. Niech $P_{x}$ oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach $n(p)$ oraz $x$. Przekrojem normalnym $M$ w kierunku $x$ nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywą płaską $c$ powstałą w wyniku przecięcia powierzchni $M$ płaszczyzną $P_{x}$ taką, że $c'|_{p} = x$ oraz $c(0)=p$.

Krzywiznę $K_{c}(p)$ nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy $K_{x}$. Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orientację płaszczyzny $P_{x}$. Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę $x,n(p)$, tzn. układ $x,n(p)$ ma być reperem Freneta krzywej $c$ w punkcie $p$.
\end{df}

\begin{stw}
Jeżeli $p\in M$, $x\in ST_{p}M$, to $\Pi(x,x) = K_{x}$.
\end{stw}

\begin{proof}
Niech $c$ oznacza przekrój normalny w kierunku $x$ taki, że $c(0)=p$. Wówczas $c'(0)=x$. Ponieważ $c$ leży na $M$ więc $\langle c',n\circ c\rangle = 0$. Różniczkując ostatnią równość otrzymujemy:
\[ \langle c''(0), (n\circ c)(0) \rangle + \langle c'(0), (n\circ c)'(0)\rangle = 0 \]
Ponieważ $K_{x} = \langle c''(0) , (n\circ c)(0) \rangle$, mamy:
\[ K_{x} = - \langle c'(0), \frac{d(n\circ c)}{dt}(0) \rangle = - \langle c'(0), dn_{p}(\frac{dc}{dt}(0))\rangle =\Pi(c'(0),c'(0)) = \Pi (x,x) \]
\end{proof}

\begin{df}[przekształcenie samosprzężone]
Niech $V$ dowolna przestrzeń z iloczynem sklaranym, oraz $A\colon V\to V$ pewien operator. Przez $A^{\star}$ oznaczmy taki operator, że: $A^{\star}\colon V\to V$ oraz $\forall_{x,y\in V} \langle Ax, y\rangle = \langle x, A^{\star}y \rangle$. Jeśli $A=A^{\star}$, to mówimy, że $A$ jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.
\end{df}

\begin{fakt} Jeśli $A\colon V\to V$ odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwie wartości własne $\lambda_{1},\lambda_{2}$ oraz $v_{1},v_{2}$ są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom własnym, to $\langle v_{1},v_{2}\rangle = 0$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Odwzorowanie $A$ jest samosprzężone, więc $\langle Av_{1},v_{2}\rangle = \langle v_{1},Av_{2}\rangle$. Z definicji $Av_{i} = \lambda_{i}v_{i}$, czyli mamy $\langle \lambda_{1}v_{1},v_{2}\rangle = \langle v_{1},\lambda_{2}v_{2}\rangle$. Stąd $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}\langle v_{1},v_{2}\rangle = \langle v_{1},v_{2}\rangle$, co znaczy, że albo $\lambda_{1}=\lambda_{2}$, albo $\langle v_{1},v_{2}\rangle = 0$, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bo zakładamy $\lambda_{1}\neq \lambda_{2}$.
\end{proof}

\begin{stw}
\begin{enumerate}[a)]
\item Niech $U\ni(x_{1},x_{2}) \mapsto r(x_{1},x_{2})\in M$ będzie lokalną parametryzacją $M$, $p\in M$. Niech $\mathcal{N}\colon U\xrightarrow{r}M\xrightarrow{n}S^{2}\hookrightarrow\mathbb{R}^{3}$ i $\alpha=(r_{x_{1}},r_{x_{2}})$ będzie bazą $T_{r(x_{1},r_{2})}M$. Ponadto oznaczmy przez $M_{\alpha}(\Pi)$ macierz $\Pi$ w bazie $\alpha$. Wówczas $M_{\alpha}(\Pi)$ ma postać:
\[ M_{\alpha}(\Pi) = [\langle \mathcal{N},r_{x_{i}x_{j}}\rangle]. \]
\item $\Pi\colon T_{p}M\times T_{p}M\to\mathbb{R}$ jest formą dwuliniową symetryczną.
\item $dn_{p}\colon T_{p}M\to T_{p}M$ jest przekształceniem samosprzężonym.
\end{enumerate}
\end{stw}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Ponieważ wektory $r_{x_{1}}$ i $r_{x_{2}}$ są wektorami stycznymi, a wartości $\mathcal{N}$ są wektorami normalnymi, więc $\langle \mathcal{N}, r_{x_{j}}\rangle = 0$ dla $j=1,2$. Stąd:
\[ 0 = \frac{\partial}{\partial x_{i}}\langle \mathcal{N},r_{x_{j}}\rangle = \langle\mathcal{N}_{x_{i}},r_{x_{j}}\rangle + \langle\mathcal{N},r_{x_{j}x_{i}}\rangle.\]
Zatem:
\[ \langle\mathcal{N},r_{x_{j}x_{i}}\rangle = -\langle\mathcal{N}_{x_{i}},r_{x_{j}}\rangle = -\langle dn(r_{x_{i}}), r_{x_{j}}\rangle = \Pi(r_{x_{i}},r_{x_{j}}). \]
\item Ponieważ $r_{x_{1}x_{2}} = r_{x_{2}x_{1}}$, więc z punktu poprzedniego: $\Pi(r_{x_{1}},r_{x_{2}}) = \Pi(r_{x_{2}},r_{x_{1}})$. Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.
\item Niech $v,w \in T_{r(x_{1},x_{2})}M$, $p=r(x_{1},x_{2})$.
\[ \langle dn_{p}(v), w \rangle = -\Pi(v,w) = -\Pi(w,v) = \langle dn_{p}(w),v\rangle = \langle v,dn_{p}(w)\rangle.\qedhere \]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{uw}
\begin{enumerate}[a)]
\item Odwzorowanie $\mathcal{N}\colon U\to\mathbb{R}^{3}$ opisane w poprzednim twierdzeniu, nazywa się odwzorowaniem Weingartena.
\item Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): $L=\langle \mathcal{N},r_{x_{1}x_{1}}\rangle$,
$N=\langle\mathcal{N},r_{x_{1}x_{2}}\rangle$, $M=\langle\mathcal{N},r_{x_{2}x_{2}}\rangle$. Przy powyższych oznaczeniach macierz drugiej formy kwadratowej ma postać: $\begin{bmatrix} L & M \\ M & N\end{bmatrix}$.
\end{enumerate}
\end{uw}

\begin{df}[krzywizny, wektory i kierunki główne]\label{df-kg}
Niech $M$ powierzchnia, $p\in M$.
Liczby $K_{1} = \min_{y\in ST_{p}M} K_{y}$, $K_{2} = \max_{y\in ST_{p}M}K_{y}$ nazywamy krzywiznami głównymi powierzchni $M$ w punkcie $p$. Wektory $v_{1},v_{2}\in ST_{p}M$ takie, że $K_{v_{i}} = K_{i}$ nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamy kierunkami głównymi.
\end{df}

\begin{df}[krzywizna średnia]
Liczbę $H = \frac{1}{2} (K_{1}+K_{2})$ nazywamy krzywizną średnią powierzchni $M$ w punkcie $p$.
\end{df}

\begin{tw}
\begin{enumerate}[a)]
\item Krzywizny główne $K_{1}$ i $K_{2}$ są wartościami własnymi odwzorowania $-dn_{p}\colon T_{p}M\to T_{p}M$, a wektory główne są unormowanymi wektorami własnymi.
\item Zachodzi równość $K_{M}(p) = K_{1}K_{2}$.
\item Jeśli $y\in ST_{p}M$ i układ $y_{1},y_{2}$ jest bazą ortonormalną wektorów głównych, oraz $\varphi = \sphericalangle(y,y_{1})$, to: $K_{y} = K_{1} \cos^{2}\varphi + K_{2}\sin^{2}\varphi$.
\end{enumerate}
\end{tw}

\begin{proof}
Niech $\lambda_{1} \leq \lambda_{2}$ to wartości własne przekształcenia samosprzężonego $-dn_{p}$, oraz $y_{1}, y_{2}$ wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ $-dn_{p}$ jest samosprzężone, więc $y_{1}, y_{2}$ są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są one ortonormalne. Niech $y\in ST_{p}M$, oraz $a_{i} = \langle y,y_{i}\rangle$. Wtedy oczywiście $y=a_{1}y_{1} + a_{2}y_{2}$. Ponieważ $y\in ST_{p}M$, mamy:
\[ |y|^{2}=1=\sum_{i,j=1}^{2}a_{i}^{2}\langle y_{i},y_{i}\rangle = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}\]
A stąd:
\begin{gather*}K_{y} = \Pi(y,y) = \Pi(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2},a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}) = \sum_{i,j=1}^{2}a_{i}a_{j}\langle -dn_{p}y_{i},y_{j}\rangle = \\ =\sum_{i,j=1}^{2}a_{i}a_{j}\langle \lambda_{i}y_{i},y_{j}\rangle = a_{1}^{2}\lambda_{1}+a_{2}^{2}\lambda_{2}.\end{gather*}
Z powyższego wzoru i definicji $K_{y}$ wynika w szczególności: $K_{y_{i}} = \lambda_{i}$, oraz $K_{y} \leq \max(\lambda_{i}) (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = \lambda_{2} = K_{y_{2}}$, $K_{y}\geq \min(\lambda_{i}) (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}) = \lambda_{1}= K_{y_{1}}$. Czyli rzeczywiście: $K_{y_{i}}$ zdefiniowane jako $\lambda_{i}$ spełniają definicję $\ref{df-kg}$, co kończy dowód $a)$.

