\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pakiety

% ustawiamy marginesy
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}

% piszemy w polsce po polsku :)
\usepackage{polski}

% jesli piszesz pod windows (strona kodowa CP 1250):
\usepackage[cp1250]{inputenc}

% jesli piszesz pod linux (strona kodowa ISO 8859-2):
%\usepackage[latin2]{inputenc}

% jesli piszesz naprawde miedzynarodowo (strona kodowa UTF-8):
%\usepackage[utf8]{inputenc}


% ladne czcionki - prawdopodobnie linijka nie jest optrzebna w nowych systemach
\usepackage[OT4]{fontenc}

% pakiety matematyczne
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}

% lepsze wypunkowania
\usepackage{enumerate}

% pakiet do pisania odnośników internetowych
\usepackage{url}

% do pisania w wielu kolumnach
\usepackage{multicol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% srodowiska do pisania twierdzen, definicji, przykladow ...

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\newtheorem{lem}[tw]{Lemat}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{df}{Definicja}[section]
\newtheorem{ex}[df]{Przykład}

\newtheorem{uw}[df]{Uwaga}
\newtheorem{wn}[df]{Wniosek}

\newtheorem{zad}{Zadanie}[section]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ustawienia dokumentu

\title{Mój pierwszy artykuł w systemie \LaTeX}
\author{Ja i tylko ja}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\section{Wstęp}

\subsection{Co mnie skłoniło aby napisać ten tekst}

A było to tak \ldots Dawno, dawno temu. Za górami i lasami. Za łąkami, ścieżkami,
rzekami, morzami, łąkami (a nie łąki już były), daleko za Redą --- ogólnie bardzo daleko
stąd, byłem sobie {\bf ja}.

Wstałem rano i pomyślałem: {\it O tak, napiszę coś w \LaTeX}. Jak pomyślałem,
tak i zrobiłem. Oto jest ten tekst!

\subsection{Uzasadnienie matematyczne}

Wszystko jest wnioskiem z poniższego twierdzenia.

\begin{tw}[Fubini]
Zachodzi wzór:
\[\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) d(x,y) =
\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} f(x,y) dxdy =
\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} f(x,y) dydx \]
\end{tw}

\begin{proof}[Dowód]
Będziemy rozpatrywali przypadki, w zależności od komplikacji funkcji $f$.
\begin{enumerate}[I.]
\item Funkcja $f$ jest funkcją charakterystyczną zbioru mierzalnego $A$, czyli:
\[ f(t) = \chi_{A}(t) = \begin{cases}
1 & t\in A \\
0 & t\not\in A\end{cases}\]

\item Funkcja $f$ jest funkcją prostą, mierzalną. Jest więc kombinacją liniową
skończonej ilości funkcji charakterystycznych pewnych zbiorów mierzalnych:
\[ f(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i\chi_{A_i} \]

\item Funkcja $f$ jest nieujemna, mierzalna. Istenieje więc ciąg funkcji prostych,
mierzalnych, nieujemnych, zbieżny monotonicznie do $f$.

\end{enumerate}
\end{proof}

\newpage
\section{Zadania}

\begin{zad}
Oblicz granicę:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{n\to\infty} \frac { 1 + \frac{1+ \frac{1}{n} }{n} }{\sin n}$
\item $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n-1}}{2^{2n+7}}$
\item $\lim_{n\to\infty} \frac { 1 + \frac{1+ \frac{1}{n} }{n} }{\sin n}$
\item $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n-1}}{2^{2n+7}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{zad}

\end{document}