Macierz $-dn_{p}$ w bazie $y_{1},y_{2}$ ma postać: $\begin{bmatrix}K_{1} & 0 \\ 0 & K_{2}\end{bmatrix}$. Korzystając z twierdzenia $\ref{twkmp}$, dostajemy natychmiast $K_{M}(p) = K_{1}K_{2}$, co kończy dowód $b)$.

Niech $\varphi = \sphericalangle(y,y_{1})$. Wiemy, że $\sphericalangle(y_{1},y_{2}) = \frac{\pi}{2}$, stąd: $\sphericalangle(y,y_{2}) = \frac{\pi}{2} - \varphi$. Z wzoru $\cos\sphericalangle(x,y) = \frac{\langle x,y \rangle}{|x||y|}$ i z faktu, że $|y|=|y_{1}|=|y_{2}|=1$ mamy: $\langle y,y_{2}\rangle = \cos(\frac{\pi}{2}-\varphi) = \sin\varphi$. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami: $y = \langle y,y_{1} \rangle y_{1} + \langle y,y_{2}\rangle y_{2} = \cos\varphi y_{1} + \sin\varphi y_{2}$. Ponieważ $K_{y} = a_{1}^{2}K_{y_{1}}+a_{2}^{2}K_{y_{2}}$, mamy natychmiast: $K_{y} = \cos^{2}\varphi K_{1} + \sin^{2}\varphi K_{2}$.
\end{proof}

\subsection{Lokalny układ współrzędnych}

\begin{tw}\label{tw-krzyw}
Niech $M$ będzie pewną powierzchnią, $p\in M$ oraz niech $r$ będzie parametryzacją pewnego otoczenia $p$.
Niech $[g_{ij}]$ i $[l_{ij}]$ oznaczają odpowiednio macierze pierwszej i drugiej formy kwadratowej w bazie $x_{1} =\frac{\partial}{\partial x_{2}}, x_{2}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}$. Wtedy:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $K_{M}(p) = \frac{\det[\Pi(x_{i},x_{j})]}{\det[\langle x_{i},x_{j}\rangle]} = \frac{\det[l_{ij}]}{\det[g_{ij}]},$
\item $w = | r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}| = \sqrt{\det[g_{ij}]}, l_{ij} = \frac{1}{w}\langle r_{x_{1}}\times r_{x_{2}},r_{x_{1}x_{2}}\rangle = \frac{1}{w}\det[r_{x_{1}},r_{x_{2}},r_{x_{1}x_{2}}],$
\item niech $f\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ klasy $C^{2}$ i niech powierzchnia $M$ dana jest wzorem $M=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}:x_{3} = f(x_{1},x_{2}) \}$, oraz $\Lambda = \sqrt{1+f_{x_{1}}^{2}+f_{x_{2}}^{2}}$, wtedy:
\[l_{ij} = \frac{f_{x_{i}x_{j}}}{\Lambda},\quad K_{M} = \frac{\det[f_{x_{i}x_{j}}]}{\Lambda^{4}}.\]
\end{enumerate}
\end{tw}

\begin{proof}
Niech $\beta = (y_{1},y_{2})$ będzie bazą ortonormalną w $T_{p}M$, składającą się z wektorów własnych operatora $-dn_{p}$. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że są to też wektory główne. Dla dowolnego $k=1,2$ zachodzi oczywiście:
\[x_{k} = \langle x_{k},y_{1}\rangle y_{1} + \langle x_{k}, y_{2}\rangle y_{2}.\quad (\star)\] Ponadto $\Pi(y_{i},y_{j}) = \langle -dn_{p}(y_{i}),y_{j}\rangle = K_{i}\langle y_{i},y_{j} \rangle = K_{i}\delta_{ij}$. Wiemy już z poprzednich rozważań, że: $\det[\Pi(y_{i},y_{j})] = K_{M}(p)$. Niech $M_{\alpha}(\Pi) = [\Pi(x_{i},x_{j})]$, $M_{\beta}(\Pi) = [\Pi(y_{i},y_{j})]$ będą macierzami $\Pi$ w bazach $\alpha = (x_{i},x_{j})$ i $\beta = (y_{i},y_{j})$. Zgodnie z wzorem $(\star)$ macierz $C=[\langle x_{i}, y_{j}\rangle]^{T}$ jest macierzą przejścia z bazy $\alpha$ do $\beta$. Stąd
\[ \det M_{\alpha}(\Pi) = \det (C M_{\beta}(\Pi) C^{T}) = K_{M}(p)\det C^{2}\quad (\star\star) \]
Podobnie dla pierwszej formy kwadratowej (którą oznaczamy przez $I$):
\[ \det M_{\alpha}(I) = \det [\langle x_{i}, x_{j}\rangle] = \det [\langle y_{i}, y_{j}\rangle] \det C^{2} = \det C^{2} \]
Z wzoru $(\star\star)$ mamy: $K_{M}(p) = \frac{\det[\Pi (x_{i},x_{j})]}{\det C^{2}} = \frac{\det [\Pi(x_{i},x_{j})]}{\det[\langle x_{i}, x_{j} \rangle]}$ co kończy dowód punktu $(i)$.

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego oraz elementów $g_{ij}$, mamy równości: $w=|r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}|=\sqrt{\det [g_{ij}]} = \sqrt{|\det[\langle r_{x_{i}},r_{x_{j}}\rangle]|}$. Ponieważ odwzorowanie sferyczne wyraża się wzorem: $n(u,v) = \frac{r_{u}\times r_{v}}{|r_{u}\times r_{v}|}$, odwzorowanie Weingartena spełnia:
\[ \mathcal{N} = |r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}|^{-1} (r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}) = w^{-1}(r_{x_{1}}\times
r_{x_{2}}).\]
Pokazaliśmy wcześniej, że $l_{ij} = \langle \mathcal{N}, r_{x_{i}x_{j}}\rangle$, wobec czego:
\[ l_{ij} = \frac{1}{w}\langle r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}, r_{x_{i}x_{j}}\rangle = \frac{1}{w} \det[r_{x_{1}},r_{x_{2}},r_{x_{i}x_{j}}], \]
co kończy dowód punktu $(ii)$.

Policzmy teraz pochodne $r_{x_{1}}$ i $r_{x_{2}}$ i $r_{x_{i}x_{j}}$:
\[ r_{x_{1}} = (1,0,f_{x_{1}}), r_{x_{2}} = (0,1,f_{x_{2}}), r_{x_{i}x_{j}} = (0,0,f_{x_{i}x_{j}}) \]
Zgodnie ze wzorem na $\mathcal{N}$, mamy:
\[\mathcal{N} = \frac{(r_{x_{1}}\times r_{x_{2}})}{|r_{x_{1}}\times r_{x_{2}}|} = \frac{(-f_{x_{1}},-f_{x_{2}},1)}{|(-f_{x_{1}},-f_{x_{2}},1)|} = \Lambda^{-1}(f_{x_{1}},f_{x_{2}},1).\]
Podstawiając ten wynik do wzoru na $l_{ij}$ otrzymujemy:
\[ l_{ij} = \langle \mathcal{N},r_{x_{i}x_{j}}\rangle = \Lambda^{-1}\langle(-f_{x_{1}},-f_{x_{2}},1), (0,0,f_{x_{i}x_{j}})\rangle = \Lambda^{-1}f_{x_{i}x_{j}}.\]
Korzystając teraz ze wzoru $g_{ij} = \langle r_{x_{i}},r_{x_{j}}\rangle$ uzyskujemy:
\[ \det[g_{ij}] = \det\begin{bmatrix} 1+f_{x_{1}}^{2} & f_{x_{1}}f_{x_{2}} \\ f_{x_{1}}f_{x_{2}} & 1+f_{x_{2}}^{2}\end{bmatrix} = (1+f_{x_{1}}^{2})(1+f_{x_{2}}^{2}) - f_{x_{1}}^{2}f_{x_{2}}^{2}.\]
Podstawiając otrzymane wyniki do wzoru na $K_{M}$ z punktu $(i)$ otrzymujemy:
\[ K_{M} = \frac{\det[l_{ij}]}{\det[g_{ij}]} = \frac{\Lambda^{-2}\det[f_{x_{i}}f_{x_{j}}]}{\Lambda^{2}} = \frac{\det[f_{x_{i}}f_{x_{j}}]}{\Lambda^{4}}.\]
\end{proof}

\begin{uw}
Jeśli przyjmiemy tradycyjne oznaczenia macierzy pierwszej i drugiej formy kwadratowej, odpowiednio: $\begin{bmatrix} E & F \\ F & G\end{bmatrix}$ i $\begin{bmatrix} L & M \\ M & N\end{bmatrix}$, wzór na krzywiznę ma postać:
\[ K_{M} = \frac{LN - M^{2}}{EF - G^{2}}, \]
gdzie
\begin{gather*}
E = \langle r_{u}, r_{u}\rangle, F=\langle r_{u},r_{v} \rangle, G = \langle r_{v},r_{v} \rangle \\
L=\frac{1}{w}\langle r_{u}\times r_{v}, r_{uu}\rangle = \frac{1}{w}\det[r_{u},r_{v},r_{uu}], \\
M=\frac{1}{w}\langle r_{u}\times r_{v}, r_{uv}\rangle = \frac{1}{w}\det[r_{u},r_{v},r_{uv}], \\
N=\frac{1}{w}\langle r_{u}\times r_{v}, r_{vv}\rangle = \frac{1}{w}\det[r_{u},r_{v},r_{vv}], \\
w = |r_{u}\times r_{v}| = \sqrt{EG-F^{2}}.
\end{gather*}
\end{uw}

%\begin{uw}
%Jeśli powierzchnia $M$ zadana jest przez równanie $z=f(x,y)$, gdzie $f\colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ klasy $C^{2}$, to:
%\[ L = \frac{f_{xx}}{\Lambda}, M=\frac{f_{xy}}{\Lambda}, N=\frac{f_{yy}}{\Lambda} \]
%\[ \Lambda = \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} \]
%\[ K_{M} = \frac{\det\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{bmatrix}}{\Lambda^{2}} \]
%\end{uw}

\begin{ex}[płaszczyzna z ujemną krzywizną]
Płaszczyzna $M$ zadana jest równaniem $z=x^{2} - y^{2}$, czyli $f(x,y) = x^{2} - y^{2}$, a dowolny punkt powierzchni ma współrzędne $(x,y,x^{2}-y^{2})$. Wtedy $f_{xx} = 2$, $f_{yy} = -2$, $f_{xy} = 0$ i mamy:
\[ K_{M} = \frac{\det\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}}{\left(\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\right)^{4}} = \frac{-4}{\left(\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\right)^{4}} < 0\]
\end{ex}

\section{Twierdzenie Egregium}

\begin{df}[dyfeomorfizm]
Odwzorowanie gładkie nazywamy dyfeomorfizmem o ile jest bijekcją i odwzorowanie odwrotne jest również gładkie.
\end{df}

\begin{df}[izomorfizm]
Niech $M,N$ powierzchnie z metrykami Riemanna $\langle,\rangle_{M}$ i $\langle,\rangle_{N}$. Dyfeomorfizm $f\colon M\to N$ nazywamy izometrią jeżeli:
\[\forall_{p\in M}\forall_{v,w\in T_{p}M} \langle df_{p}(v), df_{p}(w) \rangle_{N} = \langle v,w \rangle_{M}\]
\end{df}

\begin{fakt}
Dla izomorfizmów $f\colon \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall_{x,y\in\mathbb{R}^{n}} d(f(x),f(y)) = d(x,y)$, gdzie $d$ to metryka Euklidesowa,
\item dla każdej krzywej różniczkowalnej $c\colon I\to\mathbb{R}^{n}$ zachodzi: $L(c) = L(f\circ c)$,
\item $\forall_{x\in\mathbb{R}^{n}}\forall_{v,w\in T_{x}\mathbb{R}^{n}} \langle df_{x}(v), df_{x}(w)\rangle = \langle v,w\rangle$.
\end{enumerate}
\end{fakt}

\begin{tw}[egregium, Gauss, 1828]
Niech $M,N$ powierzchnie. Jeżeli $f\colon M\to N$ jest izometrią, to $\forall_{p\in M} K_{M}(p) = K_{N}(f(p))$.
\end{tw}

Twierdzenie egregium udowodnimy w nieco innej wersji. Aby ją sformułować, wprowadzimy najpierw kilka definicji. Niech $[g_{ij}]$ i $[h_{ij}]$ to macierze odpowiednio pierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchni $M$. Przez $[g^{ij}]$ oznaczamy macierz odwrotną do $[g_{ij}]$. Symbol $g_{ij,k}$ oznacza pochodną względem zmiennej $k$ z $g_{ij}$.

%\begin{df}[symbole Christoffela]
%Symbole Christoffela zdefiniowane w podrozdziale $\ref{rr-geo}$ będziemy nazywać symbolami Christoffela drugiego rodzaju. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju definiujemy natomiast jako:
%\[ \Gamma_{kij} = \frac{1}{2}(g_{ij,k} + g_{jk,i} - g_{ki,j}) \]
%dla $k,i,j=1,2$.
%\end{df}

\begin{df}[tensor krzywizny]
Tensor krzywizny powierzchni $M$ jest zbiorem funkcji:
\[ R_{iljk} = \sum_{m} g_{lm}R^{m}_{ijk}\quad 1\leq i,j,k,l \leq 2\]
gdzie:
\[ R^{m}_{ijk} = \Gamma^{m}_{ij,k} - \Gamma^{m}_{ik,j} + \sum_{l}(\Gamma^{l}_{ij}\Gamma^{m}_{lk} - \Gamma^{l}_{ik}\Gamma^{m}_{ij})\quad 1\leq i,j,k,m \leq 2\]
\end{df}


Rozważmy powierzchnię $M$ sparametryzowaną przez funkcję $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$. Niech $u\in \mathbb{R}^{2}$, wtedy $p=f(u)$ jest pewnym punktem powierzchni $M$, a na punkt $u$ możemy patrzeć jak na lokalne współrzędne punktu $p$. Wektory $f_{1}(u), f_{2}(u), n(u)$ stanowią bazę przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, przy czym przez $f_{i}(u)$ rozumiemy wektory styczne do $M$ w punkcie $p$, wyznaczone za pomocą $i$-tej pochodnej cząstkowej $f$, natomiast wektor $n(u)$ to wektor normalny zaczepiony w $p$. Wektory $f_{1}, f_{2}$ wyznaczają przestrzeń styczną do $M$ w $p$.

\begin{tw}[egregium]\label{tw-egr}
Przy powyższych założeniach i oznaczeniach, zachodzi wzór:
\[ K_{M}(u) = \frac{R_{1212}(u)}{\det[g_{ij}(u)]} \]
\end{tw}

Zanim podamy dowód twierdzenia egregium udowodnimy kilka faktów pomocniczych.

\begin{fakt}\label{fakt-wz}
Zachodzą następujące wzory:
\[ f_{ik}(u) = \sum_{l} \Gamma^{l}_{ik}(u)f_{l}(u) + h_{ik}(u)n(u), \]
\[n_{i}(u) = -\sum_{l,k} h_{il}g^{lk}f_{k}(u), \]
gdzie:
\[ \Gamma^{l}_{ik} = \sum_{j}g^{lj}\langle f_{ik},f_{j}\rangle = \frac{1}{2} \sum_{j} g^{lj}(g_{ij,k} + g_{jk,i} - g_{ki,j}).\]
\end{fakt}

\begin{uw}
Zakładamy, że wektory $f_{1},f_{2},n$ stanowią układ ortonormalny.
\end{uw}

\begin{proof}
Z algebry liniowej wiadomo, że:
\[ f_{ik} = f_{ki} = \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}f_{l} + a_{ik}n, \]
przy czym $a_{ik} = \langle n,f_{ik}\rangle = h_{ik}$. Obie strony powyższej równości pomnóżmy skalarnie przez $f_{i}$:
\[ \langle f_{ik}, f_{i}\rangle = \langle \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik} f_{l},f_{i}\rangle = \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}g_{li} = [\Gamma^{l}_{ik}][g_{il}]\]
Stąd mamy:
\[ \Gamma^{l}_{ik} = \sum_{l}g^{li}\langle f_{ik},f_{i} \rangle = \Gamma^{l}_{ki}. \]
Ponieważ $g_{ij,k}=\langle f_{i},f_{j}\rangle_{k}$, to z uzyskanych wyżej wzorów (i z wzoru na pochodną iloczynu skalarnego) mamy:
\begin{eqnarray*}
g_{ij,k} & = \langle f_{ik}, f_{j} \rangle + \langle f_{i}, f_{jk} \rangle = & \\
         & = \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}g_{lj} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{jk}g_{li} & (\alpha) \\
g_{ki,j} & = \sum_{l}\Gamma^{l}_{kj}g_{lj} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{ij}g_{lk} & (\beta) \\
g_{jk,i} & = \sum_{l}\Gamma^{l}_{ji}g_{ik} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{ki}g_{ij} & (\gamma)
\end{eqnarray*}
Policzmy teraz $(\alpha) - (\beta) + (\gamma)$:
\[ \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}g_{lj} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{jk}g_{li} - \sum_{l}\Gamma^{l}_{kj}g_{lj}  - \sum_{l}\Gamma^{l}_{ij}g_{lk} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{ji}g_{ik} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{ki}g_{ij} = 2\sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}g_{lj}\]
A stąd:
\[ \Gamma^{l}_{ik} = \sum_{j}g^{lj}\langle f_{ik}, f_{j}\rangle = \frac{1}{2}\sum_{j}g^{lj}(g_{ij,k} + g_{jk,i} - g_{ki,j})\]
\end{proof}

\begin{tw}
Równości $f_{ijk} = f_{ikj}$ oraz $n_{ij} = n_{ji}$ są równoważne następującym zależnościom między $g_{ik}$, $h_{ik}$, $g_{ik,l}$ oraz $\Gamma^{k}_{ij,l}$:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\Gamma^{m}_{ij,k} - \Gamma^{m}_{ik,j} + \sum_{l}(\Gamma^{l}_{ij}\Gamma^{m}_{lk} - \Gamma^{l}_{ik}\Gamma^{m}_{lj}) = \sum_{l}(h_{ij}h_{kl} - h_{ik}h_{jl})g^{lm},$
\item $\sum_{l}\Gamma^{l}_{ij}h_{lk} - \sum_{l}\Gamma^{l}_{ik}h_{lj} + h_{ij,k} - h_{ik,j} = 0.$
\end{enumerate}
Równania $(i)$ nazywa się równaniami Gaussa, natomiast równania $(ii)$ nazywa się równaniami Codazzi--Mainardiego.
\end{tw}

\begin{proof}
Niech $f_{ijk} = \sum_{m}A^{m}_{ijk}f_{m}+B_{ijk}n$. Na mocy faktu $\ref{fakt-wz}$, możemy wyrazić $A^{m}_{ijk}$ jako\footnote{Fakt $\ref{fakt-wz}$ daje wzór na $f_{ij}$, który trzeba zróżniczkować względem $k$-tej współrzędnej, a następnie skorzystać z wzoru na $n_{i}$ i ostatecznie napisać wzór na współczynnik przy $f_{m}$ dla ustalonego $m$. Jest to techniczny ,,szczegół'', który pomijamy w tym opracowaniu.}:
\[ A^{m}_{ijk} = \Gamma^{m}_{ij,k} + \sum_{l}\Gamma^{l}_{ij}\Gamma^{m}_{lk} - \sum_{l}h_{ij}h_{kl}g^{lm}.\]
Z założenia $f_{ijk} = f_{ikj}$, więc $A^{m}_{ijk} = A^{m}_{ikj}$, skąd natychmiast (wystarczy zapisać wzory na $A^{m}_{ijk}$ i $A^{m}_{ikj}$ i przenieść niektóre składniki na drugą stronę w równaniu $A^{m}_{ijk}=A^{m}_{ikj}$) otrzymujemy $(i)$.

Ponownie, korzystając z faktu $\ref{fakt-wz}$ możemy napisać:
\[B_{ijk} = \sum_{l}\Gamma^{l}_{ij}h_{lk} + h_{ij,k}.\]
Ponieważ $B_{ijk} = B_{ikj}$, to zachodzi $(ii)$.
\end{proof}

\begin{lemat}
Tensory krzywizny $R_{iljk}$ spełniają:
\[ R_{iljk} = h_{ij}h_{kl} - h_{ik}h_{jl}. \]
\end{lemat}

\begin{uw}
Będziemy wykorzystywać jedynie fakt:
\[ R_{1212} = \det [h_{ij}], \]
który jest wnioskiem z powyższego lematu.
\end{uw}

\begin{proof}
Z definicji:
\[ R_{iljk} = \sum_{m}g_{lm}R^{m}_{ijk} = \sum_{m}g_{lm}\left(\Gamma^{m}_{ij,k}-\Gamma^{m}_{ik,j} + \sum_{l}(\Gamma^{l}_{ij}\Gamma^{m}_{lk} - \Gamma^{l}_{ik}\Gamma^{m}_{lj})\right) = \]
Stosujemy teraz punkt $(i)$ z poprzedniego twierdzenia:
\[= \sum_{m}g_{lm}\left(\sum_{l}(h_{ij}h_{kl} - h_{ik}h_{jl})g^{lm}\right) \quad (\star)\]
Z definicji $[g^{ij}]$ jako macierzy odwrotnej do $[g_{ij}]$, mamy:
\begin{eqnarray*}
g_{l1}g^{11}+g_{l2}g^{12} & = \begin{cases} 1 & \textrm{gdy }l=1 \\ 0 & \textrm{gdy }l=2\end{cases} \\
g_{l1}g^{21}+g_{l2}g^{22} & = \begin{cases} 0 & \textrm{gdy }l=1 \\ 1 & \textrm{gdy }l=2\end{cases} \\
\end{eqnarray*}
Rozpisując sumę z wzoru $(\star)$ i grupując odpowiednio składniki, oraz stosując powyższe zależności, otrzymujemy tezę lematu.
\end{proof}

\begin{proof}[Dowód twierdzenia egregium]
Zauważmy, że dowód powyższego lematu jest właściwie dowodem twierdzenia egregium. Z twierdzenia $\ref{tw-krzyw}$ mamy bowiem:
\[ K    _{M} = \frac{\det[h_{ij}]}{\det[g_{ij}]}, \]
a z lematu $\det[h_{ij}] = R_{1212}$, czyli rzeczywiście:
\[ K_{M} = \frac{R_{1212}}{\det[g_{ij}]}. \qedhere\]
\end{proof}

\section{Twierdzenie Gaussa--Bonneta}

\begin{tw}[elegantissimus Gaussa]\label{tw-ele}
Niech $D$ będzie trójkątem geodezyjnym, $\alpha_{i}$, $i=1,2,3$ jego kątami zewnętrznymi, a $\beta_{i}=\pi - \alpha_{i}$. Wtedy:
\[\sum_{i=1}^{3}\beta_{i} = \pi + \iint_{D}K d\sigma. \]
\end{tw}

\begin{df}[defekt trójkata geodezyjnego]
Liczbę $\pi - \sum_{i=1}^{3}\beta_{i}$ nazywamy defektem trójkąta geodezyjnego.
\end{df}

Twierdzenie $\ref{tw-ele}$ jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia Gaussa--Bonneta.

\begin{tw}[Gaussa--Bonneta, 1848]
Jeżeli $D$ jest podzbiorem dwuwymiarowej rozmaitości, ograniczonym łamaną geodezyjną $\gamma = \gamma_{1}\cup \gamma_{2}\cup\ldots\cup\gamma_{r}$, a $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}$ to kąty zewnętrzne $D$, to:
\[ \iint_{D}K d\sigma + \sum_{j=1}^{r}\alpha_{j} = 2\pi \]
\end{tw}

Istnieje również tzw. globalna wersja tego twierdzenia. Aby ją sformułować należy wprowadzić pojęcie triangulacji powierzchni. Okazuje się (czego nie udowodnimy), że dowolną powierzchnię $M$ można przedstawić jako sumę (pokryć sumą) trójkątów krzywoliniowch, takich, że część wspólna każdych dwóch z nich to: zbiór pusty, pojedynczy wierzchołek lub krawędź.

\begin{df}[charakterystyka Eulera]
Niech $M$ powierzchnia z wprowadzoną triangulacją. Wtedy liczbę:
\[ \chi(M) = \textrm{liczba wierzchołków} - \textrm{liczba krawędzi} + \textrm{liczba trójkątów}\]
nazywamy charakterystyką Eulera powierzchni $M$.
\end{df}

\begin{uw}
Liczba $\chi(M)$ jest niezmiennikiem topologicznym.
\end{uw}

\begin{tw}[Gaussa--Bonneta (globalne)]
Niech $M$ powierzchnia. Wtedy:
\[ \iint_{M}K d\sigma = 2\pi \chi(M).\]
\end{tw}

\begin{tw}[Harriot, 1603]
Dla dowolnego trójkąta na sferze o kątach $\alpha,\beta\gamma$, funkcja $f(\alpha,\beta,\gamma) = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ jest proporcjonalna do powierzchni trójkąta i stąd niezerowa.
\end{tw}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Pole sektora kąta $\alpha$ pomiędzy dwoma kołami wielkimi sfery wynosi $\frac{\alpha}{2\pi}$ powierzchni całej sfery $S^{2}$.
\item Pole jest niezmiennikiem izometrii.
\item Pole jest funkcją addytywną, tzn. $P(\Delta_{1}+\Delta_{2}) = P(\Delta_{1})+P(\Delta_{2})$.
\item Niech $\Delta_{\alpha\beta\gamma}$ będzie dowolnym trójkątem na $S^{2}$. Przedłużając boki tego trójkąta do kół wielkich, otrzymujemy podział $S^{2}$ na 8 trójkątów. Niech $\Delta_{\alpha}$, $\Delta_{\beta}$ i $\Delta_{\gamma}$ oznaczają odpowiednio trójkąty przylegające do jednego z wierzchołków $\Delta_{\alpha\beta\gamma}$ przy odpowiednim kącie. Wówczas na mocy punktu 1 mamy:
\begin{eqnarray*}
P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + P(\Delta_{\alpha}) & = \frac{\alpha}{2\pi} P(S^{2}), \\
P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + P(\Delta_{\beta}) & = \frac{\beta}{2\pi} P(S^{2}), \\
P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + P(\Delta_{\gamma}) & = \frac{\gamma}{2\pi} P(S^{2}),
\end{eqnarray*}
A stąd wynika, że:
\[ 3P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + P(\Delta_{\alpha})+P(\Delta_{\beta})+P(\Delta_{\gamma}) = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2\pi}P(S^{2})\quad(\star).\]
Cztery trójkąty $\Delta_{\alpha\beta\gamma}$, $\Delta_{\alpha}$, $\Delta_{\beta}$, $\Delta_{\gamma}$ są izomroficzne z czterema pozostałymi trójkątami powstałymi w kroku 4. Z punktu 2 mamy więc, że:
\[P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + P(\Delta_{\alpha})+P(\Delta_{\beta})+P(\Delta_{\gamma})=\frac{1}{2}P(S^{2})\quad(\star\star).\]
Z równości $(\star)$ i $(\star\star)$ wynika:
\[ 3P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) - P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) + \frac{1}{2}P(S^{2}) = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2\pi}P(S^{2}).\]
A stąd:
\begin{eqnarray*}
2P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) & = &\frac{1}{2}P(S^{2})\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\pi}-1\right),\\
2P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) & = &\frac{1}{2\pi}P(S^{2})\left(\alpha+\beta+\gamma - \pi\right).
\end{eqnarray*}
Czyli mamy:
\[ P(\Delta_{\alpha\beta\gamma}) = \frac{1}{4\pi}P(S^{2})f(\alpha,\beta,\gamma). \qedhere\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Płaszczyzna hiperboliczna}

W drodze do dowodu twierdzenia Gaussa--Bonneta, które sformułowano na początku tego rozdziału, przyjrzymy się bliżej trójkątom na płaszczyźnie hiperbolicznej, która w pewnym sensie będzie ilustracją zagadnień, którymi się tu zajmujemy.

Płaszczyznę hiperboliczną będziemy oznaczać przez $\mathbb{H}^{2}$. Jako zbiór jest to po prostu część płaszczyzny $\mathbb{R}^{2}$, a mianowicie: $\mathbb{H}^{2} = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y>0\}$. Metryka Riemanna na powierzchni hiperbolicznej określona jest w następujący sposób:
\[ \langle , \rangle_{(x,y)} = \frac{1}{y^{2}}(d_{x}^{2} + d_{y}^{2}).\]
Macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:
\[ [g_{ij}] = \begin{bmatrix} \frac{1}{y^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{y^{2}} \end{bmatrix}. \]
Powierzchnia hiperboliczna ma stałą krzywiznę równą $-1$.

\paragraph{Geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej.} Aby scharakteryzować geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej, rozwiążemy równania różniczkowe geodezyjnych, opisane w podrozdziale $\ref{rr-geo}$:
\[
\begin{cases}
\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} + \sum_{i,j=1}^{2}\Gamma_{ij}^{1}\frac{dx_{i}}{dt}\frac{dx_{j}}{dt} = 0 \\
\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} + \sum_{i,j=1}^{2}\Gamma_{ij}^{2}\frac{dx_{i}}{dt}\frac{dx_{j}}{dt} = 0
\end{cases}
\]
Wyliczymy najpierw $\Gamma^{k}_{ij}$. Ponieważ $g^{ij} = \delta_{ij}y^{2}$, to mamy (z wzoru na $\Gamma^{k}_{ij}$):
\[
\Gamma^{k}_{ij}  = \frac{1}{2}g^{kk}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k}) = \frac{1}{2g_{kk}}\begin{cases}g_{kk,i} & \textrm{gdy }j=k\\-g_{ii,k} & \textrm{gdy }j=i,k\neq i\end{cases}
\]
Co daje nam wzory:
\begin{eqnarray*}
\Gamma^{2}_{11} & = & \frac{1}{2g_{22}}(-g_{11,2}) = \frac{1}{2}y^{2}\left(\frac{-1}{y^{2}}\right)_{y}' = \frac{1}{2}y^{2}\frac{2y}{y^{4}} = \frac{1}{y}, \\
\Gamma^{1}_{12} & = & \Gamma^{1}_{21} = \Gamma^{2}_{22} = \frac{1}{2}y^{2}\left(\frac{-2y}{y^{4}}\right)=\frac{-1}{y},
\end{eqnarray*}
a pozostałe $\Gamma^{k}_{ij} = 0$. Otrzymane wyniki wstawiamy do rozpatrywanych równań różniczkowych:
\[
\begin{cases}
\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} - \frac{2}{y}\frac{dx_{1}}{dt}\frac{dx_{2}}{dt} = 0 \\
\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} + \frac{1}{y}\frac{dx_{1}}{dt}\frac{dx_{1}}{dt} - \frac{1}{y}\frac{dx_{2}}{dt}\frac{dx_{2}}{dt}= 0
\end{cases}
\]
Zamiast pisać $x_{1},x_{2}$ będziemy dalej używać standardowych oznaczeń na zmienne $x,y$. Nasze równania mają postać:
\[
\begin{cases}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{2}{y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} \\
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} =  \frac{1}{y}\frac{dy}{dt}\frac{dy}{dt} - \frac{1}{y}\frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt}
\end{cases}
\]
Aby rozwiązać ten układ równań zastosujemy podstawienie:
\[ p = \frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dt}\frac{\frac{1}{dy}}{dt}, \]
co daje nam:
\[ \frac{dx}{dt} = p\frac{dy}{dt}. \]
Powyższą równość różniczkujemy obustronnie po $t$:
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{dp}{dt}\frac{dy}{dt} + p\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.\]
Ponieważ $\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dt}$, to mamy:
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{dp}{dy}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+p\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.\]
Podstawiając powyższe do pierwszego równania naszego układu równań, mamy:
\[\frac{dp}{dy}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + p \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{2}{y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}.\]
Teraz podstawiamy drugie równanie z układu równań za $\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}$:
\[\frac{dp}{dy}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+p\left(\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} - \frac{1}{y}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}\right) = \frac{2}{y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}.\]
Z definicji $p$ mamy:
\[\frac{dp}{dy}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \frac{p}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} - \frac{p^{3}}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} = \frac{2p}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}.\]
Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez $\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}$ i otrzymujemy:
\[ \frac{dp}{dy} + \frac{p}{y} - \frac{p^{3}}{y} = \frac{2p}{y} \]
\[ \frac{dp}{dy} = \frac{p+p^{3}}{y} \]
\[ \frac{dp}{p+p^{3}} = \frac{dy}{y} \]
Otrzymane równanie możemy obustronnie scałkować:
\[\int \frac{dp}{p+p^{3}} =\int \frac{dy}{y}, \]
co daje nam:
\[ \ln p - \ln\sqrt{p^{2}+1} = \ln y + c,\quad c\in\mathbb{R},\]
\[ \ln\frac{p}{\sqrt{p^{2}+1}} = \ln c_{1}y,\quad c_{1}\in\mathbb{R}.\]
Z różnowartościowości funkcji logarytm mamy, że:
\[ \frac{p}{\sqrt{p^{2}+1}} = c_{1}y \]
\[ \frac{p^{2}}{p^{2}+1} = c_{1}^{2}y^{2} \]
\[ p^{2} = c_{1}^{2}y^{2}(p^{2}+1) \]
\[ p^{2}(1-c_{1}^{2}y^{2}) = c_{1}^{2}y^{2}\]
Zakładamy, że $y\neq \frac{1}{c_{1}}$ i dzielimy obustronnie przez $(1-c_{1}^{2}y^{2})$:
\[ p^{2} = \frac{c_{1}^{2}y^{2}}{1-c_{1}^{2}y^{2}}\quad p=\frac{c_{1}y}{\sqrt{1-c_{1}^{2}y^{2}}}.\]
Z definicji $p$, mamy więc, że:
\[ \frac{dx}{dy} = \frac{c_{1}y}{\sqrt{1-c_{1}^{2}y^{2}}}.\]
Rozważmy dwa przypadki. Przypadek 1, gdy $c_{1}=0$, wtedy $\frac{dx}{dy}=0$, czyli $x=a$, $a\in\mathbb{R}$.
Przypadek 2, gdy $c_{1}\neq 0$. Podstawmy wtedy $c_{1} = \frac{1}{a}$, gdzie $a\in\mathbb{R}_{+}$. Wtedy:
\[ \frac{dx}{dy} = \frac{\frac{y}{a}}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^{2}}}. \]
Stąd mamy:
\[ dx= \frac{\frac{y}{a}}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^{2}}} dy,\]
co możemy obustronnie scałkować:
\[\int dx = \int \frac{\frac{y}{a}}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^{2}}} dy \]
i stąd:
\[x = -\sqrt{a^{2}-y^{2}} + b,\quad b\in\mathbb{R}\]
\[ (x-b)^{2} = a^{2} - y^{2} \]
\[ (x-b)^{2} + y^{2} = a^{2} \]

\begin{wn}
Geodezyjne w $\mathbb{H}^{2}$ to albo półproste $\{(a,y): y>0,a\in\mathbb{R}\textrm{ ustalone}\}$, albo górne półokręgi ze środkiem na osi $OX$.
\end{wn}

\paragraph{Trójkąty asymptotyczne.} Zajmiemy się teraz trójkątami asymptotycznymi, czyli takimi, których jeden kąt wewnętrzny wynosi 0.

\begin{tw}
Pole trójkąta asymptotycznego $\Delta_{\alpha\beta}$ o kątach $\alpha, \beta$ jest równe $\pi - (\alpha+\beta)$.
\end{tw}

\begin{proof}
Niech $\lambda = \cos(\pi-\alpha)$, $\mu = \cos(\beta)$.
\[ P(\Delta_{\alpha\beta}) = \iint_{\Delta_{\alpha\beta}} \frac{dxdy}{y^{2}} = \int_{\lambda}^{\mu}dx\int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{\infty}\frac{dy}{y^{2}}=\int_{\lambda}^{\mu}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\]
Stosujemy podstawienie $x=\cos\theta$:
\[=\int_{\pi-\alpha}^{\beta} \frac{-\sin\theta}{\sin\theta}d\theta = \int_{\pi-\alpha}^{\beta}-1\ d\theta = -\beta + \pi - \alpha = \pi - \alpha - \beta.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{wn}
Pole $\Delta_{\alpha\beta\gamma}$ jest równe $\pi - (\alpha+\beta+\gamma) < \pi$.
\end{wn}

\subsection{Współrzędne geodezyjne}

\begin{df}[pole wektorowe wzdłuż krzywej]
Niech $M$ powierzchnia, $c\colon I\to M$ pewna krzywa.
Funkcję gładką, która każdemu punktowi $t\in I$ przyporządkowuje wektor $v(t)\in T_{c(t)}M$ nazywamy polem wektorowym określonym wzdłuż $c$.
Zbiór pól wektorowych określonych wzdłuż $c$ oznaczać będziemy $\mathfrak{X}_{c}$.
\end{df}

\begin{ex}
Najbardziej naturalnym polem wektorowym wzdłuż krzywej różniczkowalnej jest:
\[ t\mapsto c'(t), \]
czyli pole wektorów stycznych do $c$.
\end{ex}

\begin{df}[pochodna kowariantna]
Niech $X\in\mathfrak{X}_{c}$ oraz niech projekcja $pr_{c(t)}\colon\mathbb{R}^{3}\to T_{c(t)}M$ jest rzutem ortogonalnym. Wtedy wektor:
\[ \frac{DX}{dt}(t) = pr_{c(t)}\frac{dX}{dt}(t),\]
nazywamy pochodną kowariantną pola $X$ w punkcie $c(t)$.
\end{df}

\begin{tw}\label{tw-kow}
Jeżeli krzywa $u$ jest gładka, $X,Y\in\mathfrak{X}_{u}$, $a,b\in\mathbb{R}$, funkcja $f\colon M\to\mathbb{R}$ jest klasy $C^{\infty}$, to pochodna kowariantna ma następujące własności:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\frac{D(aX+bY)}{dt} = a\frac{DX}{dt} + b\frac{DY}{dt},$
\item $\frac{D(fX)}{dt} = \frac{df}{dt}X + f\frac{DX}{dt},$
\item $\frac{d}{dt}\langle X,Y\rangle = \langle \frac{DX}{dt},Y\rangle + \langle X,\frac{DY}{dt}\rangle.$
\end{enumerate}
\end{tw}

\begin{proof}
Punkt $(i)$ wynika wprost z liniowości pochodnej i rzutowania. Przejdźmy do dowodu $(ii)$. Z definicji:
\[\frac{D(fX)}{dt} = pr\left(\frac{d(fX)}{dt}\right)=\]
Zgodnie z wzorem na pochodną iloczynu, mamy:
\[=pr\left(\frac{df}{dt}X+f\frac{dX}{dt}\right)=\]
Co z liniowości projekcji ortogonalnej równe jest:
\[=pr\left(\frac{df}{dt}X\right)+pr\left(f\frac{dX}{dt}\right)=\]
Ponieważ $\frac{df}{dt}X$ jest elementem $T_{u(t)}M$, mamy:
\[=\frac{df}{dt}X+f\frac{DX}{dt}.\]
W ten sposób udowodniliśmy punkt $(ii)$. Przejdźmy do dowodu $(iii)$. Zauważmy po pierwsze, że:
\[ \frac{d}{dt}\langle X,Y\rangle = \langle \frac{dX}{dt},Y\rangle + \langle X,\frac{dY}{dt}\rangle.\]
Wektor $\frac{dX}{dt}$ można zapisać jako:
\[ \frac{dX}{dt} = pr_{u(t)}\left(\frac{dX}{dt}\right) + V,\]
gdzie $V$ to wektor normalny do $T_{u(t)}M$. Stąd:
\[\langle \frac{dX}{dt},Y\rangle = \langle\frac{DX}{dt},Y\rangle + \underbrace{\langle V,Y\rangle}_{=0}\]
Analogicznie pokazujemy, że $\langle X,\frac{dY}{dt}\rangle = \langle X,\frac{DY}{dt}\rangle$, co w rezultacie daje punkt $(iii)$.
\end{proof}

\begin{df}[pole wektorowe równoległe]
Pole wektorowe $X\in\mathfrak{X}_{c}$ jest równoległe, jeżeli $\frac{DX}{dt}=0$ dla każdego $t\in I$.
\end{df}

\begin{uw}
Jeżeli pola $X,Y$ są równoległe, to:
\[\frac{d}{dt}\langle X,Y\rangle = \langle \frac{DX}{dt},Y\rangle + \langle X,\frac{DY}{dt}\rangle = 0,\]
stąd $\langle X,Y\rangle=const$. W szczególności więc, pola równoległe mają stałą długość. Stały jest też kąt między nimi.
\end{uw}

\begin{lemat}
Przypuśćmy, że $M$ to powierzchnia sparametryzowana tak, że $g_{12}=0$. Wtedy $g^{ii} = \frac{1}{g_{ii}}$ oraz $\Gamma^{k}_{ik}=\frac{g_{kk,i}}{2g_{kk}}$.
\end{lemat}

Dowód lematu wynika wprost z wcześniejszych rozważań (z poprzednich podrozdziałów).

\begin{tw}
Krzywa $c(t)$ jest geodezyjną o ile pochodna kowariantna pola wektorów stycznych jest równa zero.
\end{tw}

\begin{tw}[istnienie ortogonalnych współrzędnych geodezyjnych]
Niech $c(s)$ będzie krzywą na powierzchni $M$. Ustalmy $s_{0}\in I$, takie, że $c'(s_{0})\neq 0$. Istnieje zamiana zmiennych (map) $\phi\colon U\to V'\subset M$, gdzie $V'$ jest otwartym otoczeniem $c(s_{0})$, taka, że spełnione są poniższe warunki.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $c(s)=\phi(u^{1}(s), u^{2}(s))$ dla $|s-s_{0}|$ dostatecznie małych, ma parametryzację $u^{1}=0$, $u^{2}=s$.
\item Krzywe $u^{2}=const$ są geodezyjnymi sparametryzowanymi przez długość łuku. Krzywe $u^{1}=const$ przecinają się z nimi ortogonalnie.
\item Parametryzacja $u=(u^{1},u^{2})$ jest ortogonalnym układem współrzędnych dla $\phi$, tzn. $g_{12}=0$, $g_{11}=1$, $g_{22}>0$.
\end{enumerate}
Odwrotnie, jeżeli macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać $\begin{bmatrix}1&0\\0&g_{22}\end{bmatrix}$, to punkt $(ii)$ jest prawdziwy.
\end{tw}

\begin{df}[współrzędne geodezyjne]
Współrzędne spełniające warunki $(i)$, $(ii)$ z powyższego twierdzenia nazywamy współrzędnymi geodezyjnymi.
\end{df}

\begin{tw}
Niech powierzchnia $M$ ma współrzędne geodezyjne. Wtedy geodezyjna dana wzorem:
\[ c = \{ c(t)=f(t,u_{0}) : t_{0} \leq t \leq t_{1}\} \]
jest krótsza od każdej krzywej $b=\{b(s)=f(x(s),y(s)): s_{0}\leq s \leq s_{1}\}$ prowadzącej z punktu $p_{0} = f(t_{0},u_{0}^{2})$ do $p_{1}=f(t_{1},u_{0}^{2})$. Innymi słowy: $L(b)\geq L(c)$.
\end{tw}

\begin{proof}
\[ L(b) = \int_{s_{0}}^{s_{1}} \sqrt{(x'(s))^{2} + g_{22}(x(s),y(s))y'(s)^{2}}\ ds
\geq \int_{s_{0}}^{s_{1}} |x'(s)|\ ds \] \[\geq x(s_{1}) - x(s_{0}) = t_{1} - t_{0} = L(c). \qedhere \]
\end{proof}

\begin{tw}[Levi--Civita]
Niech $U$, $c=\partial S$, będą kolejno mapą na powierzchni $M$, obszarem i jego brzegiem, przy czym $c\colon I=[0,\alpha]\to M$ jest parametryzacją $\partial S$. Niech $p\in\partial S$, oraz niech $c$ jest krzywą gładką, zamkniętą. Niech $\rho(0)\in T_{p}M$ takie, że $|\rho(0)|=1$, oraz $\rho(t) = \zeta_{t}(\rho(0))$ będzie przesunięciem po równoległym polu wektorowym wzdłuż $c$. Jeśli $c$ leży w $U$ i ogranicza obszar homeomorficzny kołu, to kąt pomiędzy $\rho(0)$ a $\rho(\alpha)$ jest równy: $\iint_{S} K ds$.
\end{tw}

\begin{df}[krzywizna geodezyjna]
Niech $M$ powierzchnia, $c$ krzywa na $M$, oraz niech $e_{1}(t),e_{2}(t)$ pola wektorowe wyznaczające reper Freneta wzdłuż $c$. Wtedy krzywizną geodezyjną w punkcie $c(t)$ nazywamy liczbę:
\[ k_{g}(t) = \langle \frac{De_{1}}{dt}(t),e_{2}(t)\rangle, \]
gdzie iloczyn skalarny liczony jest zgodnie z metryką Riemanna w punkcie $c(t)$.
\end{df}

\subsection{Dowód twierdzenia Gaussa--Bonneta}

Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia Gaussa--Bonneta. Udowodnimy je w nieco ogólniejszej postaci niż ta, która została podana wcześniej, a mianowicie:

\begin{tw}[Gaussa--Bonneta, 1848]
Niech $M$ powierzchnia, $F$ wielokąt geodezyjny ograniczający obszar w $M$, $\alpha_{i}$ kąty zewnętrzne $F$, $P\colon F\to M$ pewne odwzorowanie. Wtedy:
\[\iint_{P} K\ dM + \int_{\partial P} k_{g}dt + \sum_{j}\alpha_{j} = 2\pi. \]
\end{tw}

Zanim rozpoczniemy dowód, wprowadzimy kilka oznaczeń i wyprowadzimy kilka dodatkowych faktów.
Zakładamy, że w $M$ mamy współrzędne geodezyjne $(x,y)$, macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać: $\begin{bmatrix}1&0\\0&g\end{bmatrix}$, oraz:
\[ E_{1} = \frac{\partial}{\partial x}\quad E_{2}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial y}.\]

\begin{lemat}
Jeśli $c\colon[a,b]\to\mathbb{R}^{2}$ jest krzywą regulrną, oraz $e_{1}(t), e_{2}(t)$ stanowią układ Freneta dla tej krzywej, to istnieje funkcja $\theta\colon [a,b]\to\mathbb{R}$, taka, że:
\[e_{1}(t) = (\cos\theta(t), \sin\theta(t)),\]
oraz różnica $\theta(b)-\theta(a)$ nie zależy od wyboru $\theta$.
\end{lemat}

\begin{proof}
Podzielmy przedział $[a,b]$ na podprzedziały:
\[ a=t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{k} = b\]
tak, że $e_{1}|_{[t_{k-1},t_{k}]}\subset S^{1}$. Jest to możliwe ponieważ $e_{1}(t)$ ciągła. Niech $\theta(a)$ będzie takie, że $e_{1}(a) = (\cos\theta(a),\sin\theta(a))$. Z ciągłości $e_{1}(t)$ możemy określić $\theta$ na $[t_{0},t_{1}]$. Następnie poprzez indukcję możemy rozszerzać $\theta$ na kolejnych przedziałach $[t_{j-1},t_{j}]$, korzystając wciąż z ciągłości.

Przypuśćmy, że mamy dwa odwzorowania $\theta$ i $\phi$ spełniające warunki lematu. Wtedy $\phi(t) - \theta(t) = 2\pi k(t)$, gdzie $k(t)\in\mathbb{Z}$ i $k$ funkcja ciągła, co jest możliwe tylko, gdy $k$ stała. Stąd $\phi(a)-\theta(a) = \phi(b) - \theta(b)$, co daje natychmiast, że:
\[ \theta(b) - \theta(a) = \phi(b) - \phi(a).\qedhere\]
\end{proof}

Z powyższego lematu i definicji $E_{i}$ wynika:
\begin{eqnarray*}
e_{1}(t) &=& \cos\theta(t)E_{1} + \sin\theta(t)E_{2} \\
e_{2}(t) &=& -\sin\theta(t)E_{1} + \cos\theta(t)E_{2}
\end{eqnarray*}

\begin{lemat}\label{lem2}
Przy powyższych oznaczeniach i założeniach, zachodzi wzór:
\[ k_{g}(t) = \dot{\theta}(t) + \sqrt{g}_{1}\dot{y}^{2}(t) \]
\end{lemat}

\begin{proof}
Wiadomo, że: $\langle E_{i},E_{k}\rangle = \delta_{ik}$. Różniczkując tą równość i stosując twierdzenie $\ref{tw-kow}$, otrzymujemy:
\[\langle \frac{DE_{i}}{dt},E_{k}\rangle + \langle E_{i},\frac{DE_{k}}{dt}\rangle = 0, \]
co oznacza, że w szczególności jest spełnione: $\langle \frac{DE_{i}}{dt},E_{k}\rangle = -\langle\frac{DE_{k}}{dt},E_{i}\rangle.$

Z poprzedniego lematu oraz twierdzenia $\ref{tw-kow}$, mamy:
\[ \frac{De_{1}}{dt} = \frac{D(\cos\theta(t)E_{1} + \sin\theta(t)E_{2})}{dt} = \frac{D(\cos\theta(t)E_{1})}{dt} + \frac{D(\sin\theta(t)E_{2})}{dt}\] \[ = -\sin\theta(t)E_{1}\dot{\theta}(t)+\cos\theta(t)\frac{DE_{1}}{dt} + \cos\theta(t)E_{2}\dot{\theta}(t)+\sin\theta(t)\frac{DE_{2}}{dt}\]
Wykorzystując powższe zależności wyliczymy teraz $k_{g}$ zgodnie z definicją:
\[\langle \frac{De_{1}}{dt},e_{2}\rangle  = \langle \dot{\theta}(t)(-\sin\theta(t)E_{1}+\cos\theta(t)E_{2}),e_{2}\rangle + \langle \cos\theta(t)\frac{DE_{1}}{dt} + \sin\theta(t)\frac{DE_{2}}{dt},e_{2}\rangle\]
\[ = \dot{\theta}(t) - \cos\theta(t)\sin\theta(t)\langle E_{1},\frac{DE_{1}}{dt}\rangle + \cos^{2}\theta(t)\langle\frac{DE_{1}}{dt},E_{2}\rangle \] \[- \sin^{2}\theta(t)\langle\frac{DE_{2}}{dt},E_{1}\rangle + \sin\theta(t)\cos\theta(t)\langle\frac{DE_{2}}{dt},E_{2}\rangle\]
\[=\dot{\theta}(t) + \cos^{2}\theta(t)\langle\frac{DE_{1}}{dt},E_{2}\rangle - \sin^{2}\theta(t)\langle\frac{DE_{2}}{dt},E_{1}\rangle\]
\[=\dot{\theta}(t) + (\cos^{2}\theta(t)+\sin^{2}\theta(t))\langle\frac{DE_{1}}{dt},E_{2}\rangle\]
\[=\dot{\theta}(t) + \langle \frac{DE_{1}}{dt}, E_{2}\rangle = \dot{\theta}(t) + \sqrt{g}_{1}\dot{y}^{2}(t)\qedhere\]
\end{proof}

\begin{tw}[o dywergencji]
Niech $M$ zorientowana powierzchnia z metryką Riemanna, $X$ pole wektorowe na $M$, $F$ wielokąt w $M$, $P\colon F\to M$. Wtedy:
\[ \iint_{P}(\operatorname{div} X)\ dM = \int_{\partial P}i_{X}\ dM,\]
gdzie: $X=\xi^{1}e_{1}+\xi^{2}e_{2}$, $\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right)\sqrt{g}\xi^{i}$, $i_{x}\ dM = -\xi^{2}\sqrt{g}dx^{1} + \xi^{1}\sqrt{g}dx^{2}$.
\end{tw}

\begin{proof}[Dowód twierdzenia Gaussa--Bonneta]
Wcześniej pokazaliśmy, że:
\[ K=\frac{R_{1212}}{\det[g_{ij}]} = \frac{-\sqrt{g}_{11}}{\sqrt{g}}\]
Niech $X=\frac{-\sqrt{g}_{1}}{\sqrt{g}}e_{1}$, wtedy mamy dalej:
\[ K = \frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial}{\partial x^{1}}\left(\sqrt{g}\frac{-\sqrt{g}_{1}}{\sqrt{g}}\right) + \frac{\partial}{\partial x^{2}}\cdot 0\right) = \operatorname{div} X.\]
Z twierdzenia o dywergencji ($\xi^{2}=0$), mamy:
\[ \iint_{p}K\ dM = \int_{\partial P}\sqrt{g}\xi^{1}dx^{2} - \sqrt{g}\xi^{2}dx^{1} = -\int_{\partial P}\sqrt{g}_{1}dx^{2}.\]
Zakładamy, że możemy łukowo sparametryzować i dodatnio zorientować brzeg $\partial P$. Niech $u(t) = (u^{1}(t), u^{2}(t))$ będzie taką właśnie parametryzacją. Niech $I_{j} = [a_{j},b_{j}]$ będzie podziałem dziedziny powyższej parametryzacji takim, że parametryzacja ta jest gładka na każdym z tych odcinków. Z lematu $\ref{lem2}$ mamy:
\[ -\int_{\partial P}\sqrt{g}_{1}dx^{2} = \sum_{j}\left(\int_{I_{j}}\dot{\theta}(t)dt - \int_{I_{j}}k_{g}(t)dt\right).\]

\begin{lemat}
\[ \sum_{j}\int_{I_{j}}\dot{\theta}(t)dt + \sum_{j}\alpha_{j} = 2\pi \]
\end{lemat}

Lemat podajemy bez dowodu. Mamy teraz:
\[ \iint_{P}K\ dM = -\int_{\partial P}\sqrt{g}_{1}dx^{2} = \sum_{j}\left(\int_{I_{j}}\dot{\theta}(t)dt - \int_{I_{j}}k_{g}(t)dt\right). \]
No a stąd dostajemy:
\[ \iint_{P}K\ dM + \sum_{j}\int_{I_{j}}k_{g}(t)\ dt = 2\pi - \sum_{j}\alpha_{j},\]
co natychmiast daje tezę twierdzenia.
\end{proof}


\pagestyle{plain}
\chapter*{Bibliografia}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}

Większość tekstu została napisana w oparciu o notatki z wykładu dr. hab. Andrzeja Szczepńskiego, prof. UG, który odbywał się w semestrze letnim roku akademickiego 2006/2007 na Uniwersytecie Gdańskim. Dodatkowo, niektóre fragmenty zostały rozbudowane na podstawie poniższych źródeł.

\begin{enumerate}
\item M. Sadowski -- {\it Geometria różniczkowa}, Gdańsk, 1998.
\item W. Klingenberg -- {\it A course in differential geometry}, Nowy Jork, 1978.
\item J. Oprea -- {\it Geometria różniczkowa i jej zastosowania}, Warszawa 2002.
\end{enumerate}

W internecie można też znaleźć inne opracowania wykładów z Geometrii Różniczkowej z różnych uczelni. Poniżej zebrano najciekawszych z nich. Wszystkie podane odnośniki działały poprawnie dnia 14 czerwca 2007.

\begin{enumerate}
\item A. Altland -- {\it Differential Geometry}\\
\url{http://www.thp.uni-koeln.de/alexal/PDF_DOCUMENTS/diff_geo.pdf}
\item A. Białynicki-Birula -- {\it Geometria różniczkowa II} \\
\url{http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf}
\item B. Csikós -- {\it Differential Geometry}\\
\url{http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html}
\item P. Michor -- {\it Topics in Differential Geometry}\\
\url{http://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf}
\item R. Sharipov -- {\it Course of differential geometry, The Textbook}\\
\url{http://babbage.sissa.it/PS_cache/math/pdf/0412/0412421v1.pdf}
\item P. Walczak -- {\it Geometria różniczkowa 2}\\
\url{http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Difgeo.pdf}
\item P. Walczak -- {\it Wstęp do Geometrii Różniczkowej}\\
\url{http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Dg-wstep.pdf}
\item G. Weinstein -- {\it Elementary Differential Geometry: Lecture Notes}\\
\url{http://www.math.uab.edu/weinstei/notes/dg.pdf}
\item S. Yakovenko -- {\it Lecture notes for the course in Differential Geometry}\\
\url{http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/Geometry/}
\item D. Zaitsev -- {\it Diffential Geometry: Lecture Notes}\\
\url{http://www.maths.tcd.ie/~zaitsev/ln.pdf}
\end{enumerate}



\end{document}
